概率论与数理统计（4）

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第一章   随机变量及其分布

第一节  随机变量

一、引例：一批产品n件，其中次品m件，m>3，任取3件，观察三件中的次品数。

Wi=3件中次品i件，i=0,1,2,3。

设X=3件中次品数：W0->0，W1->1，W2->2，W3->3。X(W),W∈S

与一般函数的区别：随机性，W随机X亦是随机取值，预知X所有取值情况（可预知性）。变量，X随W不同而取不同值，是随机变量RV。随机变量是定义在样本空间上的函数。

注：每个W（对应）——>X(W) 的一个取值。

例如：甲乙同时向目标射击，S={ },设X=表示两个人中靶次数，X={0，1，2}, (X=0)= , (X=1)= ,(X=2)=AB ，这是单值对应。

X是个实数集，具有可预知性和随机性。研究P(X=Xi)=?

二、定义：设E的样本空间是S，如果对每一个W∈S，都有一实数X(W)与之对应，这样就得到一个定义在S上的单值实函数X(W)，称之为随机变量RV，记为X,Y,Z, ξ, η。

三、R.V.分类

离散型随机变量：RV X的取值是有限个或可列个；非离散型RV（非连续性RV，非连续非离散型RV），非连续非离散。

第二节  离散型随机变量及其分布律

RVX研究：所有取值情况X1,X2……，取各个值的概率 P(X=Xi)=Pi i=1,2,……

一、离散型RV的分布列

x	X1	X2……	Xi ……
P(X=Xi)	P1	P2……	Pi……

满足：Pi>=0，i=1,2,……;

例1：甲乙二人射击，P(A)=0.8，P(B)=0.9，中靶次数X，写出X的分布列。

X	0	1	2
P(X=Xi)	0.02	0.26	0.72

P(X=0)=P()=0.2×0.1=0.02

P(X=1)=P( )=P( )+P( )=0.2×0.9+0.8×0.1=0.26

P(X=2)=P(AB)=0.8×0.9=0.72

例2：某人向靶子射击，中靶概率是P，中靶就停止，写出消耗子弹个数X的分布律。

X取值    1    2     3    ……   n     ……

P(X=i)    p   pq    q^2p      q^(n-1)p

P(x=1)=p, p(x=2)=pq, p(x=3)=q^2p,……，p(x=n)=q^(n-1)p或者p(x=k)=q^(k-1)p, k=1,2,3……

验证：q^(k-1)p>0,

这是一个几何分布，考察试验首次成功，试验的次数。

二、常见的几种分布

（一）两点分布

X   X1    X2

P   p     q

p+q=1

0-1分布：

X   0    1

P   p    q

p+q=1，一次试验，A出现，Ᾱ出现，A出现的次数

（二）二项分布：n次独立重复试验，n重贝努利试验，每次二个结果A，Ᾱ，P(A)=p, P(Ᾱ)=q=1-p相同，重复n次。

n重贝努利试验中，A发生次数是RV

X       0      1               2    ......    k     .......      n

p(X=k)  q^n   C1npq^(n-1)    C2np^2q^(n-2)  Cnkpkqn-k                           Cnnpn

P(A)=p, P(Ᾱ)=1-p=q, Ai=第i次A出现。P(X=0)=P(Ᾱ1Ᾱ2...Ᾱn)=qn

P(X=1)= P(A1Ᾱ2...Ᾱn)+ P(Ᾱ1A2...Ᾱn)+ P(Ᾱ1Ᾱ2...An)=C1npq^(n-1)

P(X=2)= P(A1A2...Ᾱn)+ P(A1Ᾱ2A3Ᾱ4...Ᾱn)+ P(Ᾱ1Ᾱ2A3...An-1 An)=C1np2q^(n-2)

P(X=k)= Cnkpkqn-k， ,二项式的展开式。

P(X=k)= Cnkpkqn-k

k=0,1,2,...n, 记为X~ B(n,p)

（三）泊松分布

定义：若RV X分布律为 ，k=0,1,2……，称为参数为λ的泊松分布，记为X ~ π（λ）

泊松定理： ，k=0,1,2,……, npn=λ

查表方法：看表头

引入：P(a<x<b)=P(-∞<x<b)-P(-∞<x<a)

第三节   随机变量的分布函数

一、定义：称P(X≤x)=F(x)是RV的分布函数，即分布函数是RV落在区间（-∞,x上的概率。

二、性质：0≤F(x)≤1；这是个不减函数；x1≤x2时，F(x1≤x2)； ， ；F（x）是有连续的，F(x+0)=F(x); P(a<x≤b)= P(-∞<x≤b)- P(-∞<x≤a)=F(b)-F(a)

三、例1：已知RV X~ F(x)=0 if x<0; 或者=1-exp(-x^2/2a) if x≥0。求P(0<X≤1)，P(-2<X≤4)

P(0<X≤1)=F(1)-F(0)=1-exp(1/2a)

P(-2<X≤4)=F(4)-F(2)=1-exp(-8/a)

例2： 离散型RV P(X≤x)= ,已知：

X    -1     0      2

P    1/8    1/4  5/8

写出F(x)

x<-1, F(x)=P(X<x)=0; -1≤x<0, F(x)=P(X<x)=P(X=-1)=1/8; 0≤x<2, F(x)=P(X<x)=P(X=-1)+P(X=0)=3/8; x≥2，F(x)=P(X<x)=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=2)=1

得到F(x)的式子：

if x<-1; =1/8 if -1<=x<0; =3/8 if 0<x<=2; =1 if x>=2

      

X服从0-1分布的F(x)

X        0             1

P(X=i)  p              q

p+q=1

x<0时，F(x)=0; 0<=x<1时，F(x)=q; x>=1时，F(x)=1

P(-1<X<2)=P(X<2)-P(X<=-1)=F(2)-F(-1)=1

P(1/2<X<1)=P(X<1)-P(X<1/2)=F(1)-F(1/2)=1-q=p

第四节     连续型RV的概率密度

一、定义：如果对于RV X ~ F(x)，存在非负函数f(x)使对任意实数x有 ，则称X为连续型RV，且称f(x)为X的概率密度函数。

性质：

l  累积分布函数

                                          

0             X

P(-∞<x≤1)

               -1             0

ρ(x) 线密度函数

，与概率密度f(x)相类似。

l  密度函数f(x)的积分

l  f(x)≥0； =1； =F(x)

l  F’(x)=f(x) (在连续点 ), (F(x))’=[ ]’=f(x)*x’=f(x)

l  P（x<X<x+△x）= ，因此函数值f(x)的大小反映RV 在x邻域概率的大小。

l  连续型RV, P(x=a)=0,

例：已知X ~ f(x)=Aex x<0; 1/4 0≤x<2; 0 x≥2，求A; 写出F(x); P(-2<X<4), P(-1<X<1)

解： , A=1/2

X<0时， ；0≤x<2时，

X≥2时，

所以 x<0， F(x)=1/2*ex; 0≤x<2， F(x)=1/2+x/4; x≥2，F(x)=1

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关键词：概率论与数理统计 数理统计 概率论 随机变量 泊松分布 样本 概率论 统计 产品 空间