最优能源需求响应管理的平均场道德风险

因此，直觉上，如果δ为负，则委托人更容易激励消费者减少消费。在这个假设下，我们在风险规避和风险中性本金以及更明确的最优支付率的两种情况下都得到了一个封闭形式的解。为了简化符号，我们定义了HPT，zq：“F`θ\'RAz`ρ\'pz'^ Amaxq`δpT'tq，pT，zq P r0，T s^R。我们将结果总结在以下命题中。命题4.12。让能量值差异为线性，即pf'gqpxq'δx，x P R。定义确定的等价函数upasupappt，uXtq：“δpT'tqxuXtpdxq''TtmPpsqds，其中mPptq：“θ`σ"` ` `σ"R'ρ'δpT'tq'infzPRhpt，zq，thenpiq最优支付率过程ζ'''''''''''''''''''''''''Z'，Z''''t''RPRA'''RPδpT''tq和''''t''t'最大值“θ\'RApZ媫tq，λ*。对于所有t P r0，t s.piiq，具有CARA效用函数和风险规避参数RPis的生产者的值函数，由vp给出”'eRPpξ'uPp0，uXqq；piiq风险中性生产者的值函数由V给出“\'ξ\'up0，uXq.Proof。这一命题的证明是命题4.8和4.10的直接应用，其规格为pf\'gqpxq”δx，因为函数uP和u分别满足条件（4.7）和（4.12）。事实上，注意到uPux\'t，uXt“uux\'t，uXt”δpTtq，我们显然有eptuPux\'t，uXtdt；p“δpT3p{2p{2a\'8和EP^TˇuuX\'T，uXtˇdt{1{2“δT3{2a`8。因此，使用条件（4.12）。为了表明提高满意度（4.7），仍需证明EP“sup0dtdTedqpp”1RP“δpTatqEPrXt”F“tssTtmPpsqds”, a\'8这是正确的，因为mPis连续，X具有有界漂移和波动性。上述主张强调了一个事实，即在arisk-厌恶或风险-中性本金的两种情况下，最优支付率pZ媫，Γ23211; q是相同的。

因此，无论委托人的风险厌恶程度如何，消费者对其偏差消费的影响都是相同的。由于控制Zu，委托人控制了她想要承担的风险。事实上，在风险中性的情况下，委托人并不关心风险，因此Zu使得合同不依赖于公共噪声。另一方面，在规避风险的情况下，代理人因公共噪音的一部分而获得报酬：由公共噪音引起的风险由代理人和委托人共同承担。此外，人们可以注意到，在这种特殊情况下，主体从conditionallawuXis中使用的唯一信息实际上是条件平均值。事实上，唯一带有ux的术语出现在生产者的确定性等效函数中，其形式为sxuXtpdxq，等于EPrXt | F"ts。备注4.13。对于所有t P r0、t s，如果δ为非负且介于δpT'tq'amax和0（如果δ'0.5）之间，则最佳支付率Z媫等于零。与经典合同相比，本节的目的是研究将合同指数化对其他消费者偏差分布的好处。因此，作为一个基准案例，我们考虑了生产者的问题，即激励措施仅限于所考虑的消费者的支付。更准确地说，我们只考虑由ζ控制的合同：“pZ，0，Γq，而不是ζ：”pZ，Zu，Γq。我们用V表示V的相应限制。我们在第5.1小节中提供了最佳合同ξ和消费者的福利。

我们关注线性能源价值差异（EVD）案例，以比较两种类型合同在风险规避（见第5.2小节）或风险中性生产者（第5.3小节）两种情况下的消费者效用和生产者效用的结果。5.1最优合同形式我们考虑相同的模型，偏差消耗X的动态相同，但我们的研究仅限于委托人向消费者提供的合同，仅取决于其偏差。这类合同具有漂移和波动控制合同的经典形式（见[1]、[17]、[18]）：ξT“ξ'TH'pXt、ζtqdt'TZtdXt'T'T'T'RAZt'dxyt，其中ζ：“pZ，0，Γq，一个R^t0u^R-值F-可预测过程，是由主程序和ξ选择的一组参数“U'1ApRq。直觉上，我们在定理3.4中已经表明，消费者对由ζ”pZ，Zu，Γqis索引的契约的最佳响应与Zu无关，尤其是ν媫'ζ”pα媫pZq，β媫pΓqq。因此，在经典契约的情况下，主要是Zu”0，后者应该是pZ，Γq的相同函数。该结果与[1]的结果一致，与备注3.5一致。因此，这些契约显然导致了与定理3.4中定义的相同的唯一平均场均衡。委托人必须最佳地选择指数化参数pZ，Γq，以使其效用最大化。她的值函数与之前相同，但仅限于控制ζP VV0，P：“supζPVEP”UP'''EP“LζTˇˇF'Ti'。（5.1）按照第4节的线，我们获得了一个类似于（4.2）的HJB方程，但其上确界为ζ（直观地考虑到（4.2）中的Zu“0”）。

因此，我们可以建立一个与定理4.7.5.2 Principal相似的结果，其中包含CARA效用5.2.1理论结果。在生产者效用函数的CARA规范下，通过模仿第4.1.1节，我们预计与（5.1）相关的HJB方程的解V0，Ppt将由V0，Ppt，uYtq“'eRP'EPt”Lζt'u0，Ppt，uXtq'，，（5.2）其中，u0，Psatis是以下PDE（类似于（4.6））0“'Btu0，P'pg'fqpxquXtpdxq'θ'σ'''σ''u0，Px，uX'σ'u0，PuX，uX'ρu0，PuX'` infzPR！F ` q ` z，u0，Px，uX` RA `σ"z `ρ` ` z''^ Amax` u0，PuX'RP'σ"'u0，PuX），（5.3）终端条件为u0，Ppt，uXtq“0.在我们的基准案例中，我们可以用经典合同陈述命题4.8的等价物。命题5.1。如果PDE（5.3）有一个解u，在定义4.5的意义上足够平滑，满足条件（4.7），并且函数v0，媫：r0，T s^PpCTq'Ynir^t0u^R达到（4.8）定义的上限，那么pIQ v0，P“'eRPpξ'up0，uXqq；piiq诱导平均消耗偏差减少的最佳支付率是过程Z0，由Z0定义的所有t P r0，t s，èt：“Z0，è\'t，uXt其中函数Z0，è是（5.3）中最小化问题的最小化者。”;piiiq所有t P r0、t s的最优支付率Γ0，旨在降低消费偏差的波动性，媫t：“γ0，媫t，uXt其中γ0，媫pt，uq：’max”θ'ux，uXpt，uq'RApz0，媫pt，uqq，λ*。备注5.2。如果消费者为风险中性pRA“0q”，则PDE降低至0“’Btu0，P'pg'fqpxquXpdxq'θ'σ'''''''''''''''σ''''''''''''728; u0，PuX，uX'ρ'u0，PuX'F'θ'u0，Px，uX'infzPR“ρ`` z'^ Amax'u0，PuX'RP'σ"`'z'u0，PuX*，因此，z媫的最大值为：“u0，PuX，类似于备注4.9，最终的最优合约取决于生产者的风险规避RP。为了获得封闭形式的解决方案，我们可以研究线性EVD的情况，类似于命题4.12。

为了加强符号，我们表示HPPT，zq：“Fpθ\'RAzq\'RA`σ"z`ρ` pz'^ Amaxq`δpT'tq'RP`σ"'`'z`δpT'tq。命题5.3。让能量值差异是线性的，即pf'gqpxq'δx，x P R。然后，piq生产者的值函数由V0，P'eRPpξu0，uxqq给出，其中确定性等效函数u0，Pis以u0、Ppt、uXtq为特征“δpT'tqzxuXtpdxq'Ttm0，Ppsqds，其中m0，Pptq：”θ'σ'ρδpT'tq'infzPRhPpt，zq，piiq最优支付率过程ζ0，媫“`Z0，媫，0，Γ0，是Z0，媫t”Arg minzPRhPpt，zq和Γ0，媫t“'max给出的时间的确定性函数“θ\'RA\'Z0，èt，λ*表示t P r0，t s。主要目的是研究消费者的福利和生产者在与经典合同相比提供新合同时的效用，通过对之前命题与命题4.12.5.2.2数值结果的比较分析和讨论来比较消费者在平均消费水平上的福利，我们需要比较Zè根据定理3.4，对于t P r0，t s，α媫t：“a媫pZ媫tq和β媫t：”b媫pΓ媫tq。虽然可以通过分析获得一些不等式，但可能需要数值计算最佳支付率Z媫，因为这是我们在线性EVD情况下无法获得封闭式表达式的唯一数量，请参阅第4.12节。对于数值计算，使用了[1]中详细说明的参数校准。

事实上，即使他们在[1]中考虑了消费，通过将消费的初始条件设定为零，他们工作中的消费过程X也会直接成为观察到的消费减少，这是我们的标准过程X。更准确地说，我们将考虑大多数时间T“5.5 h，θ”4^10'3p/kWh，κ”11.76 p/kWh，δ“'55.44p/kWh，RP“6^10'3p'1，RA”5，7^10'3p'1，ρ“9.3^10'5kWh'1p'1，η”1，λ“2.8^10'2kWh/p（便士的pstands）. 我们将明确指出特定参数的不同值，例如，当我们调查RPO对委托人效用的影响时。关于[1]中校准的波动率（即名义波动率，值为0.085 kW/h1{2），我们将假设它等于我们模型中不受影响的总波动率，即a∑p1q ` pσ"q。因此，我们将考虑σ"的不同值，但使不受影响的总波动率保持不变，等于0.085。请注意，将对d“1.效果比较进行数值计算。为了比较消费者的效果，我们需要根据线性EVD参数δ的符号区分两种情况。piq我们首先关注δd0中最具代表性的情况，因为[1]中的经验结果提供了δ“\'55.44.然而，在这种情况下，效果的分析比较并不清楚。图1代表了消费者对提货的最佳效果和两个Rp值的波动率接近于[1]中校准的值，并且当50%的方差由共同噪声解释时（即σ"“σ”0.085{？2<<0.0601）. 蓝线代表经典合同的最佳效果，而橙色线则专用于我们的新合同。

回想一下，当合约与其他合约挂钩时，代理人对漂移和波动性的影响与委托人的风险厌恶无关。因此o对于RP“0.006（上图），由于其他指数化的合同，委托人可以在整个合同期限内激励消费者对漂移和波动性做出更多的影响（橙色曲线与蓝色曲线相比）；如果委托人的风险厌恶增加（RP“0.03，下图），对于经典合同，她要求消费者提供更多的服务，而对于其他合同，她要求提供相同的服务，无论她是否厌恶风险。因此，我们得出，在新合同中，消费者在合同开始时会做出更多的努力，但在合同结束后会做出更少的努力。0 1 2 3 4 50.0000.0050.0100.0150.0200.025（Z）RP=0.0060 1 2 3 4 50.30.40.50.60.70.80.91.0（）0 1 2 3 4 5Time0.0000.0050.0100.0150.0200.025 RP=0.03的经典合同RP=0.030 1 2 3 4 5Time0.30.40.60.70.80.91.0图1：线性EVD情况下的效果比较。参数：σ"“σ”0.085{？2和RP“0.006（上图）或RP“0.03（下图）.影响在时间上减少的事实可以解释如下。在合同的每一时刻，对委托人来说，重要的是0和t之间的积分，而不是瞬时效应。事实上，她关心所有t P r0，t s的偏差Xt，该偏差由Xt“\'tαtdt\'tσ？βtdWt\'tσ"dW"t定义。因此，委托人在合同开始时寻求更多的帮助符合其利益。

为了评估新合同对消费者的影响，我们计算了以下两个数量，α媫：“sT\'a媫pZ媫tq\'a媫Z0，媫TdtsTa媫Z0，媫Tdtandβ媫：“σsT\'b媫pΓ媫tq\'b媫0，媫TdtσsTb0，媫TdtTσ0，分别代表新合同和经典合同之间的平均和波动性的相对收益。更准确地说，如果αèě0（分别为。βèě0），新合同激励消费者在合同结束时（时间T）进一步降低其总消费量的平均值（相对波动率）。结果如图2所示。我们选择的RPof值与[1]中的估计值顺序相同。对于σ"，我们设定的值为总方差的pσ"q“x%，无影响（名义方差），即∑p1q ` pσ"q”0.085。例如，当σ"0.085时，则pσ"q“100%名义方差：这意味着偏差消耗的波动性与气候危害（σ”0）密切相关.图2显示，在大多数情况下，与传统合同相比，我们的新合同导致平均消费和波动率显著下降。然而，当本金的风险厌恶增加时，这一收益为负值。然而，可以强调的是，一方面，对于[1]中校准的参数，无论与常见噪声的相关性如何，都有显著的增益。另一方面，即使委托人具有相对较高的风险厌恶，如果受到天气条件的强烈影响，我们的新合同允许平均和波动性的消费减少。因此，我们的合同有助于更好地管理气候危害导致的高峰需求期间的消费削减。piiq出于好奇，我们还可以调查阳性δ情况。使用备注4.13，我们可以通过分析证明，在这种情况下，Z0，ěZè“0。

一方面，由于在这两种情况下，漂移的支付率都是正的，并且使用定理3.4，消费者减少其平均消费的效果为零。另一方面，这种不平等导致Γ0，dΓd0。因此，当委托人提供经典合约时，她会激励更多的消费者对波动性产生影响。然而由于λ“2.8^10'2和θ”4^10'3，我们可以注意到0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030RP0.00.10.20.30.4（）2=10.0%（）2=20.0%（）2=30.0%（）2=40.0%（）2=50.0%（）2=60.0%（）2=70.0%（）2=80.0%（）2=90.0%（）2=100.0%0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030RP0.000.010.020.030.04图2：平均值（左）和波动率（右）的相对收益线性EVD情况下的消耗。事实上，消费者不会对波动性产生影响，媫t“'max”θ\'RApZ0，媫tq，λ*“'λ，因此β媫tpΓ0，媫tq”1 ^ `λ'0，媫tq''1{pηk'1q\\ubmin“1.因此，对于较小的λ，两个合约对漂移和波动率的影响均为零。为了找到一个我们的合约对波动率的影响小于经典合约的情况，我们需要大幅增加λ。例如，图3用δ“5，λ”2.8说明了这一特殊情况，当50%的方差由共同噪声解释时（σ"，“σ”0.085{？2）.0 1 2 3 4 50246810Z经典合同新合同0 1 2 3 4 5Time0.040.020.000.020.04（Z）经典合同新合同0 1 2 3 4 50.650.600.550.500.450.400.350 1 2 3 4 5Time0.750.800.850.900.951.00（）图3：线性EVD情况下的付款率和效益与δě0的比较。参数：δ“5，λ”2.8和σ"“σ”0.085{？2。虽然这个结果看起来不直观，但解释如下。

当δ为正时，与生产者效用的边际收益相比，消费的减少大大降低了消费者的效用。因此，对于委托人来说，激励消费者做出贡献的成本太高，尤其是在漂流中。因此，委托人设置非负支付率Z（左上图）。然而，由于她厌恶风险，她希望通过合同与消费者分担一些风险。在经典合同案例中，分担风险的唯一方式是通过小额付款Z0，媫tdXt。这就解释了为什么Z0，媫是正的（左上角的图表，蓝色曲线），而在新合同的情况下，委托人可以通过将其他人的风险指数化Zu，媫，并且可以设置Z媫“0（左上图，橙色曲线）。此外，当委托人支付正付款Z时，她需要通过支付负付款（右上图，蓝色曲线）来补偿，以最小化二次变化pΓt ` raztqdxyt上的支付指数。否则，在新合同的情况下，委托人通过支付率Zu来管理风险，并且不需要用一个小的（负的）Γ（右上图，orangecurve）进行补偿。我们可能会认为之前的结果令人失望，因为消费者在降低消费波动性方面所做的努力较少（右下图）。但如上所述，我们坚持认为，这种情况不会发生，因为根据[1]中的校准，λ“2.8^10'2和δ”55.44'0。效用比较。我们可以分析证明，如果委托人可以就其他人的偏差消费签订合同，则委托人的效用更大。