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二、样本均值的分布
定理三：设总体X~ N(μ，σ2)，(X1，X2，……Xn)是X的样本，则有：1. ,即N(μ，σ2/n) 2.
查表法：上百分位Zα， 下百分位Zα/2
三、 分布
1. 定义：设x1,……xn相互独立，且都服从N(0，1)分布，则RV 为服从参数（自由度,表示相互独立随机变量的个数）为n的 分布，记为 ~ （n）。
定理四： ，if y≥0； 0 其他。其中 ， x>0。
2. 图形：
给定的n，n越小，其分布最大值（峰值）越靠近y轴。
1. 百分位点定义：给定α，（0<α<1），称满足 的点 （临界值）是自由度为n的 分布的上百分位点。
查表法：n≤45时直接查表。
2. n>45，n很大时，可以证明
证明： ， ， ，得到 ，可以查正态表。
3. 性质
（1）若 ~ ， ~ ，并且 和 独立，则 + ~
（2）
（3）
定理五：设总体X~ N(μ,σ2),x1,……xn是子样，则：i, ；ii, 与s2相互独立；iii, 若已知s2 σ2统计量的分布可以用i。
样本均值分布：总体X ~ N(μ，σ2)， ，
总体X~ N（0,1）,X1，……Xn是样本子样，
， X~ N(μ，σ2), ， 与s2独立。
四、t分布
定义2： 设X~ N(0，1), Y~ ,且X与Y相互独立，则称RV 是服从自由度为n的t分布。记为：T~ t(n)
定理： ，-∞<t<+∞
图形：以纵轴为对称轴的对称曲线。
当n>2时，E(T)=0，D(T)=n/(n-2)
给定α，称满足 的点 是t分布的上100α百分位点。n≤45时查表，n>45时，有 ≈Zα 。
当n很大，n>45时， ，t0.05(30)=1.6973, t0.01(25)=2.4851, t0.95(30)=- t0.05(30)=-1.6973
给定α（0<α<1）,称满足 是t分布的双侧100α百分位点。
t0.05/2(15)=2.1315, 查表α/2即可。
二个定理
定理五：设总体X ~ N(μ,σ2),X1,……Xn是X的样本，则
证明：因为 ， , ，
得到：
定理六：设X,Y相互独立，X ~ N(μ1,σ12),X1，……Xn1是样本，S12是样本方差。Y ~ N(μ2,σ22),Y1，……Yn2是样本，S22是样本方差。则，（1）若σ12 ，σ@2已知，则 ；（2）若σ12 ，σ@2未知，但是σ12 =σ@2 =σ2 ，则 。
证明：（1）X ~ N(μ1,σ12)，Y ~ N(μ2,σ22)， ，
, ，
即
(2) , ， ，
,令 ，得到：
二、F分布
定义3：设X~ , Y~ , X,Y 相互独立，则称RV 服从自由度为（n1,n2）的F分布，记为 ，其中n1是第一自由度，n2是第二自由度。
图形：略。
给定α（0<α<1），称满足 的点 是F分布上的100α百分位点。当α表上有值时，直接查表，如F0.05（15,20）=2.2，F0.01（20,25）=2.7。表上没有α的查法。 表上没有，可以变换： ,
, ，所以 ，
得到 。
例如： ,
应用：设X ~ N(μ1,σ12),X1，……Xn1是样本，S12是样本方差。Y ~ N(μ2,σ22),Y1，……Yn2是样本，S22是样本方差。则有
证明： , , 。特别的，当σ12 =σ22，有
第七章 参数估计
需要用（X1，……Xn）估计EX DX;
已知X~ F(X,θ)类型，参数θ=（θ1,θ2,……θn）未知，用样本（X1，……Xn）估计θ。
上面两种统计问题叫做参数估计。参数估计有两方面的问题：一是通过样本对被估计参数θ合理地给出一个估计值，及 为θi的近代值，（i=1,2,……m），叫做点估计问题；二是通过样本找一个区间[ , ] 使它有一定的把握，包含未知参数θ，这叫区间估计问题，置信度是1-α。
参数点估计评选标准用统计置函数：
第一节 点估计
一、矩估计法（皮尔逊）
总体X，子样X1，……Xn, Xi与X同分布，并且相互独立。总体X有k阶原点矩。
子样的k阶原点矩： ， k=1,2,……，分别表示1阶、2阶矩，……
当n很大时， ,k=1,2,……
或者Ak以概率1收敛于αk(n->∞)，k=1,2,……
所以 , k=1,2……
若未知参数有m个，θ1,……,θm, 由 (方程组（1），含m个未知数) 可以得出 是θ1,θ2，……θm 的矩估计量（值），这是矩估计的一般方法。
常用矩估计法： (数字特征法)
证明：由方程组（1）， （i）, (ii)。由（i）得到 。
，得到
注：
用处：（1）总体分布不知道的情况下，从样本估计EX,DX
例1： 一批产品任取10个，得到样本值：（1,0,0,1,1,0,1,1,1,0），1=合格，0=不合格。求总体X的期望、方差的矩估计量。
，
（2）可以求出总体分布中未知参数的估计值
例2：总体X~ f(x,θ)=θx(θ-1) 当0<x<1时；0，其他。θ>0，是未知参数。（x1,……,xn）是子样，求θ的矩估计量。
例3：总体X~ B(m,p), m是正整数，0<p<1，（θ1,……,θm）是子样，求m,p的矩估计值。
E(X)=mp= , m= /p, D(X)=mp(1-p)=s2, 所以 (1-p）= s2,
注：
二、顺序统计量估计法
样本x1,……,xn从小到大排列， 称为顺序统计量。样本中位数 等于Xk+1，当n=2k+1时；（xk+xk+1）/2，当n=2k时。样本极差： ， ,可以求D( )。
三、极大似然估计法
（一）基本思路（米歇尔）
例：王、李、张三人拔牙不痛的概率分别是90%，80%，60%，某人某人拔牙不痛，估计应该是王，因为其不痛的概率大。
例：袋中有黑白二色球，不知道多少，只知道两种球的数目比例为1:3，即抽到白球的概率为1/4或者3/4，要通过试验进行判断。如果是有放回抽样，从中抽取n个球，其中有X个黑球，总体X~ B(n,p)， ，x=0,1,2,……n
p=黑球数/总数，若n=3，则有下表（p=1/4或者3/4）
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P(x,3/4) | 1/64 | 9/64 | 27/74 | 27/64 |
P(x,1/4) | 27/64 | 27/64 | 9/64 | 1/64 |
若抽3个球中，黑球数是0，有P(0，1/4)=27/64>P(0，3/4)=1/64，所以P=1/4的概率大些。
选取参数P的值，应该使所抽样本出现的概率最大，就用该值作为P的估计值，这种方法叫最大似然估计法。
一般，总体X~ f(X,θ),θ=(θ1,……θs)是位置参数，（x1,……xn）是子样（观察值），则Xi~ f(xi,θ),i=1,2……n, ,(x1,……xn)出现，说明它出现的概率应该最大。 应该最大，选取θ，取 最大， 就是θ的最大似然估计值，取
（二）定义：总体X~ f(X,θ1,……θt)，（θ1,……θt)是未知参数，称 为样本（x1,……xn）的似然函数，若L在 达到最大值，称 是θ的最大似然估计量。
（三）步骤：设总体X~ f(xi,θ), Xi~ f(xi,θ),i=1,2,……,n，（1）写出似然函数 ；（2）取对数 ；（3） ，i=1,2,……s, 成为似然方程；（4）解出 ，讨论是否是唯一驻点，如果是则 是θ的最大似然估计值。
举例：
例1：设总体 。已知（x1,……xn）是样本，求λ的最大似然估计量。
解：写出似然函数：
取对数，并求参数的偏导数： ，
解出λ的似然值： ， 是唯一驻点，所以是λ的极大似然估计量。
例2：总体X~ N(μ，σ2)，求μ和σ2的极大似然估计量。
解：设（x1,……,xn）是X的样本观察值，X~ N(μ，σ2)，得到 ，所以 ，
似然函数：
取对数，阶偏导数方程组：
，得到
带入方差偏导数公式。得到
例3：一大批产品随机抽取n件，发现m件次品，试用最大似然估计法估计次品率p。
总体X~ B(1,p),
X 0 1
P 1-p p
样本（X1，……, Xn）
X~ P(X=x)=f(x,p)=px(1-p)1-x, x=0,1
xi~ P(Xi=xi)=f(xi,p)=pxi(1-p)1-xi, xi=0,1
似然函数：
对数：
导数：
，
得到
性质：若 是θ的最大似然估计量， 是θ的连续函数，则 是 的极大似然估计量。
补充：设总体X~ B(N,p)，（X1，……,Xn）是样本，已知N，求p的最大似然估计量。
已知一大批产品，每次从中抽取N=10个产品，共进行50次试验，将样本（X1，……,X50）,统计表：
次品数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 25 15 6 3 1 0
求该产品次品率P的最大似然估计值。
例4：总体X在[0，θ]上服从均匀分布，（x1,……,xn）是样本，求θ的最大似然估计。
解：X~ f(X)=1/θ, 0<x<θ。xi~ f(xi)=1/θ, 0<xi<θ, i=1,2,……,n
似然函数：
求对数并求导： ，常规方法无法解决，需要定义θ。
要L最大，需要 最大，当0<xi<θ时，L非零，所以 ，否则为0。
若 。
，有求极值法，求对数以后，求导求解。
X~ f(x,θ)=exp(-(x-θ)) if x>θ; 0, if x<θ。Xi~ f(xi,θ)=exp(-(x-θ)) if x>=θ; 0, if x<θ。 if Xi≥0； 0， 其他。求极值不能求解，只能用定义法。L最大，即 最小，又必须xi≥0，L非0，所以
定义法是一种常用的方法，条件是一般方法不能解决问题。
E(X)=μ, ， 或者 这是对xi的加权平均。
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