最优能源需求响应管理的平均场道德风险

事实上，我们正在考虑的合同形式使委托人的问题在这个意义上成为马尔可夫问题。按照第2.2小节中的推理，我们可以构造正则空间的副本OhmPand定义2.4和2.5意义上的Y副本。由于前面的公式，我们可以将委托人问题的弱公式写成如下vp“supPPQEP”UP'''EPT“LζPTi'305;，其中，给定一些P P Q，符号EPT将指在定义4.2 pivq的意义下，在r.c.P.d.Ptof some P Q给定FP，tf for all t P r0，t s下的条件期望。备注4.4。首先，回顾一下简单合同被定义为形式为pξξ，ζTq的随机变量，对于pξ，ζq p R^V。通过方程（4.1），我们注意到过程pY，W的漂移向量和扩散矩阵，W"qJare定义为v“pz，zu，γq的函数。这就是为什么我们认为主控通过概率P P q控制着控制的三重ζP”pz，zu，Γq P v，其中对于所有t P r0，t s，zut“rEPtrZutprXtqs，而不是ζPP V。此外，X和L的条件律不会影响它们的动力学，因此委托人的问题似乎不是McKean–Vlasov控制问题，而是一个标准控制问题。然而，委托人的标准揭示了L的条件律，它将问题转化为McKean–Vlasov控制问题。为了应用链式rule对于依赖于时间和条件分布的函数的常见噪声，我们确定了所需的正则性假设。定义4.5（C1,2–规律性）。

函数u:r0，T s^PpRdq'Ynir，pt，uq'Yniup，uq在C1,2-正则性下的链规则意义下足够光滑，如果piq u相对于T是可微的，且偏导数Btu:r0，T s^PpRdq'Ynir是连续的；piiq对于所有t P r0，t s，映射uP PpRdq'Y'Yupt，uq仅为C，在[11，第4.3.2节]中定义，并满足[11，定理4.14]的假设。前面的定义允许我们考虑在[11，定理4.14]中定义的C-正则性下链式规则的时间相关函数的自然扩展。因此，对于定义4.5中足够光滑的任何函数v:r0，T s^PpRq'Ynir，C1,2-正则性下的链式规则写为dvpt，uYtq“Btvpt，uYtqdt ` EPt”Buvpt，uYtqpYtq¨dYt‰` EPtrEPt“Tr”Buvpt，uYtq ` Yt，rYtdxY，rY Yt‰EPt“Tr”ByBuvpt，uytqpytqxy Yti，其中rY是定义2.5意义上的Y的副本，必须根据定义4.2 pivq。备注4.6。请注意，获取此链的另一种方法规则是简化【11，定理4.17】中的链式规则通过考虑一个不依赖于状态进程的函数。因此，我们需要考虑以下HJB方程，写在测量间距上：0“Btvpt，uYtq``σ"^ijBuXvpt，uYtq` y，ryuYtpdyquYtpdyqzθBuLvpt，uYtqpyq` BxBuXvpt，uYtqpyquYtpdyqfqpxquYtpdyqsupvPRhYt，Buvpt，uYtq，BYTQ，BYT Buvpt，uYtq，Buvpt，uYtq，v，，（4.2）终端条件vpt，uYtq“UP `'EuLTrLTs'，其中，对于任何vuP L1^2、vy、uP L2^2和vu、uP'L'2^2、hpu、vu、vy、u、vu、vq：“\'2ρ\'z'^ Amaxvupyqupdyq\'2c媫pz，γqzvupyqupdyq'∑pγq''''θ'RAz'vupyq'v1,1y，upyq'zv2 2y，upyq'2zv1,2y，upyq'pyq'pyqupdyq'''''''''σ'''''''''728;'z'zupy,2y，upyq'v2,2u，uy，ry'updryq'updyq'2'σ'''''728;''z'''v1,2u，upy，ryq'pdryq'v1,2y，upyq'updyq，（4.3）定理4.7。

如果PDE（4.2）有一个解决方案v，在定义4.5的意义上足够平滑，每个P P QEP的部分导数满足^T^TzBuXvpt，uYtqpx，`quYtpdx，d ` q˙dt˙1{2` EP“sup0dtdtˇtˇBuLvpt，uYtqpx，\'quYtpdx，d\'qˇpp'1a\'8，（4.4），其中pa1是引理A.5中出现的指数，函数v媫：r0，T s^PpRq'YnirsatisfyinghpuYt，Buvpt，uYtq，ByBuvpt，uYtq，Buvpt，uYtq，v媫pt，uYtqq“supvPRhpuYt，Buvpt，uYtq，ByBuvpt，uYtq，Buvpt，uYtq，vq，thenpiq vp0，uYq”VP；piiq通过ζ媫t为所有t P r0，t s定义的过程ζ媫：“v媫pt，uYtq是合同参数的最佳三倍。结果与有关McKean–Vlasov问题的文献中发现的结果非常相似，请参见Bensoussan、Frehse和Yam【6、7、8】、Pham和魏[42，41]，Bayraktar、Cosso和Pham【3】，或Djete、Possama"i和Tan【21】获得最新结果。我们参考附录A.5来证明这一主张。在以下两小节中，我们将指定效用函数Up，以考虑两种不同的情况：“风险规避主体的情况，具有CARA效用函数和风险规避参数RPa0，第4.1.1节；”风险中性委托人的情况，对于UPpxq“x，在第4.1.2小节中，第一种情况下定义的所有函数都将以P为索引，以明确对RP的依赖关系，例如，对于主体问题的值，vp。为了一致性，第二种情况下，它们将以0为索引，这意味着非正式地，设置RP是有效的“在风险规避情况下定义的函数中为0，以获得风险中性情况下的函数。4.1.1在生产者效用函数的恒定相对风险规避规范下，即UPpxq下，具有CARA效用的本金：”\'e'RPx，对于某些风险规避RPa0，我们正在寻找具有形式VPPT的解决方案vPof（4.2），uYtq“\'eRP\'EPtrLts\'uPpt，uXtq，带uPpt，uXtq”0。

（4.5）为了便于标记，我们将表示所有函数u:r0，T s^PpRq'Ynir，uuXpt，uq：“zBuXu\'t，upxqupdxq，ux，uXpt，uq：”zBxBuXu\'t，upxqupdxq，和uuX，uXpt，uq：“ijBuXuP\'t，upx，rxqupdxqupdrxq，对于pt，uq P r0，t s^PpRq，我们将风险规避率R定义为1{R:”1{RP，其中如果RAor RP等于0，则约定R“0。仍需求解函数uP的简化HJB方程：0“\'BtuP\'t，uXt` pg'fqpxquXtpdxq'θ'σ'''''''''σ''''uPx，uX't，uXt't，uXt'''''R'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''σ'''''，uXt`ρ` pz'^ Amaxq'uPuX't，uXt），（4.6），终端条件uP't，uXt“0”，其中qpz，uq：“θ'RAz'u和Fpqq：“infγa0t∑èpγqq\'cèβpγqu。然而，为了应用定理4.7，我们需要确保条件（4.4）适用于函数vP。因此，我们假设存在一些papp'1，关于合同可积性的以下技术条件强制执行“sup0dtdteppep”ξζtˇF't'a `8. （CARA）我们将使用符号ε“appp'1q{p。在合同的这种假设下，我们从定理4.7推导出以下验证结果。命题4.8。假设u是PDE（4.6）的解，在定义4.5的意义上足够平滑，并且满足EP^TˇuuX'T，uXtˇdt'p'sup0dTdTexp'qpp'1rport，uXtq'9）a\'8，（4.7）对于q“ε{pε'1q。

此外，letv媫：r0，T s^PpRq'Y~nRbe是满足HP\'uuX\'T，uXt，ux，uX\'T，uXt，v媫\'T，uXt“infvPRhPpuuX，uXt，ux，uX，uXt，v，其中hppu，u，vq:∑èpγq ` h ` RAz'u'cèβpγq'c'αpzq'2ρz''Amax''u'''''σ'''pRA'RPq'z'z'''''2RP'''` z` zuu，（4.8）然后是PIQ VP'eRPpξ'up0，uXqq；piiq诱导平均消费偏差减少的最佳支付率是一个过程z媫，由z媫t定义所有t p r0，t s“z嫀\'t，uXt，其中函数zè是（4.6）中最小化问题的解决方案，当uuXpt，uqě0，和zèpt，uq P“uuXpt，uq'Amax，0‰，当uuX\'t，u728; 271 0；piiiq最佳支付率zu，è是由z，èt“z”，为所有t P r0，t s定义的过程媫\'t，uXt其中zu，媫pt，uq：“'z媫pt，uq'RPRA'RPuuXpt，uq。回顾zu，媫s：“rEPs”zu，媫sprXsq‰，我们可以任意设置所有x P R的zu，媫pt，uq。用于降低消费偏差波动性的最佳支付率是为所有t P r0确定的过程，T s byΓ媫T”γ媫\'T，uXt式中γ媫pt，uq：“\'max”θ'ux，uXpt，uq'RA'z'pt，uq'z'pt，λ*，式中λ“maxk”1，…，dλk；pvq次优合约由U'1ApRq'THpXs，uXsζ23211 s，α'sqds'TZ's'dXs rEPs'drXs RPRA\'RPzTuuX\'s，uXsrEPs“drXs‰`zT`Γès` RA` Zèsdxys` rarpra` RPq`σ"T` uuX` s，uXsds ` RA`σ"T` Zds，其中H在（3.9）中定义.我们参考附录A.6来证明这个命题，这是定理4.7的结果。最优合同的解释。最优契约最有趣的部分由命题4.8 pvq给出，并涉及到最小支付Z媫s\'dXs\'rEPs“drXs‰。事实上，由于4.8 piiq提案的Z媫0，如果消费者的偏差消费低于其他偏差的平均值，则该支付为正。相反，如果消费者的收益低于池中的其他部分，则该部分补偿为负。

因此，补偿的一部分是基于消费者偏差消费与其他人偏差消费平均值之间的比较。除此之外，我们可以通过X"表示无共同噪声的偏差消耗，得出一种更具启发性的合同形式，其在最佳效果下的动态由dx"t“'ρ\'pZètq'Amaxdtèσèpètq'dWt给出。因此，合同可以用常见噪声asU'1ApRq'tH'X's'σèW's、ζ232; 232; s'ds'tZ'sdX's't's's'来编写RA`ZèsdxX"ys`RPRA`RPσ"ztuPuX`s，uXsdW"s`rarpra`RPq`σ"t` uPuX`s，uXsds，（4.9），其中Hpx，ζèq：“Hdpz媫q ` Hvpγ媫q ` fpxq。然后，我们可以将合同研究分为两部分，即（4.9）中定义的合同第一行是漂移和波动控制的经典合约形式，指数在过程X"中，这是偏差消耗的一部分，真正由代理控制：o合约在X"及其二次变化xX"y水平上是线性的；o通过以最佳效果响应合同，消费者获得一定的效用。因此，委托人可以从合同中减去该效用收益的确定性等价物，即常量部分X"s"σ"W"s，ζèsds；o由于消费者的风险厌恶，需要额外的付款来补偿小额付款ZètdX"t。由于常见噪音W"在我们的框架中代表气候危害，因此过程X"也可以视为针对气候危害调整的偏差消耗。因此，合同的这一部分是固定补偿，与天气条件无关。piiq合同的另一部分是对常见噪音的指数化，这是委托人想要给代理人的剩余风险。

至于小额支付ZtdXt，由于消费者的风险规避，必须通过RPRA ` RPσ"uPuX\'s、uXsdW"s对RPRA ` RPσ"uPuX\'s进行补偿，uXs˙dxW"ys“RARPpRA ` RPq `σ"` uPuX ` s，uXsds。我们已经注意到，如果委托人是风险中性的，她根本不会使用常见的噪音来激励代理人。事实上，由于她是风险中性的，而消费者是风险规避者，因此分担风险的成本太高，她可以独自承担。我们参考风险中性c中的下一小节详细合同ase。这种解释的结论是，合同对其他人的指数化允许委托人将代理人的偏差消耗分为两部分：真正由代理人控制的部分X"，以及常见噪音。因此，她提供了一个基于受控偏差X的补偿指数，以鼓励代理人对漂移和波动性形成影响。此外，如果她是风险厌恶者，她会在合同中加入一部分常见噪音指数，以分担剩余的风险，即使监管规则阻止她在合同中直接使用常见噪音。备注4.9。在消费者为风险中性pRA“0q的情况下，PDE（4.6）降低至0”'BtuP\'t，uXt''''''''''''pg'fqpxquXtpdxq''θ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''uPx，uX\'t，uXt` infzPR！ρ\'pz'^ Amaxq ` uPuX\'t，uXt）。注意，所有t P r0，t s在Zèt达到了最大值“uPuX`t，uXt，诱导消费偏差波动性降低的最佳支付率为Γ媫t”'max“θ'uPx，uX`t，uXt，λ*，最佳支付率为Zu，媫isZu，媫t”'Z't uP X`t，uXt”“0表示所有t P r0，t s。因此，委托人效用的确定性等价物以及由此产生的最优合同不取决于生产者的风险规避RP。

此外，由于Zu，媫“0，该合同未根据其他消费者的法律编制索引。这一结果特别有趣，因为该合同在[1]意义上具有一种经典形式，扩展到了一个常见的噪音模型。请注意，与考虑一个代理的委托代理问题的文献不同，案例“0与第一个最佳问题PSE不一致，请参见附录6.2）。4.1.2风险-中性原则风险-中性原则的价值函数定义为V“supPPQEP”'EPT“LζPT‰。根据上述规范，我们正在寻找一种解决方案vof（4.2），其形式为Vpt，uYtq“'EPT”Lζti\'u\'t，uXt，带u\'t，uXT“0。（4.10）通过调整命题4.8的推理，我们获得了与u0‘'Btupt，uXtq'''pg'fqpxquXtpdxq'θ'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''pr！F\'q\'z，ux，uX\'t，uXTρ`\'z'^ AmaxuuX\'t，uXT），（4.11）终端条件为u\'t，uXT“0。通过在（4.6）中设置RP”0，可以直观地找到该结果。同样，我们可以从命题4.8中推断出以下结果，即RP”0。命题4.10。

如果PDE（4.11）中存在溶液u，则在定义4.5的意义上足够平滑，从而满足以下条件：P^TˇuuX ` T，uXtˇdt˙1{2a\'8，（4.12）和函数v媫：r0，T s^PpRq'Ynirsatisfyingh\'uuX\'T，uXt，ux，uX\'T，uXt，v媫\'T，uXt“infvPRh\'uuX\'t，uXt，ux，uX\'t，uXt，v，然后是piq v”'ξ\'up0，uXq；piiq诱导平均消费偏差减少的最佳支付率是由Z媫t“Z媫\'t，uXt定义的过程Z媫，其中函数Z媫是（4.11）中最小化问题的优化器，且满足Fieszèpt，uq“0，当uuXpt，uqě0，和zèpt，uq P”uuXpt，uqèAmax，当uuXpt，uqd0时为0‰；piiq最佳支付率zu，è等于zè；pivq所有t P r0，t的最佳支付率由Γèt定义：“γèt，uXt”；其中γèpt，uq：“\'max”θux，uXpt，uuq\'RApz媫pt，uqq，λ*；pvq letζ媫：“Z媫，Zu，媫，Γ23211，然后第二个最佳契约由ξ'tHpXs，uXs，ζ23211 s，α'sqds'tZ's'dXs'rEPs”drXs'''t's'RA'Z's'dxyss'RA''σ''728; t'Z's'ds.证明。证明包括简单地对附录a.6中的证明稍作修改，显示函数v，定义为（4.10），满足应用定理4.7所需的假设。注意到zBuXvpt，uYtqpx，`quYtpdx，d\'q“uuX\'t，uXt和zBuLvpt，uYtqpx，\'quYtpdx，d\'q”\'1，由于u满足条件（4.12），我们直接推断v满足条件（4.4）。备注4.11。请注意，风险中性委托人的问题可以重写如下v“Suppqep“'LζPT‰。因此，这是一个标准的随机控制问题，因此可以用经典的方法来解决。然而，为了保持本文的一致性，我们选择使用定理4.7.最优契约的解释来解决它。

如前一小节所述，为了更好地了解消费者将获得的补偿，我们可以用X"表示其无共同噪声的偏差消耗，并按共同噪声条款签订合同：ξζ媫t“ξ'''''tH'X's''σ'W's，ζ媫s'ds'tZ'sdX's'''t''s''RA'Z's''''''''dxX'ys。（4.13）因此，在风险中性的情况下，最优合约是漂移和波动控制的经典合约形式，以过程X"为索引，即根据气候危害调整的偏差消耗。这一结果来自这样一个事实，即委托人使用合同对其他人的偏差zu进行指数化，以隔离常见噪音。因此，在没有常见噪音（X"）的情况下，她清楚地了解了代理的偏差消耗量。因此，她可以提供一笔付款，该付款仅针对代理商真正优化的消费部分进行索引。在这种风险规避代理人和风险中性委托人的特殊情况下，委托人可以独自承担风险，并签订一份不依赖于共同噪声的合同。4.2线性能源价值差异（EVD）的应用能源价值差异是指消费者对其偏差消费的偏好（由函数f表示）与该偏差的生产成本（由g表示）之间的差异。按照[1]的思路，获得闭式解，在本节中，我们考虑以下情况：“δx，x P R。直觉上，如果δ为正，这意味着能源对消费者的价值高于对生产者的成本。因此，减少消耗对消费者效用的负面影响比对生产者效用的正面影响更为重要。同样，δ为负意味着消耗的增加会导致产品成本的增加比为消费者带来的利益更大。