[转帖]和神人兄说说心里话：

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<p align="center"><strong><font color="#0000ff" size="7">和神人兄说说心里话：</font></strong></p><br/>　　首先我要声明一下，我不是什么数学家（尽管没有人这样称呼我，我也要事先声明一下），就连一个“数学高材生”也称不上。神人兄提到的那几个数学名词，我的理解大多没有达到专业化的程度，而基本上只是停留在科普层面。<br/>　　所以，我回答神人兄的问题时有的可能只会达到科普化层次的水平，也有的会答非所问，但我相信，我差不多能回答神人兄的所有问题。不过只有最后一条，我可能办不到。我书中第九章，虽然说应该属于那些有经验性意义的文字，但最终也没有获得公认。其他许多属于经验性意义的东西，也在期待着“爱因斯坦第二”的出现，那不是我力所能及的范围之内的事情。因为受篇幅所限，这里暂不谈“五毛”的问题。<br/>　　我搞高维欧氏几何学的研究，完全是出于一种偶然。<br/>　　98年从部队转业，被分配到北京市某粮库筹建处工作。因为是筹建，工程又还没有上马，整日没有多少正事可做。我想何不趁此机会继续学些基础知识，等将来忙起来后，有了专业分工了，自己学起专业来就会顺利多了。于是就继续开始自学了。不过这种自学，是在部队里正等待转业时就已经开始了。你知道，部队生活还是挺紧张的，尽管快转业了，能自己支配的时间也不是很多。我用四个月的时间补习完高中二年、三年两个年级的数学课程，还学习了一本供工农兵大学生使用的简明微积分教材。学完后，我发觉学的太过于粗糙了，书中大部分习题都做不出来。然后又向当地中学数学老师借了一本正式的《高等数学》仔细阅读，边读边试着去完成书中所附的习题，这样才勉强算钻进去一点点。等到后来儿子上大学了，我想这一回我是无论如何也没有能力来辅导他的功课了。有一次，他来问我一道二元函数的积分问题，没想到，我竟然能给他做出答案了！<br/>　　在学习高中的三角函数和一般的初等函数理论时，就开始接触直角坐标系。到学习《高等数学》时又接触了空间直角坐标系。解析几何的知识极大地开阔了我的眼界，就象在心灵中打开了一扇扇窗口，于是对解析几何产生了浓厚的兴趣。我开始思考：四维以上的空间是个什么样子？那里的几何现象一定更奇妙，更引人入胜！<br/>　　说来你可能会觉得很可笑：一次，我在思考“数”的层次时，我想，当一个虚数的指数为－1时，这是个什么“数”呢？那时，我还没有见过“欧拉公式”，不知道这种数也是虚数。于是就自以为是地用这种“数”推导出一个公式，这公式又经过一次变换，就变成了后来的“关系”式。那时，我不知道这种变换式是奇异线性变换所决定的“关系”的一种表达式[1]，后来进一步学习线性代数才算弄明白。<br/>　　按照这种变换式，我作出了最初的模拟四维空间的坐标系。因为在不同情况下所作出的模拟坐标系是不同的，所以称它们为特定四维坐标系。在特定四维系中，我开始了对四维空间的几何现象的研究，并初步发现了四维空间的许多奇妙的几何现象。<br/>　　但是我很不放心，我担心这种问题已经有人在研究了，我只是在重复别人的劳动。最先，我趁参加市科协举办的一次《高等数学》进修班，负责讲课的是北京市天文台的一位韩姓研究员。我向他请教：学习四维以上的空间的解析几何需要看什么书？他说，去看黎曼几何。我说，黎曼几何是非欧几何，我想看欧氏的高维几何。他说，你去看《线性代数》。<br/>　　回去以后，我又仔细翻阅《线性代数》，翻阅了一本没有，又先后买了三四本或《线性代数》，或《高等代数》，或其它有关矩阵理论的书籍。但里面除了顶多有关于欧氏空间的章节以外，几乎看不到具体的几何内容。于是我知道了，《线性代数》是代数，不是几何。<br/>　　后来，我又去北京师范大学登门求教于傅若男教授。我问她，四维空间会不会是非欧空间？她说，这我没研究过。我们还谈了一些其他问题，我记得她非常耐心地一边作图一边给我讲解罗氏几何的原理，然后我就告辞了。后来我又托人给她转交了一篇论文，她在回信中针对我认为的“四维以上的空间里目前没有人能够作出它的图形”而告诉我，关于四维以上的空间的作图问题，你可以去看两本书，一本是美国人写的关于四维空间的画法几何，一本是前苏联人费里波夫写的《多维空间画法几何及其应用》。她还托人告诉我，让我别光研究四维空间，研究四维空间意义不大，建议我研究包括四维空间在内的高维空间。<br/>　　根据傅教授的建议，我买回了《多维空间画法几何及其应用》这本书，仔细研读。我发现，按该书中的方法去表示n维空间的一个点，要使用n-3条线段，我的方法呢？n维空间我还没有开始研究。于是，我开始想办法将那个变换式推广到n维空间中去。<br/>　　推广的结果，竟然形成了一整套全新的系统的理论，称之为“斜轴变换”和“斜轴画法”[2]。根据这种理论所创立的特定n维坐标系中，一个点状图形可以模拟n-3条直线！就是说，画法几何的方法要做到我这种方法的结果，就要使用（n-2）×（n-3）条线段！这种差别，简直就是一个几何量级。例如，在我的书中，只用了一个平行四边形就模拟了一个六维空间的“泛平面”（其它几何书中称为“超平面”，见《高维欧氏几何学》第三章例4。其实，即使是几百几千维、上万维的“泛平面”用一个平行四边形表示也足够了），而且根据图中所给的简单条件，很容易地即可求解出这“泛平面”的方程。而同样的问题，如果使用画法几何的方法，至少要使用一个六棱的锥体才能表示。显然，他那种方法过于复杂，是不实用的。经过这一番对比，更坚定了我继续研究下去的决心和信心。<br/>　　我将初步的研究结果写成论文，先寄中科院当时的院长卢嘉锡，论文被退回到我的上级机关，上级机关把它装在<strong><font color="#ff0000" size="5">市消防局</font></strong>的信封里退给了我。<br/>　　论文经修改后又交给了当时在市科协学会部工作的王连福同志，不久就收到他的回信，原来论文又被退回来了。这一次，是北京大学数学系的某先生审的稿子，里面附有一份评语，评语称，“李洪录先生所说的‘四维空间中两个平面有时只有唯一公共点’，这一发现是荒谬的，是违反大家所熟知的事实的。这种性质的错误，表明作者尚无能力从事研究工作。希望作者加强学习，在掌握了现代数学的一些基本知识之后再从事研究，否则只能是重复前人的工作，这实在是一种可怕的浪费！”信纸的上款印有<font color="#ff0000" size="5"><strong>“北京造纸学会”</strong></font>六个大红字样，也间接说明了我所造成的浪费是多么地严重！<br/>　　在单位里，这份评语这时成了我的最大秘密，我非常不愿意有人能看见它，我把它深深地藏在我的军挎里。可好象还是被人看到了——我的一位同事在不到半个小时的时间里，一连两次问我：“李师傅，你知道什么叫‘人心不足蛇吞象’吗？”我也只好不厌其烦地给她解答了两次！<br/>　　看着这份评语，我心里十分地不服气！明明是他们错了吗！我举个简单的例子：设有一个（假想的）四维直角坐标系，它的四个坐标轴依次是x,y,z,t，则xoy面与zot面间，公共点不是只有唯一的（原点）吗？　　但是没办法，话语权在人家手里，不在我手里。我只好忍气吞声，又一次修改论文，这一次我尽量避开了那些有争议的话题。<br/>　　论文改好后，又交给了王连福同志，他把它转交给了北京工程图学学会的张仲伟先生，张仲伟先生又把它交给当时任全国工程图学学会常务理事、理论图学专业副主任委员、北京市工程图学学会常务理事、理论图学专业主任委员的北航教授厉声林先生。<br/>　　不久，厉先生回信了。根据厉先生信中安排的接见时间，我如期前去登门拜访。我向厉先生请教，我的论文有没有价值，他说有价值。我问论文命运如何，他说“起码可以在我们的丛刊上发表”！我又问，“为什么同样的内容，在数学界屡屡碰壁，而在你们这里这么重视呢？”他说，“数学界与图学界历来存在分歧，我们认为很有用的东西，他们往往看不上眼。”<br/>　　厉先生不久移居美国，临走之前，又给我来了一信，信中还附有一封转交给清华大学仪表系周积义教授的<span class="t_tag" href="tag.php?name=%B6%CC%D0%C5">短信</span>，大意为：“积义兄，我不日将移居美国，现将李洪录同志介绍给你，请给予关怀和指导！临行匆匆，不及细谈……”<br/>　　看着来信，我心中不免产生几分伤感：从此以后，中国又少了一位热心提携奖掖后人的图学泰斗！<br/>　　在周积义教授家中，我受到了点石成金般的指导。我几乎成了他家的常客，经常一坐就是半天的时间。无数次的打扰，他从未表示出厌烦的情绪。他除了给我讲解一些基本的作图技巧外，还经常向我介绍一些图学领域最尖端、最前沿的进展。有一次，它让我看一组示意图：在四维空间中，鸡蛋中的蛋黄是如何自己走出蛋清和蛋壳，而整个鸡蛋看来却是完好无损的。1995年，当我最后一次见到他时，他已经患了胃癌，胃被切除了三分之二，就连小肠也被切除了三尺！这时他已经无力为我审阅稿件了，而且他还告诉我，我现在所完成的这些内容，已经远远地不属于图学了，它应该属于数学，建议我去找数学专家去给审阅。等到我的书出版时，我拿着书兴冲冲地去向他报喜时，他已经去世了！<br/>　　还有一位××大学的张云鹤先生，他是北京工程图学学会秘书长。每次去他家里，他都热情地为我进行指导。有一次，他光顾了和我讨论问题，竟忘记了坐在炉子上的米饭，结果弄得满屋子都是糊烟味，一家人的午饭都没有吃好。<br/>　　厉声林先生的夫人是晚些时候出国的，她临走前，给我介绍了当时的北航分院后来的北京联合大学建材轻工学院的张日晋教授。后来，我也成了张教授家的常客。在他家里，他除了给我传授画法几何许多基本技巧外，还教会了我体视投影图的绘制的更多技巧。而且，他还介绍我与前来登门拜访的大视野体视图理论及方法的创始人王希富先生。张教授还将我的论文推荐给天津南开大学的刘光旭教授，刘教授对我的论文给予了比较高的评价。<br/>　　不久，刊载我的论文的《北京工程图学丛刊》出版了，再不久，在原《光明日报》社副总编朱新民先生的支持下，我的第二篇<span class="t_tag" href="tag.php?name=%C2%DB%CE%C4%B7%A2%B1%ED">论文发表</span>在当时由该社发行的《潜科学杂志》上。又过了一段时间，张云鹤先生给我寄来了一份<span class="t_tag" href="tag.php?name=%CD%A8%D6%AA">通知</span>书，<span class="t_tag" href="tag.php?name=%CD%A8%D6%AA">通知</span>说我的第一篇论文被北京工程图学学会1987年年会采用，让我届时去做大会发言，去宣读那篇论文。<br/>　　在那次大会上，我结识了时任北京装甲兵工程学院副教务长的黄良俊大校，为以后结识侯秉涛教授打下了基础。<br/>　　在大会所散发的文件中，我看到了北京理工大学简召全先生的文章，并听了他在这次大会上的发言，那是讲如何用单位圆法去求解四维空间中两个平面之间的夹角的方法，就是这篇文章，启发我彻底解决了高维欧氏空间线性图形之间的夹角问题。由简召全先生这篇文章所派生出的方法，在我的书中被称为“简氏解法”或“简氏方法”。

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　　为了求解夹角问题，常常要旋转坐标系。而旋转坐标系，就常常用到单位正交矩阵和正交变换。但是，构造单位正交矩阵就要求一组单位正交向量。以往，向量的正交化只有“施密特法”一种。在我试图解决高维空间向量间的“外积”时，发现，n维空间中向量间的“外积”运算，是在n-1个线性无关的向量间进行的。而且“外积”运算的方法意外地解决了另一种向量间正交化的方法——“外积”法。同时它还提供了齐次线性方程组的一种新的求解方法，用这种方法所求出的一组解向量往往是正交的。高维空间“外积”运算方法的出现，还澄清了长期存在于人们心中的模糊观念——原来人们一直以为，高维空间中的外积运算也象在三维空间中一样，是在两个向量之间进行的[3]。
　　此外，我还发现，在《线性代数》中被炒的沸沸扬扬的实对称矩阵的特征根与特征向量，它的主要用途原来就是为了解决高维空间中两线性方程组所表示的图形之间的夹角问题。相对于这个问题，它的其它用途皆显得是那么黯然失色[4]。　　讨论高维欧氏空间的几何问题，就不能回避线性方程组。所有的线性代数书中，对线性方程组的问题，都只停留于讨论它们的解的结构问题。仅仅对齐次线性方程组，给出了“线性子空间”的概念，与几何问题稍稍沾上一点边，而对非齐次线性方程组，则没有任何几何内容的讨论。它们的形状，他们相互之间的位置关系，一点也没有谈到。其它的涉及到高维空间问题的几何书籍，包括欧氏的，非欧氏的，画法几何的，除简召全先生谈到的夹角问题，和有人提出了“超曲面”、“超曲线”的概念以外，几乎是一片空白！因为不讨论非齐次线性方程组的几何问题，所以，非齐次线性方程组所表示的图形间的距离问题更是无法解决。
　　但是，做为一部名符其实的高维欧氏几何学，则绝对无法回避这些问题，它必须迎难而上！
　　在讨论“斜轴变换”和“斜轴画法”时，线性方程组和非线性方程组所表示的图形（分别统称为“线性图形”和“非线性图形”）的形状已经得到了解决，剩下的就是它们（尤其是非齐次线性方程组所表示的图形）间的位置关系问题了。其中，前面提到，夹角问题在简召全先生文章的启发下也已经解决了，只剩下交错（即相交和相错，其中相错是指两图形既不平行也不相交）和距离问题了。
　　为了解决线性图形的包括夹角问题在内的一切位置关系问题，必须赋予线性方程组以更多的几何概念。高维欧氏几何学除了提出“顺空间”、“法空间”、“公顺空间”、“公法空间”和“公顺法空间”等等概念外，还在研究《线性代数》中关于线性方程组的解的结构问题时，意外地发现，将这种讨论继续进行下去，就得出一种“外直和”的概念[5]。
　　“外直和”正是非齐次线性方程组所表示的图形的最令人满意的几何属性的称呼：非齐次线性方程组所表示的图形是它的导出组所表示的图形（称作子空间）的一个“外直和”。看来，当初创立线性代数的那个人的智商比起敝人来还是稍稍差了一点点，这么大的便宜（还应该包括“外和”、“外积”在内）竟然白白地给我留到了今天！否则，线性代数与高维几何的距离不是又大地缩短了一步吗？
　　在外直和的基础上，进一步导出了“外和”的概念。什么是“外和”？举个简单的例子，在三维空间求两条既不平行又不相交的直线间的距离时，通常是先将一直线平移使与另一直线相交，两相交直线决定一个平面，这平面与平移前的那条直线间的距离，也就是这两直线间的距离。这“两相交的直线”所决定的“平面”，也就是这“两相交”直线的“外和”。四维以上的空间中，两个既不平行又不相交的线性图形间的距离也要用同样的方法去求：先将其中一图形平移使与另一图形相交，然后再求它们的“外和”，这“外和”与平移前的那个图形间互相平行，它们间的距离就是平移前两个图形间的距离[6]。
　　至此，高维欧氏几何学已经雏形初具。之所以称为“欧氏几何”，是因为它同样是建立在欧几里得的五条公设的基础之上。同时，既是解析几何，一般认为它只需要利用代数方程的解析性质说话，完全可以不依赖于任何公理体系。
　　有了这些成果，加上那两篇论文，我的底气足了。我可以不用人介绍，直接闯入全市一些大学的数学系，向他们去推介我的研究成果。但是，我的稿子仍向以前一样，不是石沉大海，就是被退回。为了了解原因，我与一些大学老师进行交流，所得结果有时真的令人哭笑不得！他们有的认为高维空间不可能是欧氏空间，有的认为，线性代数中已经有了这些内容，而我的做法只不过是在重复前人的劳动。
　　当然，主要的原因还是立论不过关。于是反复学习《线性代数》中关于奇异线性变换的内容，现有《线性代数》书籍内容不全，又去北京图书馆查阅倪国熙所著的《常用的矩阵理论和方法》，翻阅中科院数学所编写的《数学手册》，不断地论证，不断地修改。最后发现，书中所用的变换式，公式两端系数矩阵的秩是不相等的，而且，这种变换是不等价（非自反，非对称，不可传递）的。于是，又将这种线性变换改称为“异秩线性变换”，但仍然无法被数学专家认同。
　　这时，装甲兵工程学院的黄良俊大校伸出了热情的双手，他把我的作为全书的立论部分的一篇论文转交给了德高望重的侯秉涛教授。黄教务长告诉我说，他听过侯先生讲的课。他说，侯教授讲课逻辑严密，环环相扣，一丝不苟。你如有一处没有仔细听讲，以下的内容你就无法再听懂了。许多年轻教师都去向他请教，他向个长者一般不厌其烦地认真讲解，直到你懂了为止。在他家里，我自己就曾亲眼看到过年轻教师去向他请教的场面。
　　侯教授对我将奇异线性变换绕了一个“异秩化”的大弯子感到不可理解。我看着大好的机会眼看就要错过，心里也有些暗暗起急。于是据理力争，说话的声音也大了一些，言语中还不时有一些顶撞的语气。他看到我这样“不谦虚”，又竟然敢于顶撞他，一时也来了气：他说，我们的交往就到此为止吧！
　　黄良俊先生急忙从中斡旋，我原部队的老战友，时任该院政治部副主任的杨永成大校也打来电话进行劝解。我也将论文进行修改，又附上一篇现在书中第二章至第五章的摘要内容，又送到了侯教授手中。
　　侯教授拿到稿子，随便翻了翻，立即作出判断：这是一个基本成形的东西。他抽空仔细看过了全部稿件，见写得实在不象样子，于是自己亲自动手将论文重新写了一遍。他将这种变换称之为“关系”法，并对这种“关系”的不等价性中的非自反性和非对称性进行了简洁而周密的论证。在他这种论证的基础上，作者补充上了非传递性的论述。后来，他又另外补充了一篇论文，给出了成为这种关系中的自反元、对称元的充分的必要的条件，并对这种变换下的运算规律进行了论证。
　　这一次，高维欧氏几何学的立论部分终于在理论上站稳了脚根！当我怀着无限感激的心情前去致谢时，侯教授只是淡淡地说了一句：“这是常有的事情。”据黄教务长介绍，经常有年轻学者搞出了成果后去找侯先生进行“数学包装”，从而大大提高了研究成果的理论价值。而且，侯教授从来坚持不署名，不要报酬。
　　我将侯教授所写的范文重新整理后，连同《高维欧氏几何学》一书中第二章至第五章的内容一起，写成了一份系列文稿。文稿写好后一起送到北京理工大学张云鹤先生手中，张云鹤先生又把它转交给本校数学系的沈以淡教授手中。
　　过了一段时间，我来到沈以淡先生家中。沈教授认为，我的论文很有意义。沈先生还为论文写了一篇推荐文字，希望论文能引起有关专业专家的注意。我正在发愁我的论文在什么地方发表的时候，沈先生为我提出了一个非常好的建议：将论文改写成书稿直接出书，并答应帮我联系出版社！这一来可太出人意料了——如果到一个刊物上去发表，系列文稿一共五篇论文，搞好了一年顶多发一篇，这样从时间上说就拖得太久了。而且，论文的内容是经过高度压缩的，许多问题根本无法表达的那么透彻，且由于出版周期太长，难免看了后面忘了前面，很难达到广泛推介的目的。
　　按照沈先生的建议，我开始将论文改写为书稿。系列文稿每一篇改为书中的一章，还增加了第六章至第八章（第九章是出书后为了说明本书具有实际的应用价值而加上的）。书稿改成后，沈先生又不厌其烦地多次进行评审圈改，加工润色，并亲自为本书拟定书名。他还多方奔走，呼吁有关部门和专家对本书的思路和方法予以关注。他亲自带着笔者四处奔走，利用自己的声望和关系，走了一家出版社又一家出版社，先后共跑了三家出版社，前两家都没谈成，到了第三家，由于副总编李盈安先生是沈先生的熟人老同学，此事才算谈定（至于他用电话联系过多少出版社则不得而知）。
　　在本书出版之前，李盈安先生提出，按照出版社的规定，这本书的作者必须冠以北京理工大学学者的身份，该书亦为该校教学用书，否则编委们开会时将无法通过本书的出版计划。而我不仅与北京理工大学毫无瓜葛，更与学者身份毫不沾边。经沈先生与当时任该校后勤党总支书记、我的高中老同学王勇先生商议，由王勇先生的爱人张教授所在的该校计算机系出具一份证明，证明我是该系的一名老师，并在出版社与我所签署的协议盖了该系的公章。
　　书出版后，我又开始了四处游说，向人们推介我的《高维欧氏几何学》。拿着我新印刷的书，出入于各大专院校的数学系、图书馆或资料室，一边赠书，一边向人们介绍书中的基本思路和基本方法。
　　但是，所遭遇的命运与以前拿着论文去几乎没有什么变化。大部分单位书虽然收下了，但从此石沉大海，杳无音信。更有的单位连书也不肯收。与收下过此书的人进行交流时，对本书的评价与过去拿着论文去时几乎没有区别。所不同的是，个别老师看过此书后，如有学生再问起高维空间的几何问题时，他们会向学生推荐《高维欧氏几何学》，而不是再让他们去看黎曼几何或线性代数了。
　　这一天，我来到了中科院数学研究所。因为我的书是几何书，于是我找到几何与拓朴研究室。这里的人都不在，一打听，说是去小会议室听课了。
　　来到小会议室，见黑板前一专家正指着黑板上的公式回答下面一些听者的提问，有的人已经站起来准备离开了，显然讲课已经结束了。我问道，谁是几何与拓朴室负责人。一个高高大大的年轻人指着一位老者说：“他是！”我刚要上前打招呼，那老者又反过来指着年轻人说：“负责人就是他！”我将带来的《高维欧氏几何学》给他俩一人一本，正准备和年轻人搭话，老者问起我的来意。我简单说完来意后，老者热情地自我介绍道，他是湛江师范大学的老师，并给我写下了姓名和联系方式。他又问起我在哪个科研单位或院校上班，我告诉他我只是北京某某粮库看大门的，他的脸上立即露出不屑的神色，就不再与我搭话了。我心想，这人的面孔变得到挺快。我还没歧视你这个残疾人（他的一只手是残废），你倒先歧视起我这个看大门的了！于是我又去和年轻人搭话，年轻人说，我们回室里去谈。

　回到研究室，我说明了来意，让他在理论上为《高维欧氏几何学》好好把把关。我向他简要介绍了《高维欧氏几何学》的内容及思路和方法，然后和他攀谈起来。我问起他的职务、职称、学历和学位，他告诉我，他叫潘建中，助理研究员（为当时的职称，现已逐步升为副研、正研），某大学毕业（我忘记了），跟随北京大学的尤成业先生（北大著名数学家）读完了博士后，分配到这里来的。因为室主任出国了，出国时临时委托他代为负责室里的日常工作。他显得非常谦虚，一再申明，他是年轻人，是晚辈。我告诉他，人与人之间，并不是谁的年龄越大谁的学问越高，不同人之间学问与年龄并不总成正比。
　　两个月后，我又去拜访他，同时带去两份刊物，一本《北京工程图学丛刊》，上面刊有简召全先生的“用单位圆法求四维空间两平面夹角的问题”，一本《潜科学杂志》载有我书中第二章至第五章的内容摘要。
　　他好象已经粗略地看过了此书，他对我说，要想让这书早日为社会所接受，就最好不使用什么“泛曲面”、“泛曲线”的提法，还是使用通常所用的“超曲面”、“超曲线”的提法。对此我未置可否，因为我相信，我登载在《潜科学杂志》的那篇文章里有这样一段话：我们将人们惯称的“超曲面”、“超曲线”改称为“泛曲面”、“泛曲线”，第一是因为，它们是看作“泛点”的轨迹；第二，在语言上，较为具有中国特色（这后一条在当时的书中并未写出）。果然，从此以后他再也没有提出过这种要求。
　　又过了半年多的时间，我再去他那里，他告诉我书看完了。他说，“第一章侯教授帮助搞的，肯定不会有问题，第二章至第五章，好象是讲图学的，图学我不太懂，也就没有仔细看。我重点看了第六章至第八章，基本上可以。只是，夹角问题应该给出定义，没有定义而进行讨论就缺乏说服力。第六章中关于‘外和’中两线性图形的交是非空的定理是多余的，因为你在‘外和’的定义中已经规定了两线性图形的交是非空的。”我回去以后，按照他的要求将书的原稿又进行了几次大的修改，慢慢变成了今天这个样子。
　　后来我又去了他那里几次，在我的要求下，他在我书中的序言稿上署上了自己的名字。
　　有两次我们的谈话给我留下了深刻的印象——那两次谈话的内容太意味深长了！
　　与以往一样，每次交谈机会都非常难得，时间都非常宝贵。这两次当然也不例外——一方面仍是开门见山，谈起了拙书《高维欧氏几何学》的前途问题；另一方面是我们两人都比较有分寸：我是不该问的问题尽量别问，他是不该回答的问题尽量不回答。
　　当然，他同时也不忘作如下表白：他坚持认为只有非线性的东西才更有意义。他之所以帮助我，也只是佩服我这么大年纪仍然有这么刻苦钻研的精神。言下之意是不肯承认拙书的内容有什么价值。
　　他告诉我，同样一个问题，用非线性的方法（即非欧几何的方法）去研究比用线性的方法去研究所取得的成果更有价值，因为用这种方法进行研究的难度是相当大的！“同一问题因采用了难度大的研究方法而身价倍增”的现象就是这样被我知道的。
　　这种现象背后代表了一种畸形的、变态的心理。因为从常识的角度来看，一种知识，或一种方法，往往不是越复杂才越实用，而恰恰相反，是越简单的才越实用。所谓价值一说，即使从理论的角度来看，同一种理论往往也是越简单才越受人们欢迎，越容易被人们所接受，也才越有价值。
　　我向他请教：《黎曼几何初步》一书的§16（为全书倒数第二节）讨论“几乎平坦的流形”的目的是什么？§17（为全书倒数第一节）中“准备向几何前沿走第二步”的话是什么意思？他无法断然否定，这是人们试图先将非欧空间尽可能欧氏化（即所谓的第一步），然后再试图在这尽可能欧氏化了的非欧空间中去讨论（欧氏空间中的）几何问题（第二步）。当然，这后一个目标的进程是刚刚“准备”（但并没有开始），因为按该书的说法，尚有120个难题有待解决[7]。
　　我以为，这种作法极大地阻碍了欧氏空间的研究进程，不能不说这是一种误区。为什么这么说呢？因为，非欧几何需要有一个庞大繁杂的公理体系来保障它在理论上的“完备性”，每解决一个问题，都要回答这种解决问题的方法在理论上是否“完备”。因此从篇幅上看，绝大多数是花在了关于“完备性”的论述上，而关于真正的几何问题的篇幅反而极其有限。当然，我并不反对人们研究非欧几何，因为非欧几何自有它独特的用处，例如在相对论中就常常用到非欧几何的理论。可是若用它来解决高维欧氏空间的问题，则显然是“大材小用”了。高维欧氏空间中的许多基本的几何问题在《高维欧氏几何学》一书中本来已经解决了，只是苦于没有人肯去接受。我担心用非欧几何方法即使解决了这些问题，那么，人们恐怕一辈子不用再去做别的事情了，时间都用来阅读系统介绍这些知识的书也不一定够呢！
　　潘先生对我的这些看法，有时往往只是用沉默来作为回答，有时则这样解释：“这些问题，人们不想去讨论它们。”
　　由于《高维欧氏几何学》长期得不到社会的承认，为该书联名作序的三位专家也长期为我背上了黑锅。我担心，有人私下里会对三位专家的支持表示异议，这将会影响到他们的声誉。因为我曾亲眼看到过，一些很有名望的学者，由于帮助一些后来者搞出的被认为没有什么价值的成果而背后受到人们议论的现象。
　　那一天，我又到数学与系统科学研究院某所办事，办完事走到院子里正好与潘建中先生打个照面。我第一次和他站得这么近，他就象一座山一样站在我面前，足足高出我两个脑袋！我和他说话必须仰起头来，而他必须低着头才能和我说话。我在想，在他那宽大的胸腔中，跃动着的是一颗什么样的心灵！
　　我谈到了《高维欧氏几何学》的命运，它总是这么不死不活的，看不到成功的那一天。长久以来，让潘先生我为背了很多黑锅，言谈之中表达了我的深深的歉意。
　　没想到他反过来也带着歉疚的神情对我说：我也帮不了你什么忙，我是“人微言轻”啊！现在整个中国学界都是“人微言轻”。他的话让我大吃一惊！我从网上得知，那时，他已经是个副研究员了。在我的心目中，数学所里就连一个刚刚参加工作的研究生也是了不起的数学英才！
　　但我这时回想起有一次也是到所里赠书，是赠送给一个中层干部的。我告诉他这书是经过潘建中先生给进行过理论把关的，没想到那位中层干部却说，“他给把关，那没有用！”当时我根本不相信那位中层干部说过的话，这一次我才算是真正相信了。
　　“他给把关，那没有用！”这八个字后面的潜台词是什么？潜台词自然是，那些头上带“长”，身上挂“袍”（院士袍）的人说话才有用。
　　但是，那些头上带“长”、身上挂“袍”而且“人巨言重”的人们，却没有一个人肯站出来为《高维欧氏几何学》说上哪怕是半句话。他们中多数人甚至连这本书看也不屑于看一眼！
　　他们在忙什么？原来，他们当中有的人，正象科幻小说《里克历险记》中所描写的那样，在追逐着当代最“时髦”、最“新潮”的“数学前沿”浪潮，充当那种“非线性研究”的领路人[8]。
　　现实就是这样在和人们开着天大的玩笑：使用线性方法的人们用“常规武器”至少已经打下了“重型轰炸机”，而使用非线性方法的人连“原子弹、氢弹和洲际导弹等所有最尖端的武器”都用上了，至今却甭说“麻雀”，甚至连个“蚊子、苍蝇”都没有打下来。而且我敢断言，非欧空间的理论即使彻底完备了，它对欧氏空间的研究结果也不大可能会超出《高维欧氏几何学》的认识程度。
　　应当承认，《高维欧氏几何学》是基础数学，它远远不是什么“数学前沿”。但就是这种基础性的东西，在数学园地里起到了一种拾遗补缺的作用。许多人错误地以为，自集合论创立以后，整个数学体系已经形成一个封闭的体系。换句话说，就是认为整个数学大厦已经封顶，人们不可能再在其中作出太大的贡献了。但是《高维欧氏几何学》的出现会提醒人们：这个大厦下面竟然还有这么大的一片基础是悬空着的！等到用非线性方法研究出那种构建于数学大厦最顶端的高维几何时，大厦的基础恐怕早已不堪重负而有倾倒之虞了！
参考文献
[1]　　开心科普——《[原创]中国人能创建微积分吗？》第68，74楼。
　　　http://club.cat898.com/newbbs/dispbbs.asp?boardid=41&star=5&replyid=21464258&id=1879971&skin=0&page=1
[2]　　开心科普——《[转帖]n阶行列式的几何意义》第4楼。
　　　http://club.cat898.com/newbbs/dispbbs.asp?boardid=41&star=1&replyid=20614683&id=1770197&skin=0&page=1
[3]　　开心科普——《[转帖]n阶行列式的几何意义》第1楼，链接同[2]。
[4]　　开心科普——《[转帖]特征行列式的新的几何意义》第1楼。
　　　http://club.cat898.com/newbbs/dispbbs.asp?BoardID=41&ID=1816403
[5]　　《高维欧氏几何学》第六章第3.1节，
　　　开心科普——《何谓“外和”》
　　　http://club.cat898.com/newbbs/dispbbs.asp?BoardID=41&ID=1825536
[6]　　开心科普——《[转帖]两线性图形间的距离》第1楼。
　　　http://club.cat898.com/newbbs/dispbbs.asp?BoardID=41&ID=1827177
[7]　　《黎曼几何初步》，伍鸿熙等著，北京大学出版社1989年10月
[8]　　开心科普——《里克历险记（科学幻想小说）》后记
　　　http://club.cat898.com/newbbs/dispbbs.asp?BoardID=41&ID=1825802

本帖转自凯迪论坛文化散论

这篇文章讲了一个人想做点事情的困难和现实社会的一些现实问题。

很喜欢这篇文章，看了很感动，感动于作者的执着。收益也很多。

理解万岁！

哪年哪月，这许许多多的热心、苦心才能得到抚慰！

何日圆我数学强国之梦！

不管怎么样，《高维欧氏几何学》总是诞生了，这是个不争的事实。面对事实，装作看不见是无济于事的。不如索性睁大眼睛，来给它挑挑毛病，说不定能一下子找到它的致命错误，将它彻底推翻呢！

顶起来！

李先生，你好，

     我是做通信方面研究的，目前重点多维信号检测进行研究。看到你在“高维欧氏几何学”方面的研究，准备下面好好读一下你的大作。

希望你的成果能有用武之地！

只要是金子，总会发光的！

我的Email是：chenpjh@126.com