证明分布函数由其特征函数唯一确定

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

证明梗概浏览：

需要懂逆转公式、复数计算以一维的方式处理两维随机变量，就到了复数范围。特征函数
和母函数、三角函数、自然对数、\pi、狄利克雷积分、欧拉公式相互紧密联系。证明过程
还能启示标准正态分布解析式形式的推导。根本来讲定理证明建立在数学分析基础之上。
赞叹古人形式构造的本领，融会贯通这些16到19世纪伴随工业繁荣的历史成果并不是凡有
接触皆已通晓。唯一性定理是诸多统计学结论得出的保证，熟悉其对常用分布的描述以及流畅证明需诸多数学分析知识。
同时希望得到特征函数对随机变量直观上的意义。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
直接证明试行：

狄利克雷积分不会积，它是反常积分不好积。存在一种积分可表示等可能一个离散分布。也就是x只能取两个值，P(x=x_1) =P(x=x_1)=0.5,这整个分布的分布函数可以三角函数的一个积分表示出来。这是故意构造出来的结构。要想积分成功狄利克
雷还有个前提知识就是Laplace变换。发现狄利克雷积分的积分原函数做线性变换之后，形式改变了但是积分结果是一样的。
可以把三角函数写成多项式的和。此路不通，当x很大时不行。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
常用分布的特征函数和母函数推导练习：
\[\mathcal{A.}退化分布I(x-c),以确定的概率1取值c,即P(x=c)=1,密度函数p(x)=\begin{cases}1,x=c\\0,x\ne c\end{cases},母函数:P(s)=Es^c=s^c\]
\[分布函数F(x)=\begin{cases}0,x < c\\1,x \ge c\end{cases},定义得到特征函数:f(t)=Ee^{itc}=e^{itc},离散情形不用积分计算方法：\int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}p(x)\,dx\]
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\[\mathcal{B.}伯努利分布,P(x=a)=p,P(x=a)+P(x=b)=1,其中a<b,密度函数p(x)=\begin{cases}p,&x=1\\1-p,&x=0\end{cases}\]
\[母函数:P(s)=ps^a+(1-p)^b,分布函数:F(x)=\begin{cases}0,&x<a\\p,&a \leq x < b\\1,&x \ge b\end{cases},特征函数:f(t)=pe^{ita}+(1-p)e^{itb}\]
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\[\mathcal{C.}二项分布B(n,p,q),密度函数P(\xi=k)=\dbinom{n}{k}p^kq^{n-k},k=0,1,\cdots,n,\]
\[母函数:P(s)=\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{k}p^kq^{n-k}s^k=(ps+q)^n,分布函数:P(\xi\leq k)=\sum_{i=0}^{k}\dbinom{n}{k}p^kq^{n-k}\]
\[特征函数:f(t)=\sum_{j=1}^{n}P(\xi=k)e^{itk}=\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}p^kq^{n-k}e^{itk}=\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}{pe^{it}}^kq^{n-k}=(pe^{it}+q)^n\]
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\[\mathcal{D.}泊松分布\mathcal{P(\lambda)}.密度函数P(\xi=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,\cdots,n,分布函数:F(\xi \leq k)=\sum_{i=0}^{k}\frac{\lambda^i}{i!}e^{-\lambda}\]
\[因为：\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=1,故期望：E(\xi)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}k=\lambda\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}e^{-\lambda}=\lambda\]
\[\begin{alignat}{1}方差：D(\xi)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}(k-\lambda)^2&=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}k^2-2\lambda \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}k+\lambda^2\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\&=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}k^2-2\lambda \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}k+\lambda^2\\&=\lambda\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}(k+1)-2\lambda^2 \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}+\lambda^2\\&=\lambda E(\xi)+\lambda-\lambda^2=\lambda \end{alignat}\]
\[母函数:P(s)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}s^k=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k s^k}{k!}e^{-\lambda}=e^{\lambda(s-1)}\]
\[\begin{alignat}{1}特征函数:f(t)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}e^{itk}=&e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{itk}=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(\lambda\cdot e^{it})^k}{k!}=e^{e^{it\lambda}-\lambda}=e^{\lambda(e^{it}-1)}\end{alignat}\]
—>变换的每一步都有目的，变换才能成功。
—>全可能概率和为1=e^0=e^(\lambda-\lambda)来自自然对数展开，而自自然对数展开来自由二项式展开推广。
—>只要将特征函数中的e^it换成s就得到母函数。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\[\mathcal{E.}正态分布\mathcal{N}(a,\delta)\,密度函数:p(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\delta}e^{-\frac{(x-a)^2}{2\delta^2}},先证明分布函数积分上线取无穷大极限时积分结果是1:\]
\[\begin{alignat}{1}\lim_{x\to +\infty}P(\xi<x)&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\delta}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(x-a)^2}{2\delta^2}}\,dx=\frac{1}{\sqrt{ \pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}\,dy,其中 y=\frac{x-a}{\sqrt{2}\delta},dx=\sqrt{2}\delta \,dy\\&=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{ \pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\,dx\right)\left(\frac{1}{\sqrt{ \pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}\,dy\right)}\\&=\sqrt{\frac{1}{\pi}}\end{alignat}\]

\[特征函数：f(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\delta}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(x-a)^2}{2\delta^2}}\cdot e^{itx}\,dx=\]
—>正态分布的密度函数已经具有了很好的解析性质，特征函数倒更加繁琐了。
—>全可能概率积分和正态分布的中心、方差无关,验证过程需要用到极坐标变换。我被自己问道，那又怎样！
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\mathcal{F.}
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\mathcal{G.}
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\mathcal{H.}
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\mathcal{I.}
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\mathcal{J.}
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\mathcal{K.}
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\mathcal{L.}
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\mathcal{M.}
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\mathcal{N.}
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\mathcal{O.}
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\mathcal{P.}
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\mathcal{Q.}
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\mathcal{R.}
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\mathcal{S.}
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\mathcal{T.}
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：特征函数 分布函数 Laplace Lambda 标准正态分布 特征函数 母函数 唯一性定理

严士健 与 程士宏的测度论都有一般的证明分布函数由其特征函数唯一确定的证明

fantuanxiaot 发表于 2014-9-21 10:13
严士健 与 程士宏的测度论都有一般的证明分布函数由其特征函数唯一确定的证明

hei