相对约束下最优消费与投资的多人博弈

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英文标题：
《Many-player games of optimal consumption and investment under relative
  performance criteria》
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作者：
Daniel Lacker, Agathe Soret
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We study a portfolio optimization problem for competitive agents with CRRA utilities and a common finite time horizon. The utility of an agent depends not only on her absolute wealth and consumption but also on her relative wealth and consumption when compared to the averages among the other agents. We derive a closed form solution for the $n$-player game and the corresponding mean field game. This solution is unique in the class of equilibria with constant investment and continuous time-dependent consumption, both independent of the wealth of the agent. Compared to the classical Merton problem with one agent, the competitive model exhibits a wide range of highly nonlinear and non-monotone dependence on the agents\' risk tolerance and competitiveness parameters. Counter-intuitively, competitive agents with high risk tolerance may behave like non-competitive agents with low risk tolerance.
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中文摘要：
我们研究了具有CRRA效用和公共有限时间范围的竞争代理的投资组合优化问题。代理人的效用不仅取决于其绝对财富和消费，还取决于其相对财富和消费与其他代理人的平均水平相比。我们推导了$n$游戏者对策和相应的平均场对策的闭式解。该解在具有恒定投资和连续时间依赖消费的均衡类中是唯一的，这两种均衡都与代理的财富无关。与经典的单agent Merton问题相比，竞争模型对agent的风险容忍度和竞争参数具有广泛的高度非线性和非单调依赖性。与直觉相反，具有高风险承受能力的竞争代理可能会表现得像具有低风险承受能力的非竞争代理。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--

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PDF下载：
--> Many-player_games_of_optimal_consumption_and_investment_under_relative_performan.pdf (686.35 KB)

2022-6-24 00:41:55 上传

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关键词：消费与投资 Mathematical Optimization Quantitative competitive

相对性能标准下最优消费和投资的多人博弈Daniel LACKER和AGATHE SORETAbstract。我们研究了具有共同有限时间范围和谨慎性的竞争代理的投资组合优化问题。代理人的效用不仅取决于其绝对财富和消费，而且还取决于其相对财富和消费，与其他代理人的平均水平相比。我们推导了n人博弈和相应的平均场博弈的闭式解。这种解决方案在具有恒定投资和连续时间依赖消费的均衡类中是唯一的，这两种均衡都与代理的财富无关。与单agent的经典Merton问题相比，竞争模型对agent的风险容忍度和竞争参数表现出广泛的高度非线性和非单调依赖性。与直觉相反，具有高风险耐受性的竞争性代理人的行为可能类似于具有低风险耐受性的非竞争性代理人。1、导言在本文中，我们将Lacker和Zariphopoulou最近开发的最优投资问题的CRRA模型扩展到包括消费。我们的模型如下所述，第2节给出了全部细节。每个代理选择消费和投资政策，并获得无风险债券和对数正态股票。不同代理人专攻的股票可以相互关联，我们涵盖了完美关联的极端情况，即所有代理人交易的单一股票。每个政府都有一个CRRA效用，取决于（共同）时间范围T内的绝对和相对财富以及绝对和相对消费，后者是时间积分意义上的。代理人对风险的厌恶程度不同，对绝对绩效和相对绩效的偏好也不同。

相对性能标准将这n个优化问题耦合在一起，我们发现了各种模型参数之间的纳什均衡（唯一，在某种意义上稍后澄清）。正如经典的默顿问题[23]所揭示的那样，在均衡状态下，每个代理人都会将财富的一部分投资于股票，消费策略与时间有关，但与代理人的财富无关。均衡行为符合萨缪尔森的结果【26】：投资策略独立于消费策略。也就是说，投资策略与[21]中研究的无消费模型完全相同。作为各种模型参数的函数，均衡消费政策比投资政策表现出更高的非线性和非单调行为，我们在第4节对此进行了详细研究。值得注意的是，在整个时间范围内，每个代理的消费率Ct随时间单调变化[0，T]；然而，一个代理是否随时间增加或减少消费，以复杂的方式取决于她自己的风险偏好以及其他代理参数的某些集合。我们模型的三个关键特征是相对消费关注点、相对财富关注点和资产专业化。为了对后两个主题和进一步的参考文献进行深入的讨论，我们推迟了[21]的介绍，但我们强调了一个特别重要且目前已经确立的观点，即共同基金的选择受到相对绩效的高度影响[28]。也就是说，表现优异的其他基金经理往往会吸引丹尼尔·莱克和阿加索雷特在自己的基金中进行更大的未来投资。在[21]之后，与我们的作品关系最密切的是[2、3、5、11、12、14]。

这些论文研究了在各种情况下，包括不同类型的公用事业、均衡定价和国家约束条件下，在相对绩效关注下的最优投资的连续时间模型，但没有一篇论文将消费纳入其中。研究相对消费问题有两个自然的论点。一方面，将代理人解释为基金经理，我们可以将消费视为资本积累，以设备、技术或员工福利的形式存在。从这个意义上讲，高相对消费自然会吸引客户或更好的员工，更一般地说，它应该会带来与高相对财富类似的收益。另一方面，如果我们将模型中的代理人解释为家庭投资者，那么相对消费担忧自然与攀比模型相吻合；这一系列文献直接结合了投资和消费决策的社会方面【1、9、10、15】。我们的论文对最优消费和投资以及平均场博弈的应用方面的文献做出了贡献。默顿（Merton）[23，24]和萨缪尔森（Samuelson）[26]的里程碑式论文对一个参与者的终身消费和投资规划动态问题进行了形式化和研究。后来的工作将更复杂的特性纳入到模型中，如一般价格过程、破产等[19，20]。那些将多个主体纳入模型的人，如[18，27]，是在平衡情境中这样做的；每个代理人的行为仅通过价格来决定其他代理人的行为，而价格是在均衡状态下决定的。

在我们的模型中，代理人是价格接受者，我们不试图纳入价格均衡，因为这将严重影响可跟踪性。另一方面，我们的工作提供了一个新的显式可解平均场博弈模型。[17，22]中介绍的平均场对策，除了线性二次型例子外，很少能显式求解。关于一些值得注意的例外情况，请参见[4、6、16、21、29]，关于平均场比赛活跃区域的进一步背景，请参见本书。从平均场博弈的角度来看，我们的模型相当复杂：它涉及常见的噪声、退化的波动系数、奇异的目标函数以及通过状态和控制的平均场相互作用（即扩展的平均场博弈[7，第一章4.6]）。然而，问题的精确结构有助于找到明确的解决方案。我们的论证遵循[21]的思路，将平均场项（财富的几何平均值）视为一个状态变量，这导致了一个涉及单个HamiltonJacobi-Bellman（HJB）方程的定点问题，而非通常用于随机微分博弈的n维HJB系统。在证明该方程具有唯一且可分离的经典解后，通过非线性有序微分方程组来求解不动点。尽管与[21]有许多相似之处，但消费使得争论实质上更加复杂。本文的组织结构如下。在第2节中，我们制定并求解上述n-agentmodel。然后，在第3节中，我们研究了这个问题的最终人口对立面，认为n→ ∞ 极限导致了一种更简单的平衡形式。最后，第4节讨论并解释了均衡的形式及其对模型参数的依赖关系。2、n-agent博弈在本节中，我们考虑n-player博弈，其中每个agent在一个公共投资期限内交易[0，T]。

代理人可以投资于自己的特定股票或普通无风险债券，其利率为零。股票i的价格，其中只有代理人i消费和投资在相对绩效标准3trades下，由dynamicdssitsitsit=uidt+νidWit+σidBt给出，（1）其中布朗运动W。。。，Wn、B是独立的，在概率空间上定义(Ohm, F、 P），我们赋予其自然过滤（Ft）t∈[0，T]由森+1布朗运动生成，其中市场参数为常数ui>0，σi≥ 0和νi≥ 0，σi+νi>0。为简单起见，假设价格为一维，尽管我们可以很容易地将结果扩展到k维价格。此设置涵盖单个股票的重要特殊情况，对应于所有股票相同的情况。也就是说，ui=u，νi=0，σi=σ，对于alli=1。。。，对于某些u，σ>0，与i无关，因此Si≡ 对于每个i，j（假设初始值一致）。在单一股票的情况下，代理人面临相同的市场机会，而不是专注于不同的资产，尽管他们的风险偏好仍然不同。每个代理人都会选择一种自我融资策略，（πit）t∈[0，T]，表示投资于股票i的财富比例，以及消费政策（cit）T∈[0，T]。然后，agent i的财富过程由dxit=πitXit给出uidt+νidWit+σidBt- citXitdt，Xi=Xi。（2） 请注意，citxit表示代理i的瞬时消费率，因此citis是单位财富的消费率。我们说，如果一个投资组合策略属于F-逐步可测R×R+值过程（πt，ct）t的集合a，那么它是可容许的∈[0，T]satisfyingERT（πT+ct）dt<∞. 在整个论文中，R+：=（0，∞) 表示严格正实数，我们不允许消耗率为零。

这是合理的，比最初出现的限制更少，因为下一段介绍的效用函数的形式将确保代理的边际效用方法+∞ 随着消耗量接近零。还请注意，对于任何可接受的投资组合策略，所有t的Xit均大于0∈ [0，T]。事实上，我们像（2）中所做的那样，将消费过程参数化，部分是为了避免破产的可能性，部分是为了避免施加任何国家限制。每个代理的效用函数属于幂函数族（CRRA），U（x；δ）=（1-1/δx1-1/δ如果δ6=1log x如果δ=1，定义为x，δ>0。代理i寻求最大化预期效用ji（（πi，ci）ni=1）=EZTU公司citXit（cXt）-θi；δidt+国际单位XiTX-θiT；δi, （3） 定义任何容许策略向量（πi，ci）ni=1，其中（πi，ci）∈ A对于每个i=1，n、 此处XT=Qnk=1XkT1/nand cXt=Qnk=1（ctXt）k1/分别为人口（几何）平均财富和消费率。参数δi>0和θi∈ [0，1]分别代表ITH代理的风险承受能力和竞争权重。出于可处理性的原因，我们将相同的效用函数应用于财富和消费，但我们使用参数来衡量财富的效用i> 0获取代理分配给终端财富相对于消费的相对重要性。我们选择使用几何平均值而不是算术平均值也是出于易处理性：正如独立布朗运动的（算术）平均值再次是布朗运动一样，独立几何布朗运动的几何平均值再次是几何布朗运动。

值得强调的是，4 DANIEL LACKER和AGATHE SORETthe效用函数的另一种形式，通过在效用函数ascitXit（cXt）中编写术语来揭示-θi=（citXit）1-θicitXitcXtθi，XiTX-θiT=（XiT）1-θiXiTXTθi.citXit/cx和XiT/x分别衡量相对消费率和相对终端财富。特别是，将（3）中的效用函数应用于绝对和相对消费率与终端财富之间的对数变换组合，θi控制绝对和相对绩效之间的权衡。对于θi输给1，agenti更关心相对性能而不是绝对性能，对于θi=0，agenti根本没有竞争力，忽略了其他人。目标是找到一个纳什均衡，一种投资策略（~π*t、 ~c*t） t型∈[0，T]使得πi，*tand ci，*皮重分别由代理i执行的最优库存和消费分配，以响应所有其他代理的策略。考虑到默顿问题和[21]的最新发现，我们可能期望找到一个平衡点，其中投资策略π*皮重常数和消费策略ci，*皮重仅与时间相关。定义2.1。我们说一个向量（πi，*, ci，*)ni=1个容许策略（即（πi，*, ci，*) ∈A对于每个i）是一个平衡，如果对于每个i=1。。。，n和每个（π，c）∈ A we haveJi（（πi，*, ci，*)ni=1）≥ 冀. . . , （πi-1.*, ci公司-1.*), （π，c），（πi+1，*, ci+1，*), . . ..平衡（πi，*, ci，*)ni=1称为强平衡，如果对于每个i，过程ci，*是确定的和连续的，过程πi，*是确定性和常量。主要结果如下，给出了平衡的显式形式：定理2.2。让n≥ 2、假设所有i=1。。。，n、 我们有xi>0，δi>0，θi∈ [0，T]，i> 0，ui>0，σi≥ 0，νi≥ 0，σi+νi>0。

然后有一个唯一的强平衡（πi，*, ci，*)ni=1，它的形式如下：πi，*=δiuiσi+νi（1+（δi- 1） θi/n）-θi（δi- 1） σiσi+νi（1+（δi- 1） θi/n）φ1+ψ（4）ci，*t型=βi+λi-βie-βi（T-t）-如果βi6=0（T- t+λ-1i）-1如果βi=0。（5） 常数（φ，ψ）和（βi，λi）ni=1由φ=nnXk=1δkukσkσk+νk（1+（δk- 1） θk/n），ψ=nnXk=1θk（δk- 1） σkσk+νk（1+（δk- 1） θk/n），βi=θi（δi- 1） nPnk=1δkρk1+nPnk=1θk（δk- 1)- δiρi，λi=-δiinYk=1δkk！1/nθi（δi-1） /（1+nPnk=1θk（δk-1） ），（6）这种平衡的定义更具体地说是开环类型，但非随机的强平衡也可以在闭环或马尔可夫控制上提供平衡。相对绩效标准5下的消费和投资，其中我们还定义了（ρi）ni=1，ρi=（1- 1/δi）（（1- θi/n）（ui- σiθi（1- 1/δi）nPk6=iσkπk，*)2（σi+νi）（1- (1 - θi/n）（1- 1/δi））+nXk6=iσkπk，*+nXk6=i（νkπk，*)θi（1- 1/δi）- θinXk6=iukπk，*+θi2nXk6=i（σk+νk）（πk，*)),此外，我们有恒等式ynnxk=1σkπk，*=φ1 + ψ. （7） 请注意，δi=1意味着βi=0，这意味着对数投资者总是使用第二种形式的ci，*t输入（5）。均衡的形式似乎并没有进一步简化，除非是在单一股票的情况下：推论2.3。（单只股票）假设所有i=1。。。，n我们有ui=u>0、σi=σ>0和νi=0。然后有一个唯一的强平衡（πi，*, ci，*)ni=1，它的形式如下：πi，*=uσδi-θiθcrit（δi- 1)（8） ci，*t型=βi+λi-βie-βi（T-t）-如果βi6=0，（T- t+λ-1i）-1如果βi=0。（9） 对于每个i，常数λiis由（6）给出，βi和θcrit由βi=u2σ（1）给出- δi）1.-θiθcritδi-θiθcrit（δi- 1),θcrit=1+nPnk=1θk（δk- 1） nPnk=1δk。在第3节中，我们通过发送n进一步简化→ ∞. 然后，在第4节中，我们详细分析了平衡行为如何依赖于各种参数。定理2.2的证明。首先，我们安排一名代理人∈ {1, . . .

，n}，并假设所有其他参与者都遵循给定的策略。也就是说，对于k 6=i，让πk∈ R和ck：[0，T]→ R+表示其他代理的固定容许策略，其中投资政策πkis不变，消费政策cks是确定性连续函数。我们将解决agent i的优化问题，确定agent对竞争对手策略的最佳响应。然后，我们将解决由此产生的定点问题。定义Yt：=（Qk6=iXkt）1/n，其中xkt根据策略（πk，ck）求解（2），其中xk=xk。我们使用以下缩写：∑k=σk+νkcuπ-i=nPk6=iukπk，cσπ-i=nPk6=iσkπk，d∑π-i=nPk6=i∑kπk，\\（νπ）-i=nPk6=iνkπk，bc-i（t）=nPk6=ick（t）。6 DANIEL LACKER和AGATHE SORETA使用It^o公式进行的简单计算（参见[21]中定理14的证明）表明，过程Ytsatiesdyt=（ηi- 卑诗省-i（t））dt+nXk6=iνkπkdWkt+cσπ-idBt，（10），其中我们还定义ηi=cuπ-我-d∑π-我- cσπ-我-n \\（νπ）-我.然后，ithagent解决优化问题SUP（πi，ci）∈AEZTU公司（citXit）1-θi/n（(R)c-i（t）Yt）-θi；δidt+国际单位退出1.-θi/nY-θiT；δi, （11） 其中“c”-i（t）=Qk6=ick（t）1/nanddXit=πitXit（uidt+νidWit+σidBt）- citXitdt，Xi=Xi，带（Yt）t∈[0，T]求解（10）。将（Xi，Y）视为状态过程，我们通过注意值（11）应等于v（Xi，Y，0），来解决这个随机最优控制问题，其中v（x，Y，t）解HJB方程0=vt+supπ∈Rπ（uixvx+σicσπ-ixyvxy）+π∑ixvxx+ supc公司∈R+h-cxvx+U（cx）（1-θi/n）（\'c-i（t）y）-θi；δii+（ηi- 卑诗省-i（t））yvy+n \\（νπ）-i+cσπ-我yvyy，（12）表示（x，y，t）∈ R+×R+×[0，T），终端条件V（x，y，T）=iU（x1-θi/ny-θi；δi）。（13） 请注意，如果vxx<0和vx>0，则（12）中的两个超高是有限的，因此我们假设情况就是这样，我们将最终检查我们的解决方案是否满足这些约束。