信用风险中的模型风险

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英文标题：
《Model Risk in Credit Risk》
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作者：
Roberto Fontana, Elisa Luciano, Patrizia Semeraro
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The issue of model risk in default modeling has been known since inception of the Academic literature in the field. However, a rigorous treatment requires a description of all the possible models, and a measure of the distance between a single model and the alternatives, consistent with the applications. This is the purpose of the current paper. We first analytically describe all possible joint models for default, in the class of finite sequences of exchangeable Bernoulli random variables. We then measure how the model risk of choosing or calibrating one of them affects the portfolio loss from default, using two popular and economically sensible metrics, Value-at-Risk (VaR) and Expected Shortfall (ES).
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中文摘要：
违约建模中的模型风险问题自该领域的学术文献问世以来就为人所知。然而，严格的处理要求描述所有可能的模型，并测量单个模型与备选方案之间的距离，与应用一致。这就是本文的目的。我们首先在可交换伯努利随机变量的有限序列类中分析描述所有可能的违约联合模型。然后，我们使用两个流行且经济上合理的指标，即风险价值（VaR）和预期缺口（ES），来衡量选择或校准其中一个的模型风险如何影响违约造成的投资组合损失。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Model_Risk_in_Credit_Risk.pdf (680.33 KB)

2022-6-25 06:18:23 上传

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关键词：信用风险 Mathematical Applications economically Quantitative

信用风险中的模型风险。Fontana数学科学系G.Lagrange，都灵理工大学。E、 卢西亚诺学院和托里诺大学卡洛·阿尔贝托学院。都灵理工大学数学科学系塞梅拉·拉格朗日（SEMERARODepartment of Mathematic Sciences G.Lagrange）。2019年6月17日，Elisa Luciano感谢意大利教育、大学和研究部（MIUR）“Dipartmenti di Eccellenza”2018-2022年拨款的财政支持。罗伯托·丰塔纳（Roberto Fontana）和帕特里齐亚·塞梅拉罗（Patrizia Semeraro）衷心感谢意大利教育、大学和研究部（MIUR）2018-2022年“教育、大学和研究部”（Dipartmenti di Eccellenza）的资助。自该领域的学术文献问世以来，违约建模中的模型风险问题就已为人所知。然而，严格的处理要求描述所有可能的模型，并测量单个模型与备选方案之间的距离，与应用一致。这就是本文的目的。我们首先在可交换伯努利随机变量的有限序列中分析描述所有可能的违约联合模型。然后，我们使用两个流行且经济上合理的指标，即风险价值（VaR）和预期缺口（ES），来衡量选择或校准其中一个的模型风险如何影响违约造成的投资组合损失。关键词：可交换伯努利分布；风险措施；模型风险。1简介违约风险模型容易出现所谓的模型风险，从两个方面来看：采用错误的违约发生模型和以错误的方式校准或估计给定模型。从第一个意义上讲，模型风险的发生是违约固有的，因为很难描述违约原因，甚至很难列举决定因素。

甚至校准或估计风险的发生也是压倒性的，因为缺乏观察，尤其是在观察特定债务人或特定类别债务人的共同违约时，以及缺乏估计违约相关性等参数的数据。在共同违约中，模型风险的问题确实特别突出，因为除了边际违约的模型风险之外，在其共同分布中还有模型风险。我们专注于关节建模。违约建模中的模型风险问题自该领域的学术文献问世以来就为人所知。专业人士也很清楚它的重要性。然而，严格的处理要求描述所有可能的模型，并测量单个模型与备选方案之间的距离，与应用程序一致。这就是本文的目的。我们首先在可交换的伯努利随机变量类中描述所有可能的默认连接模型。然后，我们使用风险价值（VaR）和预期缺口（ES）这两个流行且经济上合理的指标来衡量选择或校准其中一个的模型风险如何影响组合违约。默认的单变量模型分为两类：结构模型和简化模型。由【1】发起的结构模型将违约重新定义为企业的所谓资产价值低于给定的货币阈值。简化模型（Reduced formmodels）的开创性工作在于【2】，它根据可违约债务的利率估计违约强度，然后将其解释为固定参数或随机过程本身。有关这些方法的调查，请参见示例【3】。

多变量模型也可以使用copula来聚合单变量违约概率（例如参见[4]或[5]，或使用伯努利混合模型（参见[6]第8章））。为单变量建模和校准选择正确的模型的困难已被证明是相当大的。对于结构模型，资产价值是不可观察的。对于简化模型，债券收益率被认为包括alsoa流动性利差，这很难与违约利差分开。选择或校准多变量模型的难度更大（见[7]中的早期识别）。只要资产价值的相关矩阵可以被校准，结构模型就可以被校准。多元简化模型通常使用相应的结构相关性进行校准（见[5]第10章）。以往评估共同违约中模型风险的文献通常采用给定的边际违约概率，正如我们所做的那样：边际违约指标是伯努利变量。它试图探索联合违约概率的范围，或信贷风险损失的可能分布，即边缘伯努利变量的加权和，其中权重是债权人对不同债务人的风险敞口。为了做到这一点，文献中使用了不同的copula（见[8]）。这里我们使用的事实是，所有联合分布或和分布都是从所谓的射线密度的有限数量开始生成的。与copulas不同的是，所有射线都可以在数值上或分析上找到。[9] 开发了一种简单的方法，将所有伯努利变量表示为具有特定矩的凸包密度，属于同一类，即射线密度。

它们提供了一种算法，可以在不受变量数量或特定力矩限制的情况下找到给定类别的极端光线。该方法的唯一回收量是数值解所需的计算量。本论文的主要贡献在于通过分析找到具有给定均值的可交换贝努利变量类和具有给定均值和相关性的可交换贝努利变量类的凸包生成器。解析解允许我们在任何维度上工作。一旦多元伯努利变量代表债务人组合的违约指标，我们可以通过分析发现的射线密度，允许我们描述违约的所有联合分布，即使是大型组合，和/或损失的可能分布。第三个数学贡献有助于做到这一点：我们表明射线密度达到了VaR界限，并找到了它们的分析表达式。我们还显式地找到了ES的界。然后，我们衡量使用特定模型（可能是“错误”模型）或以“错误”方式校准模型的后果，查看可能的VaR和ES范围。因此，本文在数学上的贡献（即高维射线密度的分析描述）和数学上的贡献（即使用所有可能的多元分布测量模型风险）都是新颖的，这些分布是作为可以通过分析找到的生成器的线性凸组合获得的。该分析解决方案允许我们找到衡量模型风险的类比界限。本文的主要内容如下：第二部分介绍了数学框架。

第3节介绍了可交换伯努利变量的射线的概念和性质。第4节介绍了风险度量，并提供了exchangeableBernoulli变量的分析界限。第5节讨论了模型风险。第5.1节提供了校准示例。第6节结束。2个违约指标：数学背景考虑一个信贷组合P和d债务人。需要一些符号。设随机变量X=（X，…，Xd）为投资组合P的默认指标，并假设指标X是可交换的，即X∈ Ed，其中Edi是一类d维可交换伯努利分布。设Ed（p）是具有相同伯努利边缘分布B（p）的可交换伯努利分布类，其中p是每个债务人的边际违约概率。如果X=（X，…，Xd）是E（p）中具有联合分布的随机向量，我们用fp表示其累积分布函数，用fp表示其概率质量函数（pmf）包含fpover Xd值的列向量：={0，1}d，by（fp（x）：x∈ Xd）分别；我们提出了一个非限制性假设，即集合Xdofdbinary向量是根据逆向词典编纂准则排序的。例如，X={00、10、01、11}和X={000、100、010、110、001、101、011、111}；o我们用Pd表示{1，…，d}上的置换集；回想一下，Xi的期望值是p，E[Xi]=p，i=1，d、 我们表示Q=1- p、 我们假设向量是列向量。2.1可交换伯努利变量请考虑d维伯努利分布的pmf fp，其平均值p.Sincefp（x）=fp（σ（x）），对于任何σ∈ Pd，如果x=（x，…，xd），则任何质量函数fpin Ed（p）由fi给出：=fp（x）∈ xd和#{xj:xj=1}=i。因此，我们用相应的向量fp=（f，…，fd）识别质量函数fpin Ed（p）。

此外，力矩仅取决于它们的阶数，因此我们使用uα表示阶数α=ord（α）=Pdi=1αi，其中α∈ 除息的。我们还观察到两个伯努利变量Xi之间的相关性ρ~ B（p）和Xj~ B（p）与二阶矩u=E[XiXj]相关，如下u=ρpq+p.（2.1）2.2共同违约、损失分布和风险度量要对d债务人的信贷风险组合p的损失建模，我们考虑单个损失的总和l=dXi=1wiXi，其中wi∈ （0，1）和Pd1=1wi=1。在本文中，我们考虑wi=d，i的情况∈{1，…，d}。对不等权重的扩展可以通过数值实现。对于等权重，L=Sdd，其中SD=dXi=1xi表示默认值的数量。因此，SDR的分布代表了损失的分布。由于默认指标X的向量被假定为可交换的，因此默认数量的分布与X的联合分布之间存在一对一的对应关系。事实上，正如序言中所述，对于任何σ，sincefp（X）=fp（σ（X））∈ Pd，如果x=（x，…，xd），则任何质量函数fpin Ed（p）由fi给出：=fp（x）∈ Ddand#{xj:xj=1}=i。我们可以确定Ed（p）和分布类别之间关于默认数量的一一对应关系。设Sd（p）是分布pSon{0，…，d}的类，使得Sd=Pdi=0XiwithX∈ 埃德（p）。设pS（j）=pj=P（Sd=j），pS=（P，…，pd）。地图：E:Ed（p）→ Sd（p）fj→ pj公司=dj福建。（2.2）是Ed（p）和Sd（p）之间的一对一对应关系。因此，我们得到了（p）<-> Sd（p）（2.3）我们现在证明了分布类Sd（p）与具有平均dp的整个离散分布类相一致，比如Dd（dp）。这一事实有助于简化Ed（p）生成元的研究。Dd（dp）类在本文中并不特别重要，但它是出于技术原因引入的。提案2.1。它保持Sd（p）=Dd（dp）。证据

1） Sd（p） Dd（dp）。这是微不足道的。2） Dd（dp） Sd（p）。设{p，…，pd}∈ Dd（dp）。让我们定义fi=pi（dj）和p（x，…，xd）=fiforall（x，…，xd），使得pdj=0xj=i。质量函数p是可通过构造交换的d维伯努利随机向量的质量函数。我们有e[X]=P（X=1）=X（X，…，xd）：X=1p（X，…，xd）=dXi=1X（X，…，xd）：X=1，Pdi=0xi=1p（X，…，xd）=dXi=1X（X，…，xd）：X=1，Pdi=0xi=1fi=dXi=1d- 1i- 1.圆周率di公司=dXi=1（d- 1)!（一）- 1)!（d）- 1.- 我+1）！我！（d）- i） 哦！dpi=dXi=1idpi=dpd=p.（2.4），然后X∈ Ed（p）。现在让Sd：=Pdi=1Xi。我们有P（Sd=j）=djfj=pjand{p，…，pd}∈ Sd（p）。因此，Ed（p）、Sd（p）和Dd（dp）三个等级本质上是同一等级，即Ed（p）<-> Sd（p）≡ Dd（dp）（2.5）由于上述主张，我们可以寻找Sd（p）的生成器。这简化了搜索。我们发现的生成器与Ed（p）的生成器存在一个toone关系。3可交换Bernoulli生成器我们基于[9]中的结果，其中作者表示多元d维Bernoulli分布的Fr'echet类，并将给定的裕度和/或预先指定的矩作为凸包的点。凸包的生成器是类中的质量函数，可以显式地找到它们。该方法的应用范围仅受到所需计算量的限制，因为随着维数的增加，发电机的数量会快速增加。我们在此表明，在可交换性条件下，由于我们通过分析发现射线密度，因此可以超过该极限。因此，尺寸不再是一个问题。我们关注两类：Ed（p）类和Ed（p，ρ），即给定p和给定相关ρ的可交换Bernoullivectors类。

分布pS之间的一对一对应关系∈ Sd（p）和fp∈ Ed（p）也是分布pS之间的一对一对应关系∈ Sd（p，ρ）和fp∈ Ed（p，ρ）。在第3.1节中，我们将Ed（p）类表示为该类中质量函数的凸包，我们称之为射线密度，因此每个质量函数都是属于Ed（p）的射线密度的凸组合。我们通过分析发现射线密度及其数量，这取决于维度d和平均值p。介于（p）和Sd（p）之间的一对一映射以及命题2.1至关重要。在第3.2节中，我们将Ed类（p，ρ）和Sd类（p，ρ）表示为道路密度的凸包。我们将使用Ed类（p）和Sd类（p）之间以及相关子类Sd（p，ρ）和Ed（p，ρ）之间的一一对应关系进行分析。我们证明了Sd（p，ρ）中的射线密度在至多三个点上有支撑。通过sodoing，在这种情况下，维度d也不是问题。3.1对于给定的边际违约概率，使用等效Sd（p）≡ 命题2.1中所述的Dd（pd）Sd（p）中的pmf是具有平均pd的pmf{0，…，d}。由于方程2.5中的映射E，这也相当于找到了一组多元伯努利方程的pmf必须满足的条件。这一事实在以下命题中至关重要。提案3.1。设Y为{0，…，d}上定义的离散随机变量，设Y为其pmf。ThenY公司∈ Sd（p）<==>dXj=0（j- pd）pY（j）=0。（3.1）证明。设Y为{0，…，d}上定义的离散随机变量。根据提案2.1Y∈ Sd（p）i ffe[Y]=pd。It holdsE[Y]=pd<==> E【Y】- pd]=0<==>dXj=0（j- pd）pY（j）=0。利用命题3.1，我们可以找到Sd（p）的所有生成器，由于map Eis相当于找到Ed（p）的所有生成器。我们必须找到xj=0（j）的解pS=（p，…，pj- pd）pj=0。

（3.2）条件pj≥ 0，j=0，d和Pdj=0pj=1。从线性方程的标准理论中，我们知道3.2的所有正解都是对流Cp{z的元素∈ Rd+1：dXj=0ajzj=0，Iz≥ 0}，（3.3），其中aj=j- pd和I是（d+1）×（d+1）单位矩阵，因此可以生成一组生成器的凸组合，这些生成器被称为线性系统的极值线。以下命题的证明遵循[10]中的引理2.3。提案3.2。让我们考虑线性系统AZ=0，z∈ Rd+1（3.4），其中A是m×（d+1）矩阵，m≤ d，秩A=m。系统3.4的极值射线最多有m+1个非零分量。证据设CA={z∈ Rd+1：Az=0，Iz≥ 0}是3.4所有正解的凸锥。3.2的解r是Caiff I的极值射线*对于子矩阵NI，z=0*×（d+1），I*I和Rank“AI的数量*#= d、 （3.5）因此排名I*≥ d- m和r最多有（d+1）- （d）- m） =m+1个非零组件。推论3.1。凸锥Cpin 3.3的极值射线最多有两个非零分量。证据设aj=j- pd，j=0，d、 矩阵A=[A，…，ad]是系数的行向量。由于秩A=m=1，则极值光线r最多有两个非零分量。提案3.3。凸锥Cpin 3.3的极值射线arepj，j（y）=j-pdj公司-jy=jpd-jj公司-jy=j0，否则，（3.6）j=0，1，jM，j=jM，jM+1，d、 jm是小于pd的最大整数，jm是大于pd的最小整数。如果pd为整数，则极值光线包含alsoppd（y）=1 y=pd0，否则。（3.7）证明。设aj=j- pd。方程式3.2变为dxj=0ajpj=0。（3.8）根据推论3.1，极值射线最多有两个非零分量，例如j，j。因此，可以在考虑方程ajpj+ajpj=0的情况下找到极值射线，（3.9），其中我们作出非限制性假设j<j。