经济学中的分析方法学习总结，欢迎高手指点缺失。

P48在严格拟凹中，加权平均的自变量的函数值严格大于其中最小的端点值，则f被称作显式拟凹的。
严格凹性一定推出凹性，凹性可以推出显式拟凹。这里有点不好理解。
同时严格凹性可以推出严格拟凹性，而严格拟凹性可以推出显式拟凹性，再推出拟凹性。
这里的推出，必须要对凹性的几个概念，非常熟悉，才容易理解。
有的函数是严格拟凹和凹的，但不是严格凹的。

P49.
在定义1.16中，我们定义了拟凹性的三种概念，这三个概念的区别可以用一个水平集（无差异曲线）很好的图示，该水平集为：
L*=={x:x属于X，f(x)=a},a属于R。
严格拟凹性表示无差异曲线严格地朝原点“向里弯”。
显式（但不是严格的）拟凹性，表示每个无差异曲线可包含一个平的或线性分段。
拟凹性（既不是显式的，也不是严格拟凹）表示每个无差异曲线可以包含一个厚的区域。
三种拟凹性的经济含义不难理解。可以用通常的消费者选择理论来说明。
P49:该理论中，消费者选择一个消费束，x属于n维的实数集，使得
（UM）  Max u(x),满足px<=Y，x>=0。
如果把预算线加入无差异曲线的途中，可以知道后两种曲线有多种答案。
如果是严格拟凹的无差异曲线，则可以表示解是唯一的。

P49
定义1.17：令f是定义在n维的实数集的开集X上的一个实值函数，假设它在X中二阶可微，那么如下矩阵B称作f的家边海赛矩阵。说句实在话，这个矩阵好像很烦人的。
P50
定理1.12：令f(x)是n维实数上的一个二次连续可微实值函数，那么一下结论成立：
（1）如果f(x)在实数中是拟凹的，那么对所有的x>=0，有，
B1<=0,B2<=0,-------,(-1)n次方曾Bn<=0.B是顺序主子式。
（2）相反地，如果所有x属于n维的试试，B1<0,B2>0，------。
那么f(x)在实数中是严格拟凹的。
也就是可逆定理吧。

P52页习题，怎么做呢？前面写的东西基本上都忘掉了。
P54复线性空间。P56一致连续的含义。闭包，导出集。
第二篇：非线性规划与微观经济学。
线性规划、非线性规划、凹规划、拟凹规划之间是什么关系。
P61:最大化函数=目标函数。令集合S为约束集合或者可行性解集。
求文中的点称为解或最优点。
自变量是决策变量或则选择变量。
P62,解的存在性。
什么情况下，我们能够保证一个特定的最大化问题有解？

什么情况下，我们能够保证一个特定的最大化问题有解？
weierstrass定理给出一个好的答案。
如果f连续，并且S是紧集，那么在S中存在一个解x*，对S中的所有的x，有f(x*)>=f(x).其中f:X-R,X包含在R中，且S包含在X中。
取等号，被认为紧的。不等号，是松的。
上述定理只是充分条件，不是必要条件。有时候这两个条件挺烦人的。
非线性就是取不等号的那种???
P63:约束函数、约束集、可行点、非线性规划。

P63:NLP问题。
P64.在“计划问题”中，最大化函数p*x和约束集合都是线性的，一般地，如果最大化函数f(x)和约束函数gj（x）都是线性的，则这样有约束的最大化问题被称为线性规划。它时常简写为LP。
计划问题：计划模型，设aij是生产一单位的第j中商品所需要的第i中原料的数量（i=123---m;j=123---n)，设ri是被考虑的国家可用的第i中原料数量。设p是由计划机构规定的一组商品的估价向量。然后，我们可以考虑在
所有aijxj之和小于ri，在x正则条件下，选择x使得px最大的问题，这里我们假定aij,ri,pi是常量。设ai是第j元素为aij的一个n维向量。那么约束可写成gi(x)==ri-ai*x>=0.

为什么说计划问题是线性的呢？还是有点不理解。

P64:空间划分：目的是为了说明约束的相容与不相容吗？

P65:
通常，我们称，如果g(x*)>0，则约束在x*处是有效的。
如果对于所有的i，xi*>0,则非负约束x>=0被称为在x*处是无效的。
这部分的理解主要是看懂66页的三个图就差不多啦。


P67,现在回到上述额一般的非线性规划问题（NLP），集合
S=={x属于X：gj(x)>=0,j=1,2,3,----,m,x>=0}
表示约束集合。我们自然会问：
问题1：集合S是非空的吗？如果是，在解不存在。
问题2：假设S是非空的，解x*存在吗？
问题3：如果x存在，其特征是什么？
问题4：如果x*存在，它是唯一的吗？
问题5：找到所有解的算法是什么？
问题2的一个简单答案由weierstrass定理给出，也就是说，如果集合S是紧的，并且函数f连续的，那么对（NLP）存在一个解x*.
下面研究问题3：特别地，我们将讨论x*的一阶特征和鞍点特征。

P67:
在线性规划额情形中，目标函数f 和约束函数gj都是线性的。在此情形中，由图2.4中，不难看出，对于实数集，解或在一条约束线上，或另一条约束线上（或坐标轴之一）相交的顶点上，或者在两个顶点的任何组合上。后一种可能性产生于无差异曲线的斜率与链接两个顶点线段斜率相等的情形。
这段话，有点不好理解啊。
由此，可以通过计算f(x)在这些顶点的值并且比较得到的值来找到线性规划问题的解。既然只有有限数量的约束，则只有（就有）有限数量的顶点。这样，原则上可以在有限的步骤中得到一个解。
这种方法是单纯形方法的要点。
单纯形方法是以一种有效的方式试验各个顶点来找到解。
为什么该方法这么有效，直到最近，才被人知道）

P68；
一阶条件下的最优解特征。P69，暂时跳过。
P70:定理2.1：假定约束集合是凸的。
（1）如果f(x)是显示拟凹，则每个局部最大，也就是全局最大。既然每个凹函数都是显示拟凹，则f的显示拟凹性可以被f 的凹性替代。
（2）如果f（x）是严格拟凹的，则每个局部最大推出唯一的全局最大。λ，Φ
（FOC）对于（LM）是必要的，这样的通常论点是错误的，这一点在例2.3可以看到，它曾为Slater反例。
P72:定理2.2：f gj , j=123---m,都是定义在实数上的凹函数。那么
（1）        FOC推出M
（2）        M推出FOC，如果下列条件成立，即
存在的x’>=0，使得gj(x’)>0。（5）
条件（5）被称为Slater条件。
上述三条件，成立时，FOC对M是充分必要的。
而事实上，f 的凹性条件，完全可以去掉。可以证明，对约束方程的限制（约束规格条件），通常可保证FOC是LM的必要条件。
一下定理（Arrow,Hruiwicz,Uzawa1961）,提供了这样的命题。
定理2.3：

P74:
定理2.4：令f 和gj 是拟凹函数。那么如果下面条件任何一个满足，则FOC对于M是充分的。
1，f对至少一个xi的偏导小于0.
2，f 对某个相关变量的偏导数大于0，这个相关变量xi，如果存在一个x’属于S，x'>0。其中
S=={x属于Rn:x>=0,gj(x)>=0,j=123---m}.这个S是什么意思啊？
3，f'(x*)不等于0，并且在x*的一个领域内f(x)是二阶连续可微。
4，函数f(x)是凹函数。