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雷达卡
在一著名的电视游戏节目里,台上有三扇门,记为A,B,C,其中两扇门后面没有奖品,而第三扇门后有大奖.如果你能准确的猜到那扇门后有大奖,则你就赢得此大奖.节目开始后,某人首先选择了A门，在门A被打开之前,节目主持人打开了B门,发现门后什么也没有.
问题：如果此时改变原来的决定而选择C门,会不会增加获奖的概率?
印象中这个问题曾经登在十二年前《读者》上。《读者》来饶有兴趣的介绍说，那个观众在犹豫了片刻后，决定不换，因为他认为换不换都一样，即A门和B门后有大奖的概率都是1/2。主持人很遗憾的告诉这位观众，说他答错了，从而失去了进一步选择的权利。节目播出后，这个主持人收到了几千封大学博士的来信，他们都一致的认为是主持人错了。
于是问题就转换为：到底是谁错了？
有一次我的两个同事在一起研究这个问题，结果意见出现了分歧，进而开始了激烈的争论。虽然争得脸红耳赤，可还是无法分出胜负。于是决定，请一位专家来做裁判。我被他们的电话请到了现场。开始我以为这是一个脑筋急转弯的问题，仔细分析以后发现这还确实是一个问题。下面我来分析这个问题。
认为换不换都一样的理由：既然已知B门后已经没有大奖，那么大奖就只有可能在A门和C门后，而我们看不出这两个门有什么区别，因此它们后面有大奖的概率应该是一样的，即1/2。
认为应该换的理由：A门后有大奖的概率是1/3，B门和C门后至少有一个门后有大奖的概率应该是2/3，并且这两个门总有一个是空的。为什么主持人不开C门而开B门呢？说明C门后很可能有大奖。
为了使大家对这两个理由的正确性有一个初步的判断，我先陈述一个正确的解答：如果在游戏开始前主持人打开了B门，那么A门和C门后有大奖的概率相同，即都为1/2。
但现在主持人是在观众选择A门之后，才打开B门的。
有区别吗？
当然有区别。既然条件不一样，条件概率就不会一样！
事实上，在本游戏中，A门和C门是有区别的：A门是观众随机选的，而C门是主持人有意留下的。有感觉了吗？
将问题转换一下：甲选择了A门，而乙选择了剩下的两个门，即B门和C门。
显然乙认为自己获奖的概率大。
但是此时，主持人告诉乙一个信息，说，其实你选两个门与选一个门是一样的。
乙会相信主持人吗？
除非乙是笨蛋，否则绝不会相信主持人。
但是现在，主持人换了一种陈述方式，他说，之所以说你与甲获奖的概率相同，是因为你虽然选了两个门，但可以肯定的是你至少有一个门是白选的，因为你选的两个门中至少有一个门是空的。既然有一个门肯定是空的，那么能不能获奖的概率实际上就是剩下的一个门后有没有大奖的概率，既然只剩下一个门了，那么你与甲获奖的概率有什么不同呢？
此时，即使乙是个数学博士，相信也会开始犯迷糊了。
依据主持人上述的逻辑，即使台上有100扇门，甲选择了1个门，而乙选择了99个门，甲乙获奖的概率也是相同的，因为乙的选择中至少有98个门是空的，于是最后只剩下第99个门是不是有奖的问题了，这不是与选一个门是一样的吗？
现在你可能开始有点相信语言的迷惑力了。
即使你再聪明，在语言所设的美丽陷阱面前，你都可能会一往情深地栽进去。
这就是广告的魅力。
条件概率的问题
认为换不换都一样的人认为此时的条件概率应为：在已知B门后无大奖的条件下，A门后有大奖的概率。
这个概率确实等于1/2。
但我们现在的条件概率却是：选择A门后，在剩下的两个门中已知有一个是空的以后另一个门后有大奖的概率。
此时的概率就不是1/2了。
在剩下的两个门后，只有三种可能：（无,有）,（有,无）,（无,无）。
那么在已知其中一个是“无”的情况下有三种可能，而另一个门后有大奖的可能性有两种，所以其条件概率就是2/3。
因此，本文开头提出的问题的正确答案是：换一种选择获奖的概率是2/3。
但是我相信，我的这种解答方式还是有人会不服气的，它们还会提出很多似是而非的理由加以反驳。
有一次我与两位研究生的同学讨论这个问题，最后我的同学得出了一个结论，这就是我这么多年的概率算是白教了。语言的陈述总是不能让人信服的，这时，我们就会发现数学的力量了。由于本页面不能显示复杂的数学公式，所以我只是在这里说明一下，运用贝叶斯公式可以给出无懈可击的解答。
如果那几千个大学博士都用一下贝叶斯公式，就不会犯这样的错误了。
问题是，即使是科学家，他们在很多的时候也会特别相信自己的第一感觉，从而犯下很低级的错误。
Via:天竺居士新浪博客
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