远期利率曲线空间的紧嵌入

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英文标题：
《Compact embeddings for spaces of forward rate curves》
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作者：
Stefan Tappe
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The goal of this note is to prove a compact embedding result for spaces of forward rate curves. As a consequence of this result, we show that any forward rate evolution can be approximated by a sequence of finite dimensional processes in the larger state space.
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中文摘要：
本文的目的是证明正向速率曲线空间的紧嵌入结果。结果表明，在更大的状态空间中，任何正向速率演化都可以用一系列有限维过程来近似。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Functional Analysis        功能分析
分类描述：Banach spaces, function spaces, real functions, integral transforms, theory of distributions, measure theory
Banach空间，函数空间，实函数，积分变换，分布理论，测度理论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-6-24 07:04:13 上传

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关键词：利率曲线 远期利率 Mathematical distribution Differential

前向速率曲线空间的紧凑嵌入件Tefan TAPPEAbstract。本文的目的是证明正向速率曲线空间的紧嵌入结果。作为这一结果的结果，我们表明，在更大的状态空间中，任何正向速率演化都可以用一系列有限维过程来近似。简介Heath Jarrow Morton-Musiela（HJMM）方程是一个s-tochastic偏微分方程，用于模拟零息票债券市场中远期利率的演变；我们参考【4】了解更多详细信息。已经在一系列论文中对其进行了研究，例如参见[9,2]、[5,7]和其中的参考文献。包含正向曲线的状态空间是一个由函数sh：R组成的可分离希尔伯特空间H+→ R、 实际上，正向曲线具有以下特征：o功能h∈ H在长端变软。o因此，极限limx→∞h（x）存在。第二个性质是通过选择希尔伯特空间Lβ来考虑的⊕ R、 其中，Lβ表示加权L ebesgue空间Lβ：=L（R+，eβxdx）（1），对于某些常数β>0。例如，在[9，2]中使用了此类空格。由于函数的弯曲度是通过其导数来衡量的，因此通过选择空间hγ：={h:R，可以考虑第一个特性+→ R:h与khkγ绝对连续<∞}（2） 对于某些常数γ>0，其中范数由KHKγ给出：=|h（0）|+ZR+| h′（x）| eγxdx1/2.（3） 此类空间已在[4]中引入（甚至使用更一般的权重函数），并进一步利用，例如在[5，7]中。我们的目的是证明对于所有的γ>β>0，我们有紧嵌入hγ Lβ⊕ R、 也就是说，在[4]和即将到来的pap-e-rs中使用的前向曲线空间包含在[9]中使用的前向曲线空间中，并且嵌入甚至是紧凑的。

因此，这些空间之间的嵌入算子可以用一系列有限秩算子来近似，因此，当在状态空间Hγ中考虑HJMM方程时，应用这些算子，其解可以近似为2010年数学学科分类。91G80、46E35。关键词和短语。正向曲线空间、紧嵌入、Sobolev空间、Fouriertransform。2 STEFAN Tappeb在较大状态空间Lβ中的一系列有限维过程⊕ R详情请参阅第3节。本说明的其余部分组织如下。在第2节中，我们提供了所需的准备工作。在第三节中，我们给出了嵌入结果及其证明，并概述了关于HJMM方程解的描述的近似结果。2、准备工作和注释在本节中，我们提供了所需的初步结果和一些基本注释。关于Sobolev空间和Fourier变换即将得到的结果，我们可以参考任何关于泛函分析的教科书，如[8]或[10]。如引言中所述，对于正实数β，γ>0，可分Hilber t空间Lβ⊕R和Hγ分别由（1）和（2）决定。这些空间和即将出现的Sobolev空间将被视为具有复值函数的空间。每小时∈ Hγ极限H(∞) := 林克斯→∞h（x）exists与子空间γ：={h∈ Hγ：H(∞) = 0}是Hγ的闭子空间，参见[4]。对于n开集Ohm  R我们用W表示(Ohm) 索波列夫空间W(Ohm) := {f∈ L(Ohm) : f′∈ L(Ohm) 存在}，它配备了内部产品HF、giW(Ohm)= hf，giL(Ohm)+ hf′，g′iL(Ohm),（4） 是一个可分的希尔伯特空间。这里，导数被理解为弱导数。对于函数h∈ W（（0，∞)) 扩展h（0，∞): R→ 一般来说，C不属于W（R）。在目前情况下，这个技术问题可以通过以下方式解决。

设h：（0，∞) → C是一个连续函数，使得limith（0）：=limx→存在0h（x）。然后我们定义了反射系数h*: R→ C灰分*（x） ：=（h（x），如果x≥ 0，小时(-x） ，如果x<0。引理2.1。以下陈述是正确的：（1）对于每个h∈ W（（0，∞)) 我们有h*∈ W（R）。（2） 映射W（（0，∞)) → W（R），h 7→ h类*是有界线性运算符。（3） 每小时∈ W（（0，∞)) 我们有KHKW（（0，∞))≤ kh公司*千瓦（R）≤√2khkW（（0，∞)),khkL（（0，∞))≤ kh公司*kL（右）≤√2khkL（（0，∞)).证据这是根据[3，定理8.6]的证明进行的简单计算得出的。引理2.2。设γ>β>0为任意值。那么下面的陈述是正确的：（1）我们有Hγ Hβ和KHKβ≤ 所有h的khkγ∈ Hγ。（5） （2）我们有Hγ 有一个常数C=C（β，γ）>0，这样KHKLβ≤ 所有h的Ckhkγ∈ Hγ。（6） 每h远期利率曲线空间的紧凑嵌入3（3）∈ Hγ我们有（β/2）o（0，∞)∈ W（（0，∞)), （he（β/2）o（0，∞))*∈ W（R），有一个常数C=C（β，γ）>0，使得k（he（β/2）o|（0，∞))*千瓦（R）≤ 所有h的Ckhkγ∈ Hγ。证据第一种说法是（3）给出的标准Hγ表示的直接结果。让h∈ Hγ是任意的。通过Cauchy-Schwarz不等式，我们得到KHKLβ=ZR+| h（x）| eβxdx=ZR+Z∞xh′（η）e（γ/2）ηe-（γ/2）ηdηeβxdx≤锆+Z∞x | h′（η）| eγηdηZ∞xe公司-γηdηeβxdx≤锆+ZR+| h′（η）| eγηdηγe-γxeβxdx≤γZR+e-(γ- β） xdx公司khkγ=γ（γ- β） khkγ，证明第二个陈述。此外，通过（6）我们得到了（β/2）o（0，∞)kL（（0，∞))=ZR+| h（x）e（β/2）x | dx=ZR+| h（x）| eβxdx=khkLβ≤ Ckhkγ，通过估计（5），（6），我们得到K（d/dx）（he（β/2）o|（0，∞))kL（（0，∞))=锆+ddx公司h（x）e（β/2）xdx=ZR+h′（x）e（β/2）x+βh（x）e（β/2）xdx公司≤ 2.ZR+| h′（x）| eβxdx+βZR+| h（x）| eβxdx≤ 2khkβ+βkhkLβ≤2+βCkhkγ，它与引理2.1，c一起构成了证明。

对于h∈ L（R）傅里叶变换Fh:R→ C定义为（Fh）（ξ）：=√2πZRh（x）e-iξxdx，ξ∈ R、 （7）回忆t C（R）表示所有连续函数在单位处消失的空间，该空间具有上确界范数，是一个Banach空间。我们得到以下结果：引理2.3。傅里叶变换F:L（R）→ C（R）是具有kFk的连续线性化器≤ 1/√2π.引理2.4。设γ>β>0为任意值。那么以下陈述是正确的：（1）对于每个h∈ Hγ我们有（he（β/2）o（0，∞))*∈ L（R）存在常数C=C（β，γ）>0，使得k（he（β/2）o（0，∞))*kL（右）≤ 所有h的Ckhkγ∈ Hγ。每个ξ4个STEFAN TAPPE（2）∈ R映射hγ→ R、 h 7→ F（he（β/2）o（0，∞))*（ξ） 是一个连续的线性泛函。证据我们设置δ：=（β+γ）∈ (β, γ). 让h∈ Hγ是任意的。通过CauchySchwarz不等式和引理2.2，我们得到了（he（β/2）o|（0，∞))*kL（R）=2khe（β/2）okL（R+）=2ZR+| h（x）e（β/2）x | dx=2ZR+| h（x）| e（δ/2）xe-((δ-β） /2）xdx≤ 2.ZR+| h（x）| eδxdx1/2ZR+e-(δ-β） xdx公司1/2=2rδ-βkhkLδ≤ 2C（δ，γ）rδ-βkhkγ，显示第一个语句。此外，我们还有（（β/2）-δ） okLδ=ZR+e2（（β/2）-δ） xeδxdx=ZR+e-(δ-β） xdx=δ- β、 表明e（（β/2）-δ)o∈ Lδ。让h∈ Hγ和ξ∈ R可以任意。通过引理2.2我们得到了h∈ Lδ和henceF（he（β/2）o|（0，∞))*(ξ)=√2πZ∞h（x）e（β/2）xe-iξxdx+Z-∞h类(-x） e类-（β/2）xe-iξxdx=√2πZ∞h（x）e（β/2）xe-iξxdx+Z∞h（x）e（β/2）xeiξxdx=√2πh、 e（（β/2）-δ)oe-iξo+eiξoLδ，证明第二个语句。我们还可以定义L（R）上的傅立叶变换，使F:L（R）→ L（R）是一个双射，我们有所有f，g的Plancherel isometryhFf，FgiL（R）=hf，giL（R）∈ L（R）。（8） 此外，刚刚回顾的傅立叶变换的两个定义仅在L（R）上一致∩ L（R）。每小时∈ W（R）我们有（Fh′）（ξ）=iξ（Fh）（ξ），ξ∈ R、 （9）引理2.5。每小时∈ W（R）我们有KoFhkL（R）≤ khkW（右）。证据让h∈ W（R）是任意的。根据恒等式（9）和Plancherel等距图（8），我们得到koFhkL（R）=kFh′kL（R）=kh′kL（R）≤ khkW（R），完成证明。

远期利率曲线空间的紧凑嵌入53。嵌入结果及其证明在本节中，我们给出了紧嵌入结果及其证明。定理3.1。对于所有γ>β>0，我们有紧嵌入hγ Lβ⊕ R、 证明。不知道Hγ~=Hγ⊕ R、 证明紧嵌入hγ的必要性 Lβ。Let（hj）j∈N Hγ是有界序列。然后在Hγ中存在一个弱覆盖的序列。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设原始序列（hj）j∈n在Hγ中弱收敛。我们将证明（hj）j∈Lβ中的Nis a C auchy序列。根据引理2.2，序列（gj）j∈Ngiven bygj：=（hje（β/2）o（0，∞))*, j∈ Nis是W（R）中的一个有界序列。通过引理2.1和Plancherel等距（8），对于所有j，k∈ N we getkhk公司- hjkLβ=khke（β/2）o- hje（β/2）okL（R+）≤ 克格勃- gjkL（R）=kFgk- FgjkL（R）=ZR |（Fgk）（x）- （Fgj）（x）| dx。因此，对于每R>0，我们得到估计值（10）khk- hjkLβ≤Z{| x|≤R} |（Fgk）（x）- F（gj）（x）| dx+Z{| x |>R}|（Fgk）（x）- F（gj）（x）| dx。根据Le mma 2.5，序列（oFgj）j∈Nis在L（R）中有界。因此，对于任意数>0，存在一个实数r>0，例如t（11）Z{| x |>r}|（Fgk）（x）- （Fgj）（x）| dx≤RZ{| x |>R}| x | |（Fgk）（x）- （Fgj）（x）| dx<所有j，k∈ N、 根据L e mma 2.4，对于每个ξ∈ R映射hγ→ R、 h 7→ F（he（β/2）o（0，∞))*（ξ） 是一个连续的线性泛函。因此，自（hj）j∈对于每个ξ，nConverges弱inHγ∈ R实值序列（（Fgj）（ξ））j∈Nis收敛。此外，通过引理2.3和2.4，对于所有h∈ Hγ我们有估计值kf（（he（β/2）o|（0，∞))*)kC（R）≤√2πk（he（β/2）o|（0，∞))*kL（右）≤C√2πkhkγ。因此，序列（Fgj）j∈Nis在C（R）中有界。利用Lebesgue的支配收敛定理，我们推导出z{| x|≤R} |（Fgk）（x）- （Fgj）（x）| dx→ j，k为0→ ∞.（12） 将（10）与（11）和（12）组合在一起表示（hj）j∈Nis是Lβ的Cauchy序列，完成了证明。6斯特凡挺杆标记3.2。

注意，定理3.1的证明与经典的Rellich嵌入定理的证明有一定的相似性（参见，例如，[10，Satz V.2.13]），该定理陈述了紧嵌入H(Ohm)  L(Ohm) 对于开放的有界子集Ohm  注册护士。此处H(Ohm) 表示Sobolev空间H(Ohm) =D(Ohm), 其中D(Ohm) 是所有C的空间∞-功能打开Ohm 具有紧凑的支撑，其中闭合是关于内积h·、·iW诱导的拓扑。让我们简要描述这两个结果之间的类比和差异：o在经典的Rellich嵌入定理中Ohm 假设有界，而在定理3.1中Ohm = R+。此外，对于某些常数β>0，我们考虑了w（x）=eβx型权函数的加权函数空间。这需要仔细分析傅立叶变换的结果，我们已经适应了当前的情况；见引文2.4.oHγ和H(Ohm) 是不同类型的空间。而H上的范数(Ohm)式（4）涉及函数h及其导数h′的L-范数，hγ上的n形式（3）只涉及导数h′的L-范数和apoint求值。因此，嵌入H(Ohm)  L(Ohm) 立即遵循，而我们需要嵌入Hγ的假设β<γ Lβ；见引理2.2.o经典的Rel-lich嵌入定理不需要对H为真(Ohm)替换为W(Ohm). 其背后的原因是，一般来说，不可能扩展函数h∈ W(Ohm) 至函数h∈ W（Rn），然而，这对于应用傅立叶变换的结果至关重要。通常，人们会假设Ohm 满足所谓的圆锥条件，有关更多详细信息，请参见，例如，[1]。

在我们的位置上，我们必须确保每个功能∈ Hγ可以扩展为函数▄H∈ W（R），这是由EMMA 2.2提供的。在本节的其余部分，我们将描述所宣布的关于半线性随机偏微分方程（SPDE）近似解的应用，尤其适用于利率建模。考虑表单的aSPDEdrt=（Art+α（t，rt））dt+σ（t，rt）dWt+REγ（t，rt-, ξ） （p（dt，dξ）-ν（dξ）dt）r=h（13）在可分Hilbert空间h上，A表示h上某个强连续半群的生成元，由维纳过程W和带补偿器dt的齐次Poisso n随机测度p驱动ν（dξ）在一些标记空间E.weassue上，满足标准Lipschitz和线性增长条件，这确保了每个初始条件h∈ h唯一弱解rto（13）的存在性，即对于每个ζ∈ D（A*) 我们几乎可以确定hζ，rti=hζ，hiH+Zt哈*ζ、 rsiH+hζ，α（s，rs）iHds+Zthζ，σ（s，rs）iHdWs+ZtZEhζ，γ（s，rs）-, ξ） iH（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds）对于所有t≥ 0，有关更多详细信息，请参见，例如，[6]。设Hbe为具有紧嵌入H的更大可分离Hilbert spa c e H

根据定理3.1，这尤其适用于前向曲线空间H=Hγ和H=Lβ⊕ R表示γ>β>0。此外，如果A=d/dx是由翻译半群（St）t生成的微分算子≥0由Sth=h（t+o）给出，α=αHJMis由远期利率曲线7空间的紧嵌入给出所谓的HJM漂移条件αHJM（t，h）=Xjσj（t，h）Zoσj（t，h）（η）dη-ZEγ（t，h，ξ）经验值-Zo（t，h，ξ）（η）dη- 1.ν（dξ），然后是SPDE（13），在这种情况下成为上述HJMM方程，描述了无套利债券市场中利率的演变；我们参考[7]了解更多详细信息。借助于紧嵌入H H、 存在正交系统（ek）k∈Nof手（fk）k∈Nof H和递减序列（sk）k∈N R+带K→ 0此类tha th=∞Xk=1skhh，所有h的ekihfk∈ H、 参见，例如，【10，Satz VI.3.6】。数字sk是identityoperator Id:H的单数→ H、 确定序列（Tn）n∈无固定秩运算符tn:H→ Fn，Tnh：=nXk=1skhh，ekiHfk，其中Fn：=hf，fni，我们甚至有Tn→ 关于运算符normkT k的Id：=s upkhkH≤1kT hkH，参见，例如，[10，Korollar VI.3.7]。因此，对于某些初始条件h，用r表示SPDE（13）的弱解∈ H、 序列（Tn（r））n∈这是Fn值随机过程的一个序列，我们几乎肯定有ktn（rt）- rtkH公司≤ kTn公司- IdkkrtkH公司→ 0表示所有t≥ 0，（14）表明弱解r–当在拉格状态空间上考虑时–可以用有限维过程序列（Tn（r））n近似∈nTn（r）和r之间的距离根据算子范数kTn估计-Idk，如（14）所示。然而，序列（Tn（r））n∈NDOE不需要是It^o流程的一个序列。该问题由以下结果解决：提案3.3。Let（n）n∈N (0 , ∞) 是具有n的任意递减序列→ 0

然后，对于每个初始条件h∈ 存在一个序列（r（n））n∈Nof Fn重视It^o流程，几乎可以肯定KR（n）t- rtkH公司≤ （千吨）- Idk+n）krtkH→ 0表示所有t≥ 0，（15），其中r表示（13）的弱解。证据根据[8，定理13.35.c和13.12]，域D（A*) 是densein H。因此，对于每个n∈ N存在元素ζ（N），ζ（n）n∈ D（A*) 此类钾ζ（n）k- 对于所有k=1，n、 我们使用约定X的地方：=∞ 对于x>0。我们定义了序列（Sn）n∈无固定等级操作员助理：H→ Fn，Snh：=nXk=1skhh，ζ（n）kiHfk。8 STEFAN TAPPEBy geo metric系列，适用于所有n∈ 我们有- Idk公司≤ kSn公司- Tnk+kTn- Idk公司≤nXk=1skkho，ζ（n）k- ekiHk+千吨- Idk公司≤ nnXk=1k+kTn- Idk公司≤ n+kTn- Idk。对于每个n∈ N设r（N）为Fn值It^oprocessr（N）t=h（N）+Ztα（N）sds+Ztσ（N）sdWs+ZtZEδ（N）s（ξ）（p（ds，dξ）-ν（dξ，ds）），参数由h（n）=nXk=1skhζ（n）k，hiHfk，α（n）t=nXk=1sk给出哈*ζ（n）k，rtiH+hζ（n）k，α（t，rt）iHfk，σ（n）t=nXk=1skhζ（n）k，σ（t，rt）iHfk，δ（n）t（ξ）=nXk=1skhζ（n）k，δ（t，rt-, ξ） iHfk。由于r是（13）的弱解，我们得到了几乎可靠的结果：n（rt）=nXk=1skhζ（n）k，rtiHfk=nXk=1skhζ（n）k，hiH+Zt哈*ζ（n）k，rsiH+hζ（n）k，α（s，rs）iHds+Zthζ（n）k，σ（s，rs）iHdWs+ZtZEhζ（n）k，δ（s，rs-, ξ） iH（p（ds，dξ）- ν（dξ，ds））fk=h（n）+Ztα（n）sds+Ztσ（n）sdWs+ZtZEδ（n）s（ξ）（p（ds，dξ）-ν（dξ，ds））=所有t的r（n）t≥ 0，完成证明。我们将在本节结束时给出关于近似值（r（n））n收敛速度的进一步结果∈由提案3.3提供。勒思∈ Hbe是任意初始条件，用r表示（13）的弱解。此外，设T>0为有限时间范围。从那时起支持∈[0，T]krtkH< ∞,参见，e。g、 ，[6，推论10.3]，根据（15），存在一个常数K>0，使得e支持∈[0，T]kr（n）T- rtkH公司1/2≤ K（千吨）- Idk+n）→ 0，提供均方意义下r（n）和r的距离的统一估计。