【闲谈概率】来聊聊条件概率

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问题1、一个家庭有两个孩子，问都是女孩的概率是多少？

答：1/4

问题2、一个家庭有两个孩子，已知其中有一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？

我每次问这个问题，学生的回答几乎都是1/2。于是我就会问一个类似却又不同的另一个问题：

问题3、一个家庭有两个孩子，已知大的孩子是女孩，问小的孩子也是女孩的概率是多少？

这个问题的正确答案是1/2。

于是，马上就会有人开始认真地审视问题2与问题3之间的区别了。

同样是问这个家庭的两个孩子都是女孩的概率，问题1因为没有告诉你更多额外的信息，因此答案就是1/4，但问题2和问题3却附加了一些信息或条件，因此概率就发生了变化而不再是1/4。

问题2与问题3的条件看上去很相似，但其实是不一样的。问题2只是告诉你，这个家庭的两个孩子不全是男孩，于是便有三种可能：姐弟、兄妹、姐妹，而姐妹只是其中的一种，于是问题2的答案应该是1/3。而问题3的条件将这个家庭限制在只有两种可能：姐弟和姐妹，答案自然就是1/2。

一般将试验所有可能的结果组成的集合称为样本空间，记为S。如果关于试验的结果你得到了一些信息，那么在此信息下，试验的所有结果就会发生变化。变化后的样本空间有时称之为缩减的样本空间。

比如问题1的样本空间有四个元素，但问题2和问题3的样本空间则被缩减为只包含3和2个元素了。这种在缩减的样本空间中计算的概率就是条件概率。

我们在第一篇文中提到的马晓春那段话中的概率（51%）就是一个条件概率——在前面两盘比赛的结果已经是一比一平的条件下他能获得世界冠军的条件概率。

条件概率是在已有的信息或条件下对事件发生概率的一个调整。从概率的直观意义出发,若事件A已经发生,则要使事件B发生当且仅当试验的结果既属于B又属于A,即属于AB,因此P(B|A)应为P(AB)在P(A)中的“比重”.由此,我们给出条件概率P(B|A)的定义.

P(B|A)=P(AB)/P(A)

其中P(B |A)就是事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。

问题4：对以往数据分析的结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时,其合格率为30%.每天早上机器开动时,机器调整得良好的概率为75%.已知某日早上第一件产品是合格品,问机器调整得良好的概率是多少？

当今天的机器开动时，机器的状态就已经给定，如果有上帝，那么他是知道机器处于什么状态的。但是我们不是上帝，因此我们只能根据已有的数据做出判断。根据以往的数据，当机器开动时我们有75%的把握确定机器处于良好的状态。但是我们现在有了一点额外的信息，即第一件产品是合格品，这个信息对于判断机器正常是有利的。运用条件概率公式可以算得此时机器处于良好状态的概率为90%。

这样我们就有了两个概率,一个是P(B)=0.75,这是在试验前根据以往的数据分析得到的,称为先验概率；另一个是P(B|A)=0.9,这是在通过试验得到信息（即早上第一件产品是合格品）后重新加以修正的概率,称为后验概率.

机器还是那台机器，前后并没有发生变化，但是随着所掌握的信息的不同，我们得到了关于机器状态的不同概率。这个概率并不反映机器的真实状态而是反映了我们的一种信念。正是在这个意义上我们可以说：

概率是人们对客观事件的信念的一种度量.

但是就这个问题来说，概率的客观派也会用频率的观点来反驳：

如果我们每次在第一件产品是合格品时就判断机器处于良好状态，那么平均地说每100天里有90天是被我们判断对了。

从这个例子我们可以看出，为什么概率会有主客观学派之分且互相代替不了谁的部分原因。

Via:天竺居士的新浪博客

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★下面以一个有奖回答问题结束今天的话题：

在一著名的电视游戏节目里,台上有三扇门,记为A,B,C,其中二扇门后面没有奖品,而第三扇门后有大奖.如果你能准确的猜到那扇门后有大奖,则你就赢得此大奖.节目开始后,你选择了某扇门,比如A,在门A被打开之前,节目主持人打开了另外两扇门中的一扇,比如B,发现门后什么也没有。问题：如果此时改变原来的决定而选择C门,会不会增加获奖的概率?

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关键词：条件概率 人大经济论坛网 人大经济论坛 100论坛币 50论坛币 条件概率 先验概率 后验概率

错的吧，2应该是0.5.姐弟、兄妹、姐妹、妹姐。

gulingjun 发表于 2014-7-3 18:40
错的吧，2应该是0.5.姐弟、兄妹、姐妹、妹姐。

妹姐跟姐妹有差？

推广截图见附件 论坛币快到碗里来

第二个问题的答案只是在乎你选取什么样的分类方法。
按照辈分分类，只有姐弟，兄妹和姐妹三种，答案自然是1/3
按照性别分类，只有男，女，1/2
按照排列（穷举）分类，每个个体都是独特的，有姐弟，兄妹，姐妹和妹姐。最后一个称呼不准确，只是用来区分她们之间的不同。这样分类有2/4的可能，结果还是1/2。

但是明显是第2和3分类更符合自然情况

Cruochu 发表于 2014-7-3 21:48
妹姐跟姐妹有差？

应该有。直观的想，应该也是0.5。假设那个女的是姐姐，那么有0.5的可能是姐妹，姐弟。假设是妹妹，那么0.5可能兄妹，0.5个能姐妹。所以，姐妹应该算两次吧。。。我数学不好。。。

gulingjun 发表于 2014-7-3 23:46
应该有。直观的想，应该也是0.5。假设那个女的是姐姐，那么有0.5的可能是姐妹，姐弟。假设是妹妹，那么0. ...

嗯 我只是说妹姐跟姐妹是一样的 但是我觉得2也是0.5

此时你改不改变决定，选择A门和选择C门的概率都是0.5。没有区别吧。