经济学中的分析方法学习总结，欢迎高手指点缺失。

P108:命题3.1：令S=【xij】是成本最小化问题（CM）的替代矩阵（注：就是要素需求函数对另一种要素价格的导数），
（1）C（w,y）是w的一阶齐次条件的和凹的函数，并且，dC/dwi=xi>0.
（2）S是对称的和半负定的，并且对所有的i,xii<=0。同时有S(w)w=0和w'S(w)=0，（w是列向量）
（3）另外，如果我们假定对所有与w不成比例的z（不是0）有z'S(w)z<0，那么S的秩是（n-1），且对所有的i=1,2,3,--,n.xii<0.
该命题指明了成本函数的所有基本性质。命题（3）指明了替代矩阵S的所有基本性质。命题（3）中的条件，即对所有与w不成比例的z,有z'Sz<0，被称为萨缪尔森正则条件。
命题（2）中的两个式子是什么意思呢？
希克斯替代品、互补品。导数的值是替正，补负。

P109:当成本函数是一次其次，且有内部解的时候，C=wx=lanmuda*y.
这里显示x=xi，w=wi，好像有矛盾。
这样，兰姆达=C/y.C=c(w)y。
命题3.2：（shepherd-samuelson定理）
如果生产函数显示规模收益不变，那么对于成本最小化公司，我们有：
C/y=dC/dy=兰姆达，且C=c(w)y。即平均成本等于边际成本。且与产出无关。

P109:支出最小化问题：其解，叫做补偿需求函数（或Hicksian 需求函数），解乘以消费的价格，就是最小支出函数。
换言之，支出最小化，与成本最小化。

P110：命题3.3：
对于前面的消费者支出最小化问题，有：
（1）E（p,n）是对p的一阶其次的和凹的函数，且对所有的i,dE/dP==xi*。
（2）S*是对称的且半负定的，并且所有的i,xii*<=0.S*(p)p=0，且p'S*（p）=0.p'是列向量p的转置。
（3）对于所有与P不成比例的z有，z'S*（p）z<0，那么S*的秩是n-1,且对所有的i,xii<0。
（2）与（3）的比较，似乎显示p的重要性，或p一种特殊性质，这个性质是什么呢？

效用最大化的解x[p,E(P,U)]=X*(P,U)，这里的x是第i种产品的需求函数。
方程的两边对pj求导数。即
dxi/dpj=xij*-xj(dxi/dY).
dE/dpj=xj*.
xij*是净替代项，其性质已在上述命题3.3中阐述。
xj(dxi/dY)表示收入效应。

P111:定义：如果存在连续的正的单调递增变化，Φ（f）使g(x)=Φ[f(x)]是一次其次的，则函数f(x)称为是位似的。
假定f 表现良好，即满足RC（正则条件），那么下面的定理总结了位似函数的重要特征。
命题3.5：
（1）f(x)是位似的，当且仅当它是“可分”的，即
对所有的w>0和y>0，C（w,y）=h(w)Φ(y)的情况下，这是h和Φ都与位似定义中用到函数一样，g(x)=Φ[f(x)].
在此情形中，我们有λ（w,y）=h(w)Φ'(y).
(2) f(x)是位似的，当且仅当
对所有的w>0，y>0，xi(w,y)=hi(w)Φ(y).
其中，hi=dh(w)/dwi.i=1,2,3,---,n.
(3) f(x)是位似的，当且仅当对所有的投入价格向量w>0，每一扩展线是从原点开始的射线。

（1）和shepherd引理，dC/dwi=xi,立刻有命题（2）。
（3）的证明似乎很难。
这里是重灾区。

P113-114，要素替代的价格弹性：第j中要素价格变化百分之一，会导致第i中要素的需求量变化百分之几？
这个定义的特点是eij<>eji，一般地。为了解决这个问题，我们定义δij=eij/θj，这里θj=wjxj/wx，表示第j种要素所占成本份额。
δij被称为要素替代的（Allen-偏）弹性(ES)，不难证明：δij=δji即是对称的。
这里在微观十八讲上，似乎有个例外。
这里CES函数中指数项与δij紧密相连。也说明了CES函数的特征与来源。
可以证明：
CijC/CiCj=δij,C=C(w,y)，Ci=dC/dw;Cij=d2C/dwidwj.

P115:超对数函数：
logC(w,y)=a0+ailogwi+1/2aijlogwilogwj+bilogwilogy+[c1logy+1/2c2logy*logy]-------------（44）
ai之和=1，aij,对j，之和=0.aij=aji,bi之和=0.--------------------------------------------------------（45）
45保证了C对w是一次其次的且海赛矩阵是对称的。
超对数函数可以被看做任意函数的二次近似。

P117:关于规模收益的概念：
θ=mc/ac，表示成本的产出弹性，作为规模收益的度量。
定义3.2：如果θ<1，规模收益（IRS）奏效。
规模收益递减（DRS），θ>1；规模收益不变（CRS），θ=1.

定义3.3：β（y）=C（w,y）/y，这里假定w为固定向量。β（y）表示平均成本。
命题3.6：当且仅当IRS（β）奏效，IRS(θ)奏效。证明很简单。
关于规模经济最广泛使用的概念是函数：a(k,x0)=f(kx0)/k(f(x0)，规模收益的概念可以用参数a(k)表示。
定义3.4：规模系数或规模因子。
ε（kx）=k/f(kx) df(kx)/dk
这里就是概念多，难度不大。

引理3.1：对所有的k>0，da(k,x)/dk>0，当且仅当对所有的k,e(k,x)>0。
这里很多衡量规模经济的办法，似乎很没有必要。

引理3.2：da/dk等价于依据a的IRS.即
1）k>1，a>0,当且仅当da/dk>0.
2) k<1,a<1,当且仅当da/dk>0.
说的好像是方向相同。

IRS(a)和IRS（ε）是依据所有要素投入的一个比例增加而定义的，也就是依据等产量图上从原点出发的一条射线，因此该概念忽视了要素价格的组态。
另外，IRS（θ）和IRS(β)是依据成本函数定义，它借助成本最小化程序得到。也就是说，二者是扩展路径（ER）定义的。
很显然，IRS(a)和IRS（ε）概念一般与IRS(a)和IRS（ε）的概念不同。
这些概念之间的准确关系有Ide和Takayama得到。
很可能一公司沿着EP扩张而享受到规模经济，但是如果沿着发自原点的射线扩展，它会受到DRS或规模不经济。
既然沿着EP而不是机械地沿着发自原点的射线来扩展其经营规模，IRS(a)和IRS（e）的概念虽然在文章中被广泛应用，却不必与公司的理性行为相一致。

是否是说EP未必是射线，但可以是，而一般不是。

P119:
有命题3.5知，每个EP都是发自原点的射线，当且仅当生产函数是位似的。所以有下面的结论：
命题3.9：当且仅当f(x)是位似的，依据EP的IRS是等价于依据发自原点的IRS。
命题3.10：所有局部度量是等价的，即a1=ε1=θ1=β1.（注释：是否应注明位似函数的条件）

P120
Le Chatelier-Samuelson原则：法国化学家的研究结论：如果一个系统处于稳定平衡状态，条件之一发生改变，那么平衡将以趋于消除这一条件变化的方式转变。
萨缪尔森从数学上系统阐述了这一点，得出笔记哦啊静态问题中的一般结论，并且将之引入经济学。
具体说，萨缪尔森（1947）说明：
（a）要素需求和商品供给的长期弹性比在短期中的要大。
（b）有配给的顾客对一个产品的（补偿）需求弹性比没有配给的要小。
也就是说恰当制约的约束附加于最优化问题，恰当制约的意思是这个约束的附加并不改变最初的解。如此达到的LeS原则表明带有这样一个附加约束的参数的一个变动对于决策变量的最优值的（补偿性）影响比不带约束的要小。即约束附加后，最优值变小？
长期供给价格大于短期的供给价格。长期的MC比短息的MC要平一些。
P121:

LeS原则的阐述，是使用了包络定理，感觉其书中解释很不完整。

阐述的起点：x和z表示可变的和半固定的要素向量。（什么是半固定呢）。
x属于Rn，z属于Rm。f(x,z)为生产函数，满足正则条件，r表示拟固定的要素使用者成本向量。
则短期成本最小化问题表述为：
min wx，f(x,z)>=y,x>=0。
设x0为唯一解，令兰姆达0>0表示于此相关的拉格朗日乘数，定义C0(w,yz)=wx0(w,y,z)，我们假定它在w和y处二阶连续可微。那么有包络定理。可以得到：
dxi0/dwj=dxj0/dwi,dxi0/dy=d兰姆达0/dwi.
第一个式子是对称性，好像是利用了海赛矩阵的性质，而不是包络定理。
第二个式子是对自身的。

下面假设，m=1，或者z是标量。将长期问题，看做，min wx+rz。约束为f(x,z)>=y,x>=0,y>=0.
比较短期问题与长期问题的表述，有较大的差别。
令x1（w,r,y）和z1(w,r,y)表示唯一的解，兰姆达1，是拉格朗日乘数。
定义C1=wx1+rz1。假定在C'处二阶连续可微，对三个变量。那么，由包络定理，我们得到：
(52a)就是交叉偏导等式。(52b)就是自价格效应小于等于0.
(53a)说是假定对得到LeS原则具有关键性的等式成立：
即 xi1（w,y,z）=xi0[w,r,z1(w,r,y)]------------------------------(53a)
lanmuda1(w,y,z)=lanmuda0[w,y,z1(w,r,y)]--------------------(53b)
53a表示当长期中的z的最优值，z1带入短期需求函数xi0时，对短期和长期可变要素的需求相同。对53关于wi,对53b关于y微分，得到：
P122

P145:
第四章，微观经济理论中的其他问题。
4.1：劣等投入
人们经常断言：
（1）        要素就爱个的上涨总使边际成本增加。
（2）        公司理论和消费理论之间有完全相似之处，替代和收入或规模效应均可向相反方向变动。因此Giffen悖论也应用到公司理论中。
后人证明这两个命题都是错误的。

如果想使得一个竞争公司通常的成本最小化，即选择一投入向量x∈Rn,使得
Minimize wx ,约束条件是f(x)>=y,x>=0.
假定w>0，对公司是给定的。令x(w,y)是该问题的解，λ>0，是拉格朗日乘数，它是w\y的函数。
则利润最大化的条件是：
p=λ(w,y)=dC/dy.(即边际成本)