基于监管机构的投资组合风险统计

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英文标题：
《Regulator-based risk statistics for portfolios》
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作者：
Xiaochuan Deng and Fei Sun
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  Risk statistic is a critical factor not only for risk analysis but also for financial application. However, the traditional risk statistics may fail to describe the characteristics of regulator-based risk. In this paper, we consider the regulator-based risk statistics for portfolios. By further developing the properties related to regulator-based risk statistics, we are able to derive dual representation for such risk.
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中文摘要：
风险统计不仅是风险分析的关键因素，也是金融应用的关键因素。然而，传统的风险统计数据可能无法描述基于监管机构的风险的特征。在本文中，我们考虑基于监管机构的投资组合风险统计。通过进一步发展与基于监管机构的风险统计相关的属性，我们能够导出此类风险的双重表示。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Regulator-based_risk_statistics_for_portfolios.pdf (144.35 KB)

2022-6-15 22:24:54 上传

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关键词：投资组合风险 投资组合 监管机构 风险统计 Applications

基于监管机构的投资组合风险统计武汉大学小川邓学院，武汉430072，中国孙飞*武义大学数学与计算科学学院，中国江门529020摘要风险统计不仅是风险分析的关键因素，也是金融应用的关键因素。然而，传统的风险统计数据可能无法描述监管机构基础风险的特征。在本文中，我们考虑基于监管机构的投资组合风险统计。通过进一步发展与基于规则的风险统计相关的属性，我们能够导出此类风险的对偶表示。关键词：风险统计、投资组合、规则1。引言风险度量是金融应用和理论研究中的热门话题。风险的量化计算涉及两个问题：选择合适的风险模型和将风险分配给各个机构。这导致了对风险统计的进一步研究。在一篇开创性的论文中，[15]和[17]首先介绍了自然风险统计的类别及其表示结果。此外，[1]推导出了自然风险统计的另一种证明。后来，[25]和[26]分别得到了凸风险统计量和拟凸风险统计量的表示结果。然而，传统的风险统计数据可能无法描述基于监管机构的风险的特征。因此，基于监管机构的风险统计研究尤其有趣。另一方面，在上述风险统计研究中，从未研究过集值风险。

[16] 指出集值风险度量比标量风险度量更合适，尤其是在确定投资组合的资本要求时涉及多种货币的情况下。事实上，自然的集值风险统计可以被视为aset值风险度量的n个经验（或基于数据）版本。最近对集值风险度量的研究包括[2]、[9]、[11]、[12]、[13]、[14]、[21]、[22]以及其中的参考文献。本文的重点是基于监管机构的投资组合风险统计。在此背景下，本文讨论了基于监管机构的风险度量的经验版本和基于数据的版本。通过进一步发展与基于监管机构的风险统计相关的属性，我们能够证明它们的双重表示。事实上，这类风险统计数据可以看作是[4]、[6]和[23]所介绍的风险统计数据的扩展。本文的其余部分组织如下。在Se c t.2中，我们简要介绍了一些产品。在第节中。3、我们陈述了基于监管机构的风险统计的主要结果，包括双重表示。门派4调查基于监管机构的风险度量的数据版本。最后，在Sect中。5、讨论了本文的主要证明。2、初步信息在本节中，我们简要介绍了本文中使用的一些初步信息。让d≥ 1为正整数。空间Rd×N表示金融风险头寸的s e t。具有X的正值∈ Rd×nwe表示ga-ins，负值表示损耗。让njbe作为样本大小*相应的authorEmail地址：dengxiaochuan@whu.edu.cn（邓小川），福顺。sci@outlook.com（Fei Sun）预印本于2020年6月23日提交给离散DYN NAT SOC，在jthscenario中，D=（X，···，Xd），j=1，···，l。

设n：=n+···+nl。更准确地说，假设D的行为由数据X=（X，···，Xd）的集合表示∈ Rn×···×Rn，其中Xi=（Xi，1，···，Xi，l）∈ Rn，Xi，j=（Xi，j，···，Xi，jnj）∈ RNJI是与Xi相关的jthscenario相对应的数据子集。对于每个j=1、··、l、h=1、··、nj、Xjh：=x1，jh，x2，jh，···，xd，jh是与jthscenario中D的hthobservation相对应的数据子集。本文用z表示Rdis的n元z：=（z，···，zd）。Rd×nis的元素X由X表示：=（X，····，Xd）：=x1,1，···，x1,1n，···，x1，l，···，x1，lnl，···，xd，1，···xd，1n，··，xd，l，··，xd，lnl. 设K是RdK的闭凸p多面体锥，其中K Rd++：={（x，…，xd）∈ Rd；xi>0，1≤ 我≤ d} andK公司∩ 研发部-=  其中Rd-:= {（x，…，xd）∈ Rd；xi≤ 0, 1 ≤ 我≤ d} 。设K+为K的正对偶锥，即K+：={u∈ Rd：utrv≥ 任何v为0∈ K} ，其中utr表示u的转换。对于anyX=（X，…，Xd），Y=（Y，…，Yd）∈ Rd×n，X+Y代表（X+Y，…，Xd+Yd），aX代表（aX，…，aXd）代表a∈ R、 表示K1n：={（zn，zn，···，zdn）：z∈ K} 和z1n：={（z，z，···，z）：z∈R}∈ RN其中1n：=（1，···，1）∈ 注册护士。用（K1n）+表示K1nin的正对偶锥Rd×n，即（K1n）+：={w∈ Rd×n:wztr≥ 0表示任何z∈ K} 。与K对应的偏序定义为≤Kb，意思是b- 一∈ K何时a、b∈ Rd和X≤K1nY表示Y- 十、∈ K1N此处X，Y∈ Rd×n.Let M：=Rm×{0}d-mbe Rdfor 1的线性子空间≤ m级≤ d、 [11]和[16]考虑了M的引入。表示M+：=M∩ Rd+其中Rd+：={（x，…，xd）∈ Rd；xi≥ 0, 1 ≤ 我≤ d} 和M⊥:= {0}m×Rd-m、 因此，监管机构只能接受其参考工具中的保证金。

表示KM：=K∩ M中的闭凸多面体锥，K+M：={u∈ M：utrz≥0表示任何z∈ KM}KMin M的正对偶锥，intkm是KMin M的内部。我们表示qtm：={A M:A=clco（A+KM）}和QtM+：={A KM:A=clco（A+KM）}，其中clco（A）表示A的闭凸包。通过[5]，集值风险统计量是任何映射ρρ：Rd×n→ 2可以将其视为集值风险度量的经验（或基于数据）版本。与该集值风险统计相关的公理组织如下，[A0]归一化：KM ρ（0）和ρ（0）∩ -intKM=φ；单调性：对于任何X，Y∈ Rd×n，X- Y∈ k1乘以ρ（X） ρ（Y）；M-平移不变性：对于任何X∈ Rd×nand z∈ Rd，ρ（X- z1n）=ρ（X）+z；[A3]凸性：对于任意X，Y∈ Rd×nandλ∈ [0，1]，ρ（λ（X）+（1- λ） Y） λρ（X）+（1- λ） ρ（Y）；[A4]正均一性：ρ（λX）=λρ（X）对于任何X∈ Rd×nandλ>0；[A5]次加性：ρ（X+Y） ρ（X）+ρ（Y），对于任意X，Y∈ Rd×n.我们用更多的符号结束本节。A函数ρ：Rd×n→ 如果domρ：={X，则称2Mis为适当的∈ Rd×n：ρ（X）6=} 6=  对于所有X，ρ（X）6=M∈ domρ。如果图ρ是闭集，则称ρ为闭集。图的性质，请参见[18]、[19]、[20]。3、基于监管机构的风险度量的实证版本在本节中，我们阐述了基于监管机构的风险统计的双重表示，即基于监管机构的风险度量的实证版本。首先，对于任何X∈ Rd×n，X∧K1n0定义为fo llowsX∧K1n0：=十、 X个/∈ K1n，0，X∈ K1n。（3.1）因此，属于K的位置被视为0位置。接下来，我们推导与基于监管的风险统计相关的属性。定义3.1。

基于监管机构的风险统计是一种功能 : Rd×n→ QtM+满足以下特性，[P0]归一化：KM （0）和(0 ) ∩ -intKM=φ；【P1】现金保障：任何z∈ 公里，z∈ (-z1n）；【P2】单调性：对于任意X，Y∈ Rd×n，X- Y∈ Rd×n∩ K1n适用于（十） （Y）；[P3]调节器依赖性：对于任何X∈ Rd×n，（十） =（十）∧K1n0）；凸性：对于任意X，Y∈ Rd×nandλ∈ [0, 1], （λ（X）+（1- λ） Y） λ（十） +（1- λ)（Y）。备注3.1。【P1】的性质是指任何固定的负面风险头寸-z可以通过其正等式z取消；[P2]指出，如果K中的偏序X大于X，那么X需要的资本要求比X少，因此（十） 继续（十） ；【P3】表示基于监管机构的风险统计仅从监管机构的角度开始，监管机构只关心需要支付资本要求的头寸，而属于K的头寸被视为0头寸。我们现在为基于监管机构的风险统计构建一个示例。示例3.1。一致性风险度量AV@R[10]对此进行了详细研究。他们给出了一些表示和许多性质，如定律不变性和Fatou性质。[14] 首次引入集值AV@R，其中导出表示结果。此外，他们还证明了这是一个集值相干风险度量。我们现在确定基于监管机构的平均风险值。对于任何X∈ Rd×nand0<α<1，我们定义（十） 作为（十） ：=AV@Rlossα（X）：=infz∈Rdnα(-（十）∧K1n0）| M+z）+- zo+Rm+。很明显 满足现金保障、单调性、调节器依赖性和凸性，因此是基于监管机构的风险统计。定义3.2。让Y∈ Rd×n，u∈ M、 定义函数S（Y，u）（X）：Rd×n→ 2质量（Y，u）（X）：={z∈ M:XtrY≤ utrz}。实际上，S（Y，u）（X）是X的支持函数。

在我们推导基于规则的风险统计的双重表示之前，应该回顾Legendre-Fenchel共轭理论（[11]）。引理3.1。（[11]定理2）设R:Rd×n→ QtMbe是一个集值闭凸函数。然后，R的Legendre-Fenchel共轭和双共轭可以分别定义为-R*（Y，u）：=c l[X∈Rd×nR（X）+S（Y，u）(-X）, Y∈ Rd×n，u∈ Rd；andR（X）=R**（十） ：=\\（Y，u）∈Rd×n×K+M \\{0}小时- R*（Y，u）+S（Y，u）（X）i，X∈ Rd×n.D定义3.3。（指示器功能）用于任何Z Rd×n，QtM值指示函数IZ:Rd×n→ QtMis定义的asIZ（X）：=clKM，X∈ Z、 φ，X/∈ Z.备注3.2。QtM值指示函数IZis的共轭-（IZ）*（Y，u）：=cl[X∈ZS（Y，u）(-十） 。备注3.3。很容易看出，基于监管机构的风险统计 没有现金可加性，请参见[11]。然而 具有[8]和[24]产生的现金次级可加性。事实上，根据[12]的定理6.2，满足Fatou地产。然后，考虑任意X∈ Rd×nand z∈ KM，对于任何ε∈ （0，1），我们有(1 - ε） X个- z1n= (1 - ε） X+ε(-zε）1n (1 - ε)（十） +ε(-zεn） (1 - ε)（十） +Z其中，最后一次包含是由于特性【P1】引起的。利用ε的任意性，我们得到以下引理。引理3.2。假设 是基于监管机构的风险统计。对于任何z∈ Rd+，X∈ Rd×n，（十）- z1n） （十） +z.这也意味着（X+z1n） （十）- z、 3.1上的提案。允许 : Rd×n→ QtM+是一个适当的基于闭凸调节器的风险统计量，具有u∈n-lPj=1njPh=1Y1，jh，···，-lPj=1njPh=1Yd，jh+ M⊥oTK+M \\{0}。然后-*（Y，u）=（clSX∈Rd×nS（Y，u）(-十） ，Y∈ -Rd×n+∩ （K+n），M，其他地方。（3.2）现在，我们陈述本文的主要结果，即基于监管机构的风险统计的双重表示。定理3.1。

如果 : Rd×n→ QtM+是一个基于适当闭凸正则器的风险统计，那么-α : (-Rd×n+∩ K+n）×K+M \\{0}→ QtM+，与setW的M不同=（Y，u）∈ (-Rd×n+∩ K+n）×K+M \\{0}：u∈-lXj=1njXh=1Y1，jh，···，-lXj=1njXh=1Yd，jh+ M⊥,对于任何X∈ Rd×n，（十） =\\（Y，u）∈西尼罗河- α（Y，u）+S（Y，u）十、∧K1no、 （3.3）4。基于监管机构的风险度量的替代数据版本在本节中，我们开发了另一个框架，即基于监管机构的风险度量的数据版本。这张照片与前一张有点不同。然而，几乎所有的论点都与前一节中的论点相同。因此，我们只陈述相应的符号和结果，而省略了所有的证明和相关的解释。我们用FM替换M∈ Rd×nthat是Rd×n的一个线性子空间。我们还将K替换为ek∈ Rd×nthat是一个封闭的凸多面体圆锥体，其中Ek Rd×n++。关于toeK的偏序定义为X≤eKY，意思是Y- 十、∈埃克。LetfM+：=调频∩ Rd×n+。表示EkFm：=eK∩闭合凸多面体圆锥fM，eK+fM：={eu∈ M：欧特雷兹≥ 任何ez为0∈eKfM}ekfminfm的正对偶锥，连接ekfminfm的内部。我们表示QtfM：={eAfM:eA=clco（eA+eKfM）}和qtfm+：={eAeKfM:eA=clco（eA+eKfM）}。我们仍然从监管者的角度出发，他们只关心需要支付资本要求的头寸。因此，对于任何X∈ Rd×n，我们定义X∧eK0澳大利亚证券交易所∧eK0：=（X，X/∈eK，0，X∈埃克。（4.1）然后，我们陈述了与基于监管机构的风险统计相关的公理。定义4.1。

基于监管机构的风险统计是一个函数e : Rd×n→ QtfM+满足以下特性，[Q0]归一化：eKfM e（0）和e(0) ∩ -inteKfM=φ；【Q1】现金保障：适用于任何ez∈eKfM，ez∈ e(-ez）；单调性：对于任意X，X∈ Rd×n，X- 十、∈ Rd×n∩eK表示e（十） e（十） ；[Q3]调节器依赖性：对于任何X∈ Rd×n，e（十） =e（十）∧eK0）；[Q4]凸性：对于任意X，Y∈ Rd×n，λ∈ [0，1]，e（λ（X）+（1- λ） Y） λe（十） +（1- λ） e类（Y）。我们需要更多的符号。让Y∈ Rd×n，欧盟∈fM。定义函数S（Y，eu）（X）：Rd×n→ 2fMasS（Y，eu）（X）：={ez∈fM:XtrY≤ 欧特雷兹}。LeteR：Rd×n→ QtfMbe是一个集值c闭凸函数。然后，Legendre-Fenchel共轭和双共轭可以定义为-呃*（Y，u）：=cl[X∈Rd×neR（X）+S（Y，eu）(-X）, Y∈ Rd×n，欧盟∈ Rd×n；andeR（X）=eR**（十） ：=\\（Y，eu）∈Rd×n×eK+fM \\{0}h-呃*（Y，eu）+S（Y，eu）（X）i，X∈ Rd×n.用于anyeZ Rd×n，QtfM值指示函数IeZ:Rd×n→ QtfMis定义为asIeZ（X）：=（cleKfM，X∈eZ，φ，X/∈埃兹。QtfM值指示函数IeZis的共轭-（IeZ）*（Y，eu）：=cl[X∈eZS（Y，eu）(-十） 。假设e 是一种基于调节器的风险统计。对于任何ez∈ Rd×n+，X∈ Rd×n，e（十）- ez） e（十） +ezwhich也意味着（X+ez） e（十）- 埃兹。接下来，我们陈述了基于监管机构的风险统计的双重表述。4.1中的建议。让e : Rd×n→ QtfM+是一个基于eu的适当闭凸调节器风险统计∈n-lPj=1njPh=1Y1，jh，···，-lPj=1njPh=1Yd，jh+fM公司⊥oTeK+fM \\{0}。然后-e*（Y，欧盟）=clSX公司∈Rd×nS（Y，eu）(-十） ，Y∈ -Rd×n+∩ （eK+），fM，其他地方。（4.2）定理4.1。如果e : Rd×n→ QtfM+是一个基于适当闭凸调节器的风险统计，那么-α : (-Rd×n+∩eK+×eK+fM \\{0}→ QtfM+，与setfW不一致=（Y，欧盟）∈ (-Rd×n+∩eK+×eK+fM \\{0}：欧盟∈-lXj=1njXh=1Y1，jh，···，-lXj=1njXh=1Yd，jh+fM公司⊥,对于任何X∈ Rd×n，e（十） =\\（Y，eu）∈西尼罗河- α（Y，eu）+S（Y，eu）十、∧埃克o、 （4.3）5。

主要结果的证明引理3.2的证明。L emma 3.2的证明可以从备注3.3中直接看出。命题3.1的证明。如果Y/∈ -Rd×n+∩ （K+n），存在一个“X”∈ Rd×n∩ （K1n）使得\'XtrY>0。使用S（Y，u）的定义，我们得到了S（Y，u）(-t'X）={z∈ M：-第十天≤ utrz}表示t>0。因此，cl[X∈Rd×nS（Y，u）(-X）[t>0S（Y，u）(-t'X）=M。最后一个等式是由于-第十天→ -∞ 当t→ +∞. 利用S（Y，u）的定义，我们得出∈Rd×nS（Y，u）(-X） MHencecl[X∈Rd×nS（Y，u）(-十） =每当Y时M/∈ -Rd×n∩ （K+n）。很容易检查任何X∈ Rd×nand v∈ M、 S（Y，u）(-十、- v1n）={z∈ M：-XtrY公司≤ utrz+Ytr（v1n）}={z- v∈ M：-XtrY公司≤ utr（z- v） +（Y+u1n）tr（v1n）}+v={z∈ M：-XtrY公司≤ utrz+（Y+u1n）tr（v1n）}+v。当(-lPj=1njPh=1Y1，jh，···，-lPj=1njPh=1Yd，jh）+u∈ M⊥, 我们有S（Y，u）(-十、-v1n）=S（Y，u）(-十） +v.但是，当u/∈(-lPj=1njPh=1Y1，jh，···，-lPj=1njPh=1Yd，jh）+M⊥. 因此(-lPj=1njPh=1Y1，jh，···，-lPj=1njPh=1Yd，jh）+u/∈ M⊥, 我们可以找到v∈ M，对于任何z∈ M-XtrY公司≤ utrz+（Y+u1n）tr（v1n）。因此，我们有z+v∈ S（Y，u）(-十、- v1n）。因此[z，v∈M（z+v）【五】∈ MS（Y，u）(-十、- v1n）。因此，M【五】∈ MS（Y，u）(-十、- v1n）。从S（Y，u）的定义来看，逆包含总是正确的。所以我们得出结论，M=[v∈ MS（Y，u）(-十、- v1n）。也很容易检查-*（Y，u）=cl[X∈Rd×n，v∈M（X+v1n）+S（Y，u）(-十、- v1n）= cl【X】∈Rd×n，v∈M（X+v1n）+M= M的最后一个等式来自于，M是一个线性的s速度（十） M我们现在得出-*（Y，u）=clSX∈Rd×nS（Y，u）(-十） 。在这种情况下，从-*（Y，u）=clSX∈Rd×n（十） +S（Y，u）(-X）, 我们将其分为两种情况：情况1。当X∧K1n0=0，使用定义，我们有（十） =(0)  0.Hencecl[X∈Rd×n（十） +S（Y，u）(-X） cl【X】∈Rd×nS（Y，u）(-十） 。案例2。当X∧K1n0=X，我们总是可以找到α∈ Km使α∈ （十） 。