经济学中的分析方法学习总结，欢迎高手指点缺失。

P177
a1F1'+a2dF2/dL1=a2dF2/dL2-------------------------------------------(82)即上述的一阶条件。
L1+L2=L-----------------------------------------------------------------------(83)
这两个方程决定了L1 L2的最优值（帕累托最优），改变a1/a2的值，我们得到不同的帕累托最优点。
（82）表示生产有效性条件，被称为帕累托最有条件。

假定来那个公司处于更大的经济系统，在此系统中，两种产出的最优价格（p1 p2)和要素价格（w）的决定或多或少地独立于两个公司的生产水平，并且这两个公司的“竞争”，在此意义上，他们将这些讲个做外外省的给定的常数。
在这种情形下，共同利润最大化得出了帕累托最优状态，其中a1/a2并定为为等于p1/p2。
为了领会这一点，考虑下面的问题，在L1>=0,L2>=0的约束下，选择L1和L2使共同利润最大化。

P178:
单独利润最大化的条件是：p1F'=w----------------------(85)
p2dF2/dL2=w-------------------------------------------------(86)
两个式子联合推出
p1F'=p2dF2/dL2---------------------------------------------（87）
共同利润最大化的条件是
a1F1'+a2dF2/dL1=a2dF2/dL2----------------------------（82）
二者显然存在明显不同。
外在效应的表达式是：dF2/dL1><0。即不等于0.
如果dF2/dL1=0，那么（87）和（82）式是等价的，这就是亚当斯密的“自由竞争”实现“社会最优”的著名命题的一个方面。
A.C.庇古提出通过税收与补贴方案消除存在外在效应时的市场实效。
假如使得公司2遭受“破坏”的公司1受到100t%收入税的约束。那么公司在L1>=0且给定税率t的条件下选择L1，使得他的税后利润
（1-t）p1F1(L1)-wL1最大。
假如最优解是内解，则一阶条件是
（1-t）p1F1'=w------------------------------------------(88)
假设公司不受税收支配（也没有补贴），那么它的利润最大化条件由（86）给出。因此（86）和（88）联合求解得：（1-t）p1F1'=p2dF2/dL2=w--------------------------------------（89）
求出税率即-------------------------------------------------------------------------（90）
那么由a1/a2=p1/p2,条件（89）保证（82）。
当公司1征收适当的税，由a1/a2=p1/p2，帕累托最优可通过私人利润最大化达到。
通过给公司2提供补贴，可以得到同样的解。

p180:4.7.3:科斯定理
科斯定理的一个显著特征是帕累托最优可在没有政府干涉的情况下通过两个公司的私下谈判达到。
科斯定理断言：不考虑谁拥有环境的所有权，帕累托最优可以通过私下谈判达到。
结论的证明思路：
情形A：（公司1有责任）当公司1停止经营时，公司2的最大利润由π*2（0）给定。公司1的经营水平由L1>0给出时，这个利润减至π2*（L1），因此通过外在效应公司2遭受来自公司1的损失等于π2*（0）-π2*（L1）。公司1有责任补偿公司2的全部损失，在此形式中，公司1选择L1使其补偿后利润最大化。

上述情形对应的利润公式：π2*（L1）=p2F2[L1,L2(L1)]-WL2(L1)----------------------(95)

补偿后公司1选择的利润为：
p1F1-wL1-[π2*（0）-π2*（L1）]----------------------------------------------------------------(96)

最优化条件由
p1F1'-w+dπ2*/dL1=0------------------------------------------------------------------------------（97）
公司2选择L2使包括从公司1得到补偿的利润最大。
p2F2(L1,L2)-WL2+[π2*（0）-π2*（L1)]-------------------------------------------------------(98)解出最优条件即（99）
由两个最优条件可以得出（100）式。
对（95）式两边微分。结合（99）式得到（101）式。
根据（100）式和（101）式得到帕累托最优条件（82）式。因此可以得出结论：当公司1补偿公司2时，帕累托最优可以达到。

第5章 不确定性经济学
5.1 期望效用假设
通常在讨论选择理论时，对选择行为及其后果没有做区分。但是在不确定性情况下，行为及其后果取决于外部环境，这里称自然状态、环境状态、或者状态。可从中做出选择的可选情况的集合称为预期。
给定s个状态，每个预期由后果（x1,x2,x3,---xs)与对应的概率π1、π2、π3，---，πs定义。这些概率可以被视为个人的主管概率。我们用y=(π1、π2、π3，---，πs;x1,x2,x3,---xs)来表示一个预期。
如果只有两种结果，则可简化为y=(π；x1,x2).

P200
假设一次赌博，赢100美元的概率为0.3.
符合预期，就是多个概率，多个结果的组合。

自然状态下概率和人主观地估计出来。

风险子这里和不确定性意义相同。因为强调概率的主观方面。
定义Y为面临某些选择问题的一个专人的所有预期的集合。假死那个在Y的元素上可以定义一个二元的关系>=。表示不低于。
这是一个偏好排序。假定偏好排序有以下属性：
（a）自反性，自己不低于自己。（b）传递性。
假定>=是完备的。即所有的y,y'属于Y。要么y>=y'，要么相反。
公理5.1：个人有一个定义在Y上的偏好排序，这是一种完备的排序。
公理5.2：（连续性）对于所有的y1,y2,y3∈Y，如果y1>=y2>=y3∈Y，则存在a,0<=a<=1,使得
ay1+(1-a）y3=y2。
有点象中值定理。

下列公理与复合彩票的概率有关，令L1=（π1，π2，-----，πs;x1,x2,---xs);L2=(π1'，π2',π3'，-----，πs';x1,x2,-----,xs).
或简写为L1=(π，x)；L2=（π'，x'）。现在考虑从L1、L2所得到的预期y,
y==(a;L1,L2)=[a;(π；x),(π‘；x)]
这是一个复合彩票，对于它我们首先在彩票L1、L2之间进行选择。

P201:公理5.3：对于任何x和0<=a,π，π'<=1，考虑符合彩票
y=[a;(π；x),(π';x)]
那么我们有
y--(p,x),这里p==aπ+（1-a）π‘。
为了便于说明，这里我们假定x=(x1,x2),通过复合彩票得到x1的概率为Pr(1)=Pr(有票L1)**Pr(x1/L1)+Pr(有票L2）*Pr(x1/L2)=aπ+（1-a)π’(==p)
类似地得到x2的概率，Pr(x2)=Pr(有票L2)**Pr(x2/L2)+Pr(有票L1）*Pr(x2/L1)=a(1-π）+（1-a)（1-π’）(==p)。

P202:讲到公理5.3，排除了从达到结果的过程中获得特定效用的可能性，而许多人却喜欢这种过程。Alchain用赌博机的例子来反对公理5.3.因为公理5.3意味着在“赌博中没有乐趣”。虽然此公理看起来未免不现实而且枯燥，但是它却使我们避开了这样一个问题：如何衡量赌博过程中的“乐趣”的多少，一般而言，它是随机的，因人而异的。（这些话本人不理解，希望高手指点）
公理5.4：（独立性）
（1）对所有的y1,y2∈Y，存在一个a，0<a<1，使得
ay1+(1-a）y>>ay2+(1-a)y，对所有的y∈Y。---------------------------------------------------（5）
（2）对所有的y1，y2∈Y，y1=y2,存在对所有的y∈Y。-------------------------------------（6）

单调性：可以用前面的公理得到。偏好取决于π的大小。
定理5.1：（von Neumann-Morgenstern)在上述公理集下，存在一个定义于Y上的实函数U,使得
（1）当且仅当u(y1)>u(y2)时，y1>y2.
（2）对于任意的x1,x2,----,xs∈X，i=1,2,3---,s,且πi之和为1.有
u(π1，π2，---，πs;x1,x2,---,xs)=π1u(x1)+π2u(x2)+---+πsu(xs)---------------------------(7)
证明：为便于说明，假定s=2或x=(x1,x2).选择b,w∈Y,使得对于所有的y∈Y，b>=y，并且对所有的y'∈Y，y'>=w.如果b～w,则证明很容易。
故假定b>w.
P203
我们将定理5.1得到的效用函数称为von Neuman-Morgenstern效用函数.或简称为VNM函数,或更加地称为效用函数,定理5.1的一个推论为一个理性的人在不同的预期中进行选择,只是为了使下述预期效用取最大值.
∑πiui(xi)即期望效用定理．
定理５．１的两个性质（１）和（２）分别被称为保序性和线性性．两个性质组合起来被称为期望效用性质．
定理５．１的逆命题也成立．也就是说，容易证明，如果存在一个效用函数z满足定理５．１的两个性质，那么它容易满足５．１－５．４公理．为了说明这一点，我们可以证明由定理５．１的两个性质可推出公理５．３．
公理５．１就是个人偏好的完备排序．
公理５．２就是好预期和坏预期的组合等于一个中间预期．中直定理．
公里５．３就是符合彩票分解为简单彩票．

Ｐ２０４：
容易证明，如果u(y)是一个NM函数，则v(y)=au(y)+b也是一个ＮＭ函数．a b为任意实数，a大于０．
线性性和保序性可以相辅相成．
保序性,就是说一种产品的集合大于另一个同样产品的集合,则对数量大的那个集合的偏好就更大.反之也成立.
线性性指总的效用可以表示成期望效用.就是一个线性表达式.

P205NM函数对于线性(仿射)变换是唯一的.
这一个唯一说明NM函数是基数效用的.

207:快速致富效应，当概率很小时，购票者也许会选择奖金额大的彩票。我们称其为快速致富效应。
在这种情况下，期望效用假说不成立。证明：
y1>y2,y4>y3用期望效用的方式表示为：
u(y1)=0.9u(3000)>(0.45)u(6000)=u(y2)
u(y4)=0.01u(6000)>0.02u(3000)=u(y3)，其中u(0)=0.
两个式子可以推出矛盾。

P208:
5.2 期望效用和风险行为
5.2.1风险行为
令y=(π1，π2，-----，πs；x1,x2,----,xs)为一彩票函数，其中x1,x2,----,xs，为现金回报。y的期望值可计算如下：
E（y）=π1x1，π2x2，------,πsxs
如果一个人的彩票的期望值的效用与其期望效用相等，即有
u(π1x1，π2x2，------,πsxs)=π1u(x1)，π2u(x2)，------,πsu(xs)----------------(9)
则称该人是风险中性。
这里假定u为严格单调递增。
如果一个投资者是风险中性的，则他有一个线性的效用函数U=a1x1+a2x2+------+asxs，ai>0。
如果一个人的NM效用函数是严格的凹函数，即对x1,x2,----,xs∈X，以及0<πi<1，i=1,2,---,s。恒有：

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楼主 继续啊!!

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感谢楼主，很好的东西

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