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关键词：概率统计 统计

.谈概率论的训练及其它（一）——本科准备
最近不断在以各种形式整理研究生这几年的经历，觉得简单结合自己的经验、教训以及从师长同学那里接收到的各种信息，聊聊概率论的学习以及研究建议，倒是件不错事情。
老实说，如果让我重新选择学习概率论的路径，其结果会和现在有不小的区别。这种区别并不是资源意义上的，因为我至今仍然觉得不管是我的本科四年，还是研究生五年，都有充足的资源可加利用，关键是你如何利用的问题。我就想分几次，跟大家聊聊这个“如何利用”的问题，这其中很多是自己走过的弯路，以及自己目前迫切想填补的空缺。
当然，不同的人学习概率论或者随机过程的目的都不一样。大家应该根据自己的需求来阅读这部分的文字。
今天谈谈本科阶段的准备。既然学概率就是学数学，本科阶段就要打好数学的底子。专业基础课的份量自然不必多说，我重点想谈的是关于概率方面的课程要达到怎样的目的。一般来说，本科概率方面的基础课程是初等概率论和数理统计学两门，如果有条件，还有机会学习应用随机过程。当然，还有一些统计方面的课程，比如时间序列、多元统计等等，但我就重点讨论前面三门课：
初等概率论：因为没有测度论的基础，所以这期间最重要的任务有两个：通过具体的概型和模型，直观上理解“概率”及其基本概念的含义；另外，要熟练掌握一些基本的概率运算，因为本科概率论依托的基本上是微积分的基础，所以对于离散型和连续型的随机变量方面的运算要有一定的训练。二者缺一不可。一方面，认识到概率论的相关概念的背景意义，才能不至于陷入没有方向的死算；另一方面，概率论是非常讲究计算的一门数学，仅仅停留在概念上，是不会有充分的概率感知的，所以我本科的时候，概率论学得不错的同学都是微积分底子好的同学，对于级数和积分的运算很熟练。
数理统计：数理统计的风格跟概率论又不一样，它的任务同样有两个：首先，要理解统计理论背后的思想，因为统计方法的提出，很多时候是基于人们主观的经验，比如极大似然估计。所以要理解，统计最开始并不是一个“对或不对”的问题，而是“有没有道理”的问题，而这个道理则是用概率中的一些原则去支撑（如相合性）。这对于我们的思维是一次挑战。基于统计思想的解读，下一步还是要会算，数理统计的计算更多的是概率运算，所以这些运算能更好的帮你理解概率论中的一些概念和定理。
应用随机过程：很多朋友会误解，认为本科的这门课应该很“应用”，但其实并非如此。被冠以“应用”，主要还是区别于研究生的专业随机过程，因为测度论还没有学。所以，应用随机过程可以理解成“回避测度论的随机过程”。当然，有些教材的的确确是在突出“应用”的部分，会讲授一些随机过程的应用。但我的意见很直接，大家在应用随机过程的课程中，就干一件事：学好一个叫做“马氏链”的模型。虽然一般来说，老师们会讲除此之外别的东西，比如布朗运动，但是我的个人意见是，通过一个学期的课程，不可能掌握很多内容，如果不考虑应付考试的压力，大家多花精力在马氏链模型上，它的数学描述相对简单，理解起来也更容易，对于培养概率直观，以及未来的应用，都是很必要的。

有一个问题是，本科阶段应不应该学测度论？当然北大的本科生要求很高，在大三都会学习测度论。我想这个因人而异吧。这么说，测度论是概率论的现代语言，或者说它是概率论的数学形式，但它并不是概率论的精神。个人建议，本科的时候，还是多培养概率的直观，至于概率的数学部分，以具体的计算训练为宜。
另外，有两门课我要单独拿出来提，一门课是常微分方程，另一门课是物理。对于概率论的学习，这两门往往不受重视，或者训练不够。一方面，随机过程作为“概率版的动力系统”，在研究中时常要跟“确定版的动力系统”作比较，比较它们之间的异同是一件非常重要的事情，也会催生出很多有价值的问题；另一方面，关于物理，我的看法是虽然很多具体的物理知识一时间很难反馈到概率学习中，我们需要物理直观的积累和物理的方法论训练，因为一旦概率论脱离物理直观，它就是只是个二等货。概率从来都不是形式化的，它的价值恰恰体现在它总能很好的联系物理。所以物理学习不仅重要，而且是个不断的积累过程。


谈概率论的训练及其它（二）——研究生课程
上次讲到本科阶段之于概率论学习的一些课程准备。其要义是两个，一是要培养对概念的直观理解，二是要多动手进行具体的演算。
今天简单聊聊研究生的基础课程学习。跟本科一样，我们不仅要学概率方向的专业课，也要学习一些数学基础课。关于数学基础课，我也说不好要学到什么份上，因为基础当然是打得越宽越好，但是人的精力和能力有限，不可能什么课都百分百投入去钻。个人意见，如果要挑一门最重要的，我的意见是《泛函分析》。本科我们也学泛函分析，研究生会更深入地学。特别是算子半群理论，它同样是现代概率论的基本语言。
下面重点讨论概率专业课程。专业课程里面，最基础的课程大致上有高等概率论，随机过程论，随机分析学以及高等统计学。其中，学概率的同学往往容易忽视高等统计学的学习，认为那对于以后的研究没有用处。我的个人意见，一定不要忽视统计学的训练，原因我在后面再讲。先还是一门门课来看：
高等概率论：可以理解成“基于测度论语言的概率论”。在很多学校，学习高等概率论的过程就是学习测度论的过程，也就是说，对于测度论的基本训练是在这门课当中穿插完成的。今天我想尝试从概率论的需求角度，谈谈测度论大致要学些什么？大家知道，概率论本质上是对随机事件的发生可能性赋以一种合理的度量。那么，在数学上我们要将“事件”这个概念抽象化，这就是为什么我们要从“集合论”讲起，利用集合论的语言，我们把事件表示成某个集合中的子集而已。进一步，对于事件我们总免不了要进行一些运算，这时就有必要考虑由这些事件组成的集合，即集合的集合，在测度论中叫做集合类。随后，就是要对事件进行度量，也就是赋以相应的概率测度。这当中有很多技术细节，主要是围绕如何在一个空间中构造测度来进行的。总之，测度论的第一步就是要把测度空间建立起来。后面的故事，我们可以这样理解：因为概率论中多半是考虑随机变量，所以引入可测函数的概念；由于要考虑期望，所以引入测度积分的概念；由于要考虑条件期望，所以要学符号测度和R-N导数的概念；由于要考虑多维随机变量、联合分布以及独立性等问题，所以要引入乘积空间。所以，测度论的知识要点都是跟概率论的需求对应着的。
测度论的部分结束之后，高等概率论还有一大块内容，统称为极限定理。更具体的说，就是研究独立随机变量和的极限定理，大致上分为大数定律和中心极限定理。当然，学这两部分，会衍生地学一些其它知识，这里就不多提了。
总之，高等概率论的最重要任务，是用严格的测度论语言把在本科学的初等概率论的知识重写一遍，由此迈入现代概率论的门槛。

随机过程论：当然你也可以说这门课是用测度论的语言把本科学的随机过程的内容重写一遍。这门课的主要内容还是学习马氏过程，虽然会有个别例外（比如鞅）。首先，离散时间离散状态马氏链，这是最简单的，也是本科就大致能学懂的部分；然后，连续时间离散状态马氏链，国内也叫Q过程；接着，要学习连续时间连续轨道马氏过程的一个基本模型——布朗运动。也就是说，这三种模型组成了随机过程论的基本内容，基本上每一本教材都会涉及。至于其它部分，那不同的教材就有不同的倾向。总结起来会有这么一些：鞅论，遍历论，马氏半群理论，随机积分等等。我想，这几部分都需要概率专业的同学掌握。考虑到《随机分析学》和上述部分重叠，所以对于它们的学习可以采取渐进的策略。

随机分析学：很多高校并不开设这门课，虽然这是概率专业必须要掌握的内容。随机分析这门课，主要是学习随机积分，进而学习随机微分方程。这部分也可以理解成布朗运动的推广，因为这部分都是在讨论连续时间连续状态的过程。这部分也是概率论当中理论发展最成熟，应用最广泛的分支，其重要性不言而喻。

应该说，这三门课奠定了研究生概率论课程的基石。回到高等统计学，它的学习是对测度论以及概率论知识的一次检阅，也是对其概念更深的一次体会，统计不仅仅是概率论最直接的应用，是直接跟随机现象打交道的先锋，所以更是推动概率论发展的主要动力。
另外，研究生的概率训练还会有一些别的课程。但是，概率论的学习更多的是在处理具体模型，那种抽象的理论不多。比如，Levy过程（分枝过程），点过程，随机图论，排队论，粒子系统等等。从这个就能看出，概率论和随机过程是非常联系物理背景的，它更多的是针对某类具体模型而展开的研究。这为我们带来的学习便利是，能比较快的完成基础课程的学习，不利的一面是针对不同的问题，就还得不断充电。
总的说来，今天主要再跟大家讨论研究生的课程学习。大致上最核心的就是4-5门课。市面上的教材也很多，从使用的面来看，还是Rick Durrett教授的Probability: Theory and Examples概率论和随机过程论的基本教材，随机分析的教材最流行的是Bernt Oksendal的Stochastic Differential Equations。如果大家想把理论基础打得更深，WIsconsin的Kurtz教授有本Markov Process: Characterization and Convergence很著名，这本书比较理论，啃下来是不容易的，读之前要慎重，根据自己的需求来读。

谈概率论的训练及其它（三） ——应用研究
结束了上两篇的讨论，基本上概率论的基础学习就告一段落了。根据大家的研究领域不同，紧接着的训练就是一个非常个性化的过程。今天跟大家分享一下关于做应用概率方面研究的一些情况。考虑到自己从事的是应用概率方面的研究工作，所以可能介绍起来要方便一些。
关于“应用数学”的概念在国内存有争议，这里，我谈论的“应用概率”，主要还是区别于理论概率而言。大家根据我们接下来的讨论逐步理解吧。
现在几乎各行各业都在或多或少地利用概率的知识分析和解决问题。但是不同的行业对于概率论的态度大相径庭。其中，我个人认为对待概率论态度最严肃的学科是金融和计算机科学，传统的物理、化学和生物虽然也在大规模的应用概率论，但是传统科学最喜欢的数学还是微积分等经典的数学物理方法，概率论更多的只是作为一种对“噪声”的补充描述，基调还是微分方程。当然可喜的是，在一些学者的推动下，这种现象有所改观。
如果您希望从事概率论在传统科学（理化生）的应用研究，这里推荐两本书
1)  Gardiner - Handbook of stochastic methods
2)  Van Kampen- Stochastic processes in Physics and Chemistry
个人觉得这两本书基本涵盖了在传统科学研究中所需要的概率方法。
下面重点来谈谈金融和计算机科学。
按照美国西北大学概率学家徐佩教授的话说，用概率论研究金融是一件非常自然的事情。因为概率论当中的很多概念在金融市场上有非常好的对应。比如鞅(Martingale)，就对应了金融市场的有效性。可在其它领域看来，“鞅”是个非常陌生的概念。基本上现在金融数学专业的学生都会大把大把的学习概率论，特别是随机微分方程。我的同学这段时间找金融方向的工作，笔试的时候经常会要求掌握Ito公式，会解简单的随机微分方程。毫不夸张地说，概率论是现代金融学的基本语言之一。大约在两年前，我在北大听一个在香港中文大学任职的校友做报告，大体是用随机分析里面非常高深的“Malliavin积分”理论研究金融定价问题。
所以，大家如果有志于这方面的研究，得在概率论，特别是随机分析的学习上下功夫。这方面我的功夫也差得远，但从同学那里推荐来几本书，介绍给大家：
1) 哥伦比亚大学Shreve教授的《金融随机分析》上下册，已经有中文版。
2) 苏联著名概率学家Shiryaev的《随机金融基础》上下册，也有中文版。

如果说金融数学当中的概率论更侧重连续轨道方面的内容，那么在计算机科学中派上大用场的更多是离散概率。这也是容易理解的，计算机处理问题的方式就是离散的。这方面我的师弟单治超（同样是科学网博主）会更有发言权，他在位于西雅图的微软研究院学习生活过，而那里是这方面研究的重镇。希望他能有机会给大家作更专业的介绍。我的理解，现代计算机科学重视概率论，主要还是因为随机算法的兴起。大家知道，经典的一些数值计算方法很害怕具有多个极值的最优化问题，而基于随机扰动的模拟退火算法却能提供很好的解决办法。更有时下一些高维系统的计算问题，传统方法束手无策，但是运用基于马氏链的MCMC等随机算法，却能解决很多过去解决不了的问题。随机算法随之而来了很多理论和应用上的问题，有本非常出色的杂志叫做random structures and algorithms，上面的文章大多是这方面的工作。
比较郁闷的是，相较于随机分析，离散概率论很难有比较统一的研究方法，这主要是基于离散结构带来的不便。所以一般来说，掌握离散马氏链方面的知识，就算是基本的先修知识。大部分的精力是需要大家花功夫持之以恒地去学。不过这里还是推荐一些读物：
1)  Bremaud-Markov chains: Gibbs fields, Monte Carlo simulation, and queues
2) 龚光鲁,钱敏平：应用随机过程教程及在算法和智能计算中的随机模型


谈概率论的训练及其它（四）——理论研究
说实在，自己在这方面没有什么发言权。但是为了完成自己的系列文章，也只能硬着头皮写下去。我尽量把我有把握的事情写出来，也谈自己的真实体会。
我不止一次的跟大家谈过，基于公理化，概率论是一门不折不扣的数学。怎么理解这句话？也就是说，研究概率理论，跟研究几何、代数、分析等等传统数学分支在本质上没有差别。它同样包括非常抽象的概念、复杂的运算论证和对美的数学结构的追求。在这方面，大家一定要引起充分的重视，因为包括我自己在内，还有我接触到的很多同学，大家在选择概率作为专业的时候，并没有意识到概率论的这一核心属性。以至于很多人到现在，仍然不能区分统计和概率的差别。我个人认为统计学是可以跟数学并列的一门学科，它的价值取向和研究手法跟概率论是非常不一样的。
如果大家意识到了概率论的数学属性，那么我想只要大家看看你们学微分几何或者代数的同学如何训练自己，那你的方式多半于此类似。“类似”并不是指课程上的类似，而是训练模式上的类似。比如，你需要通过大量的习题演算训练自己的基本功，而这种训练即便到了博士阶段也不应懈怠。
那么，谈完了概率的数学属性，接下来聊聊它个性的一面。我也跟大家讨论过，概率论很讲究物理背景。这使得大致上，概率论的研究大多情况下是专注在具体模型。并不是说它没有那种抽象的理论，在随机分析领域这种工作还是相当之多的。但是相比于传统的那几门数学老大哥来说，概率论的这个特点还是很突出的。所以，概率论里面，很少说有某个问题或者猜想作为领域公认的大问题。不像传统数学当中，有诸如黎曼猜想、庞加莱猜想、费马达定理之类的明星问题。概率论研究中也有大问题，比如渗流模型的临界值问题，但这些问题的效应还是局部的，即便它的难度或许不亚于种种大的猜想。
所以，概率论的研究很强调计算的功底，这里的计算当然不是简单的数字运算，而是很多不等式估计、极限运算等硬分析的功力。所以大部分概率论的工作都是脚踏实地在地上爬的研究。
我想我也只能介绍到这儿了，本来应该把概率论的一些重要的研究分支列出来，但自觉还是慎重为妙，还不如把概率论的相关期刊介绍给大家，大家从中体会比较好。这些期刊我曾经贴过，是从新加坡国立大学Rongfeng Sun博士那里摘录下来的。供大家参考。


概率论相关期刊
以下信息摘自新加坡国立大学Rongfeng Sun博士主页http://www.math.nus.edu.sg/~matsr/journals.html
Some Probability Related Journals:


Alea (Electronic Journal)
Annals of Probability
Annals of Applied Probability
Annales de l'Institut Henri Poincaré - Probabilités et Statistiques
Advances in Applied Probability/Journal of Applied Probability
Bernoulli
Communications in Mathematical Physics
Electronic Communications in Probability
Electronic Journal of Probability
Journal of Functional Analysis
Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment
Journal of Statistical Physics
Journal of Theoretical Probability
Markov Processes and Related Fields (articles not accessible online)
Potential Analysis
Probability Surveys
Probability Theory and Related Fields
Random Structures and Algorithms
Statistics & Probability Letters
Stochastic Analysis and Applications
Stochastic Processes and their Applications
Theory of Probability and its Applications
谈概率论的训练及其它（五）——结语和愿景
我想上述四篇《谈概率论的训练及其它》不可能很全面地讨论关于概率论学习和研究的情况，但我想要点可以总结为两条，也就是Durrett教授的书中提到的：学习概率论有两只手，一只手是对概率的直观培养；另一只手是对数学基本功的训练。两手都要抓，两手都要硬。
现在概率论处在一个比较特殊的阶段，一方面，我很相信很多人还是能认识到对随机现象进行定量的描述是一件非常重要且有前景的事情；另一方面，很少有人愿意耐心学一些稍微深入的概率论的内容。这其中的原因是多方面的，特别是跟近几十年来数学的发展路径有关。我们注意到，不管从事什么种类的科学研究，人们对于微积分和方程的运用已经习以为常。经过大学数学，甚至高中数学的训练，微积分变成了一种通行必备的研究技能。我想，这很大程度上得益于那个年代的数学跟科学特别是物理学始终保持密切的关系。现在当然很难想象念物理、化学的学生像对待微积分和微分方程那样地去学随机积分或者随机微分方程。我愿意相信，还是时机未到的缘故。有位教授对我说，十几年前，你看nature上的文章，多半是在讨论方程；现在你再来看，对随机过程的讨论已经越来越多了。正是看到了这种趋势，我才坚定地选择随机过程作为自己的专业，才坚定地为大家介绍或者解答概率论的相关问题。
在北大，本科的应用随机过程课程已经几乎要变成数学学院选课人数最多的课程了，因为有很多外专业的学生来听课。不奢望有大批大批学子以概率论为毕生专业，就像并不需要那么多人学习数学专业一样。只希望大家能在本科概率论的基础上再往前迈一两步，了解一点随机过程的知识。希望到时候马氏链这样的知识也成为大家研究工具箱里面的常规武器。
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