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Springer05 - A Modern Introduction to Probability and Statistics [推广有奖]

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lj1001 发表于 2008-10-7 02:30:00 |只看作者 |坛友微信交流群|倒序 |AI写论文

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A Modern Introduction to Probability and Statistics

Understanding Why and How

Publisher: Springer 2005

Authors: F.M. Dekking, C. Kraaikamp, H.P. Lopuhaa, L.E. Meester

Contents

1 Why probability and statistics? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Biometry: iris recognition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Killer football . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Cars and goats: the Monty Hall dilemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 The space shuttle Challenger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Statistics versus intelligence agencies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 The speed of light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Statistics versus intelligence agencies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 The speed of light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Outcomes, events, and probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 Sample spaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Products of sample spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 An infinite sample space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Conditional probability and independence . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1 Conditional probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 The multiplication rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 The law of total probability and Bayes’ rule . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Discrete random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1 Random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 The probability distribution of a discrete random variable . . . . 43

4.3 The Bernoulli and binomial distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.4 The geometric distribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.5 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 Continuous random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1 Probability density functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2 The uniform distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.3 The exponential distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.4 The Pareto distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.5 The normal distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.6 Quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.7 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.1 What is simulation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2 Generating realizations of random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.3 Comparing two jury rules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.4 The single-server queue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.5 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7 Expectation and variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.1 Expected values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.2 Three examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.3 The change-of-variable formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.4 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.5 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8 Computations with random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.1 Transforming discrete random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.2 Transforming continuous random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.3 Jensen’s inequality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8.4 Extremes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.5 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9 Joint distributions and independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

9.1 Joint distributions of discrete random variables . . . . . . . . . . . . . . 115

9.2 Joint distributions of continuous random variables . . . . . . . . . . . 118

9.3 More than two random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

9.4 Independent random variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9.5 Propagation of independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

9.6 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

9.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

10 Covariance and correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

10.1 Expectation and joint distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

10.2 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

10.3 The correlation coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

10.4 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

10.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

11 More computations with more random variables . . . . . . . . . . . 151

11.1 Sums of discrete random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

11.2 Sums of continuous random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

11.3 Product and quotient of two random variables . . . . . . . . . . . . . . 159

11.4 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

11.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

12 The Poisson process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
12.1 Random points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

12.2 Taking a closer look at random arrivals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

12.3 The one-dimensional Poisson process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

12.4 Higher-dimensional Poisson processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

12.5 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

12.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

13 The law of large numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

13.1 Averages vary less . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

13.2 Chebyshev’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

13.3 The law of large numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

13.4 Consequences of the law of large numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

13.5 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

13.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

14 The central limit theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

14.1 Standardizing averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

14.2 Applications of the central limit theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

14.3 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

14.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

15 Exploratory data analysis: graphical summaries . . . . . . . . . . . . 207

15.1 Example: the Old Faithful data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

15.2 Histograms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

15.3 Kernel density estimates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

15.4 The empirical distribution function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

15.5 Scatterplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

15.6 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

15.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

16 Exploratory data analysis: numerical summaries . . . . . . . . . . . 231

16.1 The center of a dataset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

16.2 The amount of variability of a dataset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

16.3 Empirical quantiles, quartiles, and the IQR . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

16.4 The box-and-whisker plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

16.5 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

16.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

17 Basic statistical models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

17.1 Random samples and statistical models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

17.2 Distribution features and sample statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

17.3 Estimating features of the “true” distribution . . . . . . . . . . . . . . . 253

17.4 The linear regression model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

17.5 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

17.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

18 The bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

18.1 The bootstrap principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

18.2 The empirical bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

18.3 The parametric bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

18.4 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

18.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

19 Unbiased estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

19.1 Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

19.2 Investigating the behavior of an estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

19.3 The sampling distribution and unbiasedness . . . . . . . . . . . . . . . . 288

19.4 Unbiased estimators for expectation and variance . . . . . . . . . . . . 292

19.5 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

19.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

20 Efficiency and mean squared error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

20.1 Estimating the number of German tanks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

20.2 Variance of an estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

20.3 Mean squared error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

20.4 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

20.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

21 Maximum likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

21.1 Why a general principle? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

21.2 The maximum likelihood principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

21.3 Likelihood and loglikelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

21.4 Properties of maximum likelihood estimators . . . . . . . . . . . . . . . . 321

21.5 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

21.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

22 The method of least squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

22.1 Least squares estimation and regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

22.2 Residuals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

22.3 Relation with maximum likelihood. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

22.4 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

22.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

23 Confidence intervals for the mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

23.1 General principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

23.2 Normal data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

23.3 Bootstrap confidence intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

23.4 Large samples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

23.5 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

23.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

24 More on confidence intervals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

24.1 The probability of success . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

24.2 Is there a general method?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

24.3 One-sided confidence intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

24.4 Determining the sample size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

24.5 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

24.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

25 Testing hypotheses: essentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

25.1 Null hypothesis and test statistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

25.2 Tail probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

25.3 Type I and type II errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

25.4 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

25.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

26 Testing hypotheses: elaboration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

26.1 Significance level . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

26.2 Critical region and critical values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

26.3 Type II error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

26.4 Relation with confidence intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

26.5 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

26.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

27 The t-test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

27.1 Monitoring the production of ball bearings . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

27.2 The one-sample t-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

27.3 The t-test in a regression setting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

27.4 Solutions to the quick exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409