固定比例资产定价的基本定理

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英文标题：
《Fundamental Theorem of Asset Pricing under fixed and proportional
  transaction costs》
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作者：
Martin Brown and Tomasz Zastawniak
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We show that the lack of arbitrage in a model with both fixed and proportional transaction costs is equivalent to the existence of a family of absolutely continuous single-step probability measures, together with an adapted process with values between the bid-ask spreads that satisfies the martingale property with respect to each of the measures. This extends Harrison and Pliska\'s classical Fundamental Theorem of Asset Pricing to the case of combined fixed and proportional transaction costs.
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中文摘要：
我们证明，在一个既有固定交易成本又有比例交易成本的模型中，缺乏套利等价于存在一系列绝对连续的单步概率测度，以及一个具有满足每个测度鞅性质的买卖价差之间的值的适应过程。这将哈里森和普利斯卡的经典资产定价基本定理扩展到固定和比例交易成本的组合情况。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Fundamental_Theorem_of_Asset_Pricing_under_fixed_and_proportional_transaction_costs.pdf (146.85 KB)

2022-6-15 22:39:21 上传

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关键词：资产定价 proportional Mathematical Applications Differential

固定比例交易成本下资产定价的基本定理Smartin Brown和Tomasz Zastawniak*约克赫斯灵顿大学数学系，约克YO10 5DD，联合王国，2019年5月9日摘要我们表明，在同时具有固定和比例交易成本的模型中，缺乏套利相当于存在一系列绝对连续的单步概率测度，再加上一个适应的过程，即买卖价差之间的价值，以满足每项措施的可转让财产。这将Harrison和Pliska的经典资产定价基本定理扩展到了固定交易成本和比例交易成本相结合的情况。1引言资产定价的基本定理，将缺乏套利与风险中性概率测度的存在联系起来，已经针对各种金融市场模型进行了研究。Harrison和Pliska【HarPli1981年】首次建立了具有有限状态空间的离散时间模型的结果。Dalang、Morton和Willinger【DalMorWil1990】将理论扩展到有限状态空间，Delbaen和Schachermayer【DelSch1994】【DelSch1998】将理论扩展到连续时间模型。上述经典结果适用于无摩擦模型。Jouini和Kallal【JouKal1995年】、Kabanov和Stricker【KabStr20 01年】和Ortu【Or20 01年】将Harrison和Pliska的结果扩展到以比例交易成本（以买卖价差表示）形式存在摩擦的模型。此外，Roux【Rou2011年】除按比例交易成本外，还包括利差。同样，Dalang et al。

Zhang和Deng【ZanDen2002】、Kabanov、R\'asonyi和Stricker【KabRasStr2002】和Schachermayer【Sch2004】将涉及有限状态空间的模型扩展到具有比例交易成本的模型。*通讯作者；电子邮件：tomasz。zastawniak@york.ac.uk.Under固定交易成本，据我们所知，迄今为止，Jouini、Kallal和Napp（JouKalNap2001）仅在一篇论文中研究了无仲裁和风险中性措施之间的等效性。本文讨论了长期存在的将资产定价基本定理扩展到同时适用固定交易成本和比例交易成本的情况的问题。在提及本案时，我们使用“综合成本”一词作为简写。此类成本在市场中普遍存在，因此，能够描述存在的lackof套利很重要。在理论4.3中，我们说明了在具有组合成本的市场中，没有套利相当于存在一系列单步概率测度，这些测度相对于物理概率绝对连续（但不一定等同于物理概率），以及一个鞅，该鞅对此类测度族（如第2节中所定义）和买入价与卖出价之间的取值作出响应。在这样做的过程中，我们将Harrison和Pliska【HarPli1981】关于有限状态空间的经典结果扩展到组合成本的情况。随后，在推论5.2中，我们为缺乏组合成本套利提供了另一个等效条件，即存在具有固定成本的嵌入无套利模式l。这里解决的问题中存在的技术困难是由于两个因素的结合。

一方面，比例成本意味着在完整的多步骤模型中没有套利并不等同于每个步骤子模型都应该是无套利的（即使这种等价性在无摩擦模式ls和固定成本下都成立），通过减少到一个步骤来阻止争论。另一方面，执行成本意味着一组有偿付能力的投资组合缺乏凸性。虽然这些差异分别在比例成本和固定成本的背景下解决，但它们需要新的想法来处理其复合效应。这是在定理4.3的证明中实现的。最后，我们提到Lepinette和Tran最近的论文【LepTra2017】，其中考虑了缺乏凸性的市场摩擦下的套利（包括同时固定和比例cos的情况）。在该文中，无渐近套利的特点是存在所谓的等价分离概率测度。然而，与目前的产品相比，nolink是用中性颜料制成的。在示例6.1中，我们证明了等价分离概率测度的不存在实际上并不意味着必须存在组合成本套利机会。2表示法和序言设T为正整数，设(Ohm, ∑，P）是一个过滤F=（Ft）Tt=0的有限概率空间。我们假设（在不丧失一般性的情况下），对于每个非空项，物理度量P满足条件n P（a）>0∈ FT，而西格玛场fh为单个原子，即F={, Ohm}. 对于时间t=0，…，FTA的原子作为节点，T，并在时间T=0时写入∧T这组节点，T对于任何非终端节点λ∈ ∧t，其中t=0。

T- 1，我们用succ（λ）表示λ的后续节点集，即节点u∈ ∧t+1等于u λ.对于每个t=0，T，我们可以用∧T上的函数识别任何Ft可测量的随机变量X，并将Xλ写入节点λ处X的值∈ ∧t。我们可以说Q：={Qλt | t=0，…，t- 1, λ ∈ ∧t}是一系列绝对连续的单步概率测度，只要Qλ是定义在σ域λ上的概率测度∩ Ft+1：={λ∩ A | A∈ Ft+1}对于每个t=0，T- 1和λ∈ ∧t.注意，对于每个非空A，P（A）>0的假设自动确保这些测量值与P的绝对连续性∈ FT.这样一个度量族产生了一个在西格玛字段FTbyQ（λ）：=T上定义的唯一概率度量Q-对于任何λ，1Yt=0Qλtt（λt+1）（2.1）∈ ∧T，其中λT∈ ∧t对于t=0，T是节点的唯一序列，如λ · · ·  λT=λ。一般来说，族Q比对应度量Q更丰富，因为它在Q（λ）=0的节点λ处携带更多信息。此外，我们应该说，一个适应的过程s是关于测度Q族的鞅，如果sλt=Xu∈连续（λ）Qλt（u）Sut+1（2.2），每个t=0，T- 1和λ∈ ∧t。该条件意味着，特别是，S是与（2.1）族Q相关的概率测度Q下的鞅（通常意义上）。将使用绝对连续单步概率测度族和与此类测度族相关的鞅来描述具有组合（固定和比例）交易成本的市场模型中ar比特率的存在性；参见理论4.3.3具有固定和成比例成本的模型。A、B和C是R值过程，适用于过滤F，使0<B≤ A<∞ 和0<C<∞.

我们将此流程集合与过滤称为组合成本模型，其中a、B分别扮演询价和报价的角色，C代表固定交易成本。Gλtyx图1：设置Gλtof组合成本溶剂组合（x，y），其中Aλt=1.5，Bλt=0.5，Cλt=1.0。在组合成本模型中，偿付能力和自我融资的概念可以按以下形式进行形式化。定义3.1 1）我们说投资组合（x，y）∈ Rof现金和股票在t=0时为组合成本偿付能力，T和节点λ∈ ∧t清算股票头寸时，会留下非负现金金额x+Bλty+- Aλty-- Cλt≥ 0在满足固定交易成本Cλ后，或当现金和股票价格一开始都为非负时，即x，y≥ 我们用Gλt表示这类投资组合的集合（x，y）。2） 我们将组合成本选择融资策略定义为一个R值f-可预测过程（X，Y）={（Xt，Yt）}T+1t=0，从而（XλT- Xλt+1，Yλt- Yλt+1）∈ Gλt对于ea ch t=0，T和λ∈ ∧t.备注3.2我们还可以考虑组合成本清算值lλt（x，y）：=x+（Bλty+- Aλty-- Cλt）1y/∈投资组合（x，y）的[0，Cλt/Bλt]∈ Rat时间t=0，T和节点λ∈ ∧t.观察（x，y）∈ Gλtis相当于Lλt（x，y）≥ 图1显示了一组典型的GλTof组合成本偿付组合。4固定成本和比例成本下资产定价的基本定理定义4.1我们说，只要满足以下条件，组合成本自我融资策略（X，Y）就是组合成本套利机会：1）（X，Y）=（0，0），2）XT+1≥ 0和YT+1≥ 对于某些λ，0,3）XλT+1>0∈ ∧T.备注4.2组合成本套利的缺失可在备注3.2中引入的清算价值中描述。

也就是说，当且仅当每个组合成本自筹策略（X，Y）的LT（XT，YT）=0时，不存在组合成本套利机会，即（X，Y）=（0，0）和LT（XT，YT）≥ 这是经典无仲裁e（NA）条件的直接扩展，如[KabStr20 01]、[Sch2004]等。资产定价的基本定理扩展到组合成本模型的情况，如下所示。定理4.3以下条件是等价的：1）在具有买卖价格A、B和固定成本C的模型中，不存在组合成本套利机会；2） 存在一个适应过程S和一组绝对连续的单步概率测度Q，使得S是关于族Q和B的鞅≤ S≤ A、 证明。证明含义1）=> 2） ，假设没有组合成本套利机会。我们通过反向归纳构造两个自适应过程：UλT：=AλT，VλT：=BλT，用于eachλ∈ ∧T，andUλT-1： =最大u∈连续（λ）（Uut∧ Aut），Vλt-1： =最小u∈成功（λ）（Vut∨ But）对于ea ch t=1，T和λ∈ ∧t-1、在构造过程U和V之后，我们声称，对于每个t=0，T- 1存在停车时间σ，τ>t，使得UT≥ Aσ，Vt≤ Bτ。我们用反向归纳法证明了σ的存在性。对于τ，参数相似，为简洁起见，将省略。对于t=t- 1我们得到UT-1.≥ Aσ，将σ：=T。现在我们假设对于某些t=1，T- 1我们已经确定有一个停止时间η>t，使得Ut≥ Aη。让我们把σ：=η1{At>Ut}+t1{At≤Ut}。接下来是UT-1.≥ 美国犹他州∧ At=Ut{At>Ut}+At{At≤Ut}≥ Aη{At>Ut}+At{At≤Ut}=Aσ，完成cla im的证明。接下来，我们展示VT∨ 英国电信≤ 美国犹他州∧ 在（4.1）处，对于每个t=0。。。，T假设情况并非如此，取最大的t=0。。。，违反了（4.1）。由于UT=At和VT=BT，因此t<t。

也就是说，Vt+1∨ 英国电信+1≤ Ut+1∧ At+1，这意味着VT≤ 美国犹他州。此外，我们知道英国电信≤ 在因此，为了违反（4.1），以下两个不等式中的至少一个必须在某个节点λ处成立∈ ∧t：oVλt>Aλt。我们知道存在一个s顶置时间τ>t，使得Bτ≥ Vt，so Bτ>Atonλ。在这种情况下，为λtat时间t和节点λ购买足够多的股票头寸，并在时间τ为λ的任何场景出售（否则什么都不做）的策略将是一个组合成本套利机会。准确地说，这种策略（X，Y）可以定义为（Xs，Ys）：=（0，0）对于s=0，t、 λ(-Atz公司- Ct，z）对于s=t+1，τ,λ(-Atz+Bτz- 计算机断层扫描- Cτ，0），对于s=τ+1，T+1，对于足够大的z>0，以便(-At+Bτ）z>Ct+Cτonλ。oUλt<Bλt。我们知道有一个停止时间σ>t，使得aσ≤ Ut，因此Aσ<Btonλ。战略（X，Y）定义为（Xs，Ys）：=（0，0）对于s=0，t、 λ（Btz- 计算机断层扫描，-z） 对于s=t+1，σ、 λ（Btz- Aσz- 计算机断层扫描- Cσ，0），对于s=σ+1，当z>0时，T+1将是一个组合成本套利机会，因此（Bt- Aσ）z>Ct+Cσ在λ上。这与不存在组合成本套利机会的假设相矛盾。因此，权利要求（4.1）已被证明。我们准备通过归纳法构建一个过程S和一系列单步概率度量Q。在时间t=0时，我们取任何值∈ 【五】∨ B、 U型∧ A] 。现在假设一个Ft可测的随机变量St∈ [Vt∨ Bt、Ut∧ 已经为一些t=0，…，构建了At]，T- 1、对于每个λ∈ ∧twe haveVνt+1∨ Bνt+1=Vλt≤ Sλt≤ Uλt=Uut+1∧ Aut+1对于某些u，ν∈ 成功（λ）。

如果u6=ν，我们将ut+1：=Uut+1∧ Aut+1，Sνt+1：=Vνt+1∨ Bνt+1和，对于任何η∈ 除了u或ν之外，我们取Sηt+1任何值ηt+1∈ [Vηt+1∨ Bηt+1，Uηt+1∧ Aηt+1]。这意味着最小u∈连续（λ）Sut+1≤ Sλt≤ 最大u∈such（λ）Sut+1，因此在σ字段λ上有一个概率度量Qλ∩ Ft+1（2.2）保持不变。但如果u=ν，那么我们将ut+1：=沙，对于任何η∈ succ（λ）除u外，我们取Sηt+1任何值ηt+1∈ [Vηt+1∨ Bηt+1，Uηt+1∧ Aηt+1]。此外，对于任何η，我们将Qλt（u）：=1和Qλt（η）：=0∈ succ（λ）而非u，它定义了σ域λ上的概率度量Qλ∩ Ft+1（2.2）保持不变。这种结构产生了一个适应的过程S，使得B≤ S≤A、 和一组绝对连续的单步概率测度Q，使得S是关于family Q的鞅。蕴涵1）=> 2） 已被证明。相反，验证2）=> 1） ，我们假设条件2）成立，并通过反证推理，假设存在一个组合成本套利机会（X，Y）。条件2）意味着xλt+Sλt-1Yλt≥ 最小u∈对于每个t=1，…，连续（λ）（Xλt+SutYλt）（4.2），T和λ∈ ∧t-事实上，如果这个不等式在somet=1时失败，T和λ∈ ∧t-1，则λt<minu∈连续（λ）Sut+1或Sλt>最大u∈连续（λ）Sut+1，取决于Yλt>0还是Yλt<0。在任何一种情况下，这都意味着西格玛场λ上没有概率度量Qλ∩ Ft+1这样（2.2）就成立了，这是定理的条件2）。其次，由于（X，Y）是一种组合成本自我融资策略，因此，对于每个t=0，T和λ∈ ∧t，Xλt- Xλt+1+Sλt（Yλt- Yλt+1）≥ Xλt- Xλt+1+Bλt（Yλt- Yλt+1）+- Aλt（Yλt- Yλt+1）-≥ Cλt>0（4.3）或xλt≥ Xλt+1，Yλt≥ Yλt+1。（4.4）HenceXt+StYt≥ Xt+1+StYt+1（4.5），对于ea ch t=0，T我们可以通过反向归纳法证明xt+1+StYt+1≥ 0（4.6），每t=0，T

显然，（4.6）对于t=t，假设XT+1≥ 0和YT+1≥ 现在假设（4.6）对于一些t=1，…，成立，T取任意λ∈ ∧t-1、然后xλt+Sλt-1Yλt≥ 最小u∈成功（λ）（Xλt+SutYλt）≥ 最小u∈成功（λ）（Xλt+1+SutYλt+1）≥ 0，其中第一个不等式由（4.2）得出，第二个不等式由（4.5）得出，最后一个不等式由归纳假设得出，从而完成了反向归纳论证。为了进一步处理，让我们推出：=最大{s=0，…，T+1 | X≥ · · · ≥ X和Y≥ · · · ≥ Ys}。由于（X，Y）是一个组合成本套利机会，我们知道对于某些λ，X=Y=0，XλT+1>0∈ ∧T。如果T=T+1，则表示0=X≥ XλT+1>0，矛盾。另一方面，如果t≤ T，那么会有一个λ∈ ∧t表示（4.4）失败，因此（4.3）必须停止，这意味着Xλt+SλtYλt>Xλt+1+SλtYλt+1≥ 0，其中最后一个不等式来自（4.6）。然而，这也是不可能的≤ X=0和Yt≤ Y=0。这一矛盾完成了证明。5固定成本固定成本模型包括两个流程S和C，适用于过滤F，其中0<S<∞ r e表示股票价格，0<C<∞ 固定交易成本。这是组合成本模式l的一种特殊情况，当买卖价格一致时。因此，定义3.1和4.1涵盖了固定成本有偿付能力的投资组合、固定成本自我融资战略和固定成本a轨道机会，其中a：=B：=S。在这种情况下，理论4.3简化为以下结果。推论5.1以下条件是等效的：1）在股票价格和固定成本为C的模型中不存在固定成本套利机会；2） 存在一系列绝对连续的单步概率测度Q，使得S是关于Q的鞅。固定成本下资产定价基本定理的这一版本与Jouini、Kallal和Napp【JouKalNap2001】获得的基本定理相似。