经济学中的分析方法学习总结，欢迎高手指点缺失。

注：上面的S是凸的。
在许多经济应用中，变量通常都是相关变量，因此条件（2）很有用。
正如在生产理论中，f(x)是生产函数，条件（2）表明在x*点至少一个要素的边际产量是正的。
2.4定理，被称为Arrow-Enthoven定理。这个定理可以扩展。

P75:P76：同古典优化理论相比，非线性规划理论有一些重要的特征：
1，FOC的必要性和充分性，不必讨论加边的海赛矩阵。
2，FOC是作为全局最优解的一个充分必要特征而得到的，而在古典理论中，它只是局部最优解的特性。
3，不必假设约束总是有效的。
4，允许角解。
上述特征，有点废话。

P79:
最优解的鞍点特征。
定义：令Q（x,y）是定义在X*Y上的实值函数，其中，x属于X，y属于Y。如果对于所有的x属于X，y属于Y，
G(x,y*)<=G(x*,y*)<=G(x*,y)，那么点(x*,y*)被称为G(x,y)的鞍点。
鞍点在一些书上，讲可以用洛尔定理表示。好像有很多不同的表达方法，难度也不同。
P81:
定理2.5：假设条件（sp）成立，那么：
（1）条件（M）成立；
（2）兰姆达星乘以g(x*)=0.
条件（sp）称为鞍点条件。
P80:
鞍点总是能被类似马鞍的图形表示是不正确的。
鞍点提供了最优解的一个很好的特征。令f gj是实值函数，在此不必假设这些函数的可微性。考虑问题:
在gj(x)>=0和x>=0的约束下，选择实数x使得f(x)最大，这个问题的约束集合再次表示为S，即
S=={x属于（n纬）实数：gj>=0,x>=0}
定义拉格朗日函数为
L（x,lanmuda)==f(x) +lanmuda*g(x)lanmuda>=0
区别下列两个条件
（M）在n纬的实数集中，存在点x*，使得对所有S中的x，有f(x*)>=f(x)
(sp)

P80：
（SP）Ωn*Ωm中存在（x*，λ*），使得对所有属于Ωn的x，和属于Ωm的λ，有
Φ（x,λ*）<=Φ（x*,λ*）<=Φ（x*,λ）
其中Φ（x*,λ）≡f(x）+λg(x）
这就是鞍点条件。
定理2.6：假设函数f,gj都是凹的，Slater条件成立（S）成立，即
（S）存在一点x'>=0，使gj(x')>0，那么条件（M）推出SP.
结合定理2.6和2.5，可以得到定理2.7.
定理2.7：假定f  gj都是凹的，Slater条件成立，那么当且仅当SP成立，条件M成立。
以上三个定理即2.5，2.6，2.7都不需要函数的可微性。
现在假设上述函数连续可微，除了非负约束，对于无约束最大化条件问题，条件（SP）为Φ（x,λ*）提供了关于x的全局最大条件。
容易得到定理2.8：
（1）条件SP推出FOC
（2）如果f gj，都是凹的，那么FOC推出SP。
注意因为条件SP总是可以推出FOC，而反之不必成立，需要附加条件。
所以FOC通常被当做拟鞍点条件(QSP)也称为Kuhn-Tucker-Lagrange条件。

P81：
非线性规划总结：
我们的问题是在x∈S的约束下，选择x∈Rn，使f(x)最大。这里S={x∈Rn：gj(x)>=0,j=123---m,x>=0}
S集合的含义，可以换成什么样的更好的更简单的说法呢？
各种条件列出如下:
条件（M）：
条件（LM）：
条件（SP）：
条件（FOC）：
条件（A-H-U）：
条件（A-E）：
条件（CONC）
条件（CONV）

P83：定理2.9：一般地我们用图2.11所所说明的的各种条件下的推导关系来刻画x*，即非线性规划问题的一个解的特征，此外，如果条件（N1）或条件(N2)满足，则(M)、(LM)、(FOC)、(sp)都是等价的。
N1：函数f gj都是凹的并且满足条件（S）；
N2：函数f 是凹的，gj都是线性的。

线性规划
令p是Rn中的一个给定向量，令r是Rm一个给定的向量，令A是m*n矩阵，那么一个典型的线性规划问题可以表示为
（MLp）Maximize px  约束条件是Ax<=r，x>=0。
p为赋值向量。
例子：可以把问题(MLP)中的符号解释如下：p=价格向量，x=产出量，r=原料向量，aij=生产单位j商品所需要的第i种原料的数量。aij是矩阵A的i行j列的元素。
这个最大化问题定义为：

P83:Φ（x,w)≡px+w(r-Ax)
意思是原料可以不用完。
这里的w∈Rm，表示拉格朗日乘数。那么由定理2.9，当且仅当（x*,w*)>=0使（x*,w*)是Φ（x,w)的鞍点时，最大化问题（MLP）的解存在x*。
定义K(w,x)==-

定义Ψ（w,x）=-Φ（x,w）=-px-w(r-Ax)=-wr+x(A'w-p).
A'是A的转置矩阵。
矩阵和转置矩阵的关系是？
定理2.10：
（1）当且仅当最小化问题（mlp）的解w*存在时，存在最大化问题（MLP）的解x*。
（2）当且仅当存在Ψ（w,x）的鞍点（w*,x*）>=0，或等价地存在Φ（x,w）的鞍点（w*,x*）>=0时，存在（MLP）的解x*和(mlp)的解w*存在。
这里的w是拉格朗日乘数。这里的鞍点似乎与拉格朗日函数，关系密切啊
因此，可以推出w*(r-AX*)=x*(A' w*-p)=0.
px*=w*r
这里讲的是对偶问题。
彼此对偶的两个问题（MLP）和（mlp），应注意以下问题：
1，MLP的赋值矢量p出现在mlp的约束中，mlp的赋值向量r出现在MLP的约束中。
2，约束矩阵是彼此的转置。
3，除了非负条件以外，约束中的不等式转向。
注意：定理2.10的命题（1）和13、14式是线性规划的结论的核心。被称为线性规划的对偶定理。命题（2）被称为golman-tucker定理。

P85:
定理2.11（欧拉，拉格朗日）：令B是在x*点处赋值的g的雅克比矩阵，
B==[dgj(x*)/dxi]==（gx*）这里是偏导数，但是那个符号，不容易找到。
这里m<n，假定下面的秩条件（R）成立：
（R） B的秩=m.
那么（LM*）推出（FOC*）.
既然B是mn矩阵，m<n，那么条件（R）表明矩阵B一定满秩。
该定理在经济学中广泛应用，并被认为非常有用。
尽管这样，在引用时候，存在一个通常的错误。也就是说，即在没有附加条件（R）时，时常断言条件（LM*）自动推出(FOC*).

对于非线性规划：1，兰姆达在一般条件下，被约束为>=0，而在古典最优化中，可为负值。
2，（2）式中，目标函数在最优解的一阶导数要求为0，而（15）式要求目标函数在最优解的一阶导数必须为0.
3，（2）式子中的一些约束在最优点处可以被允许无效，g(x*)=0.实际上，在古典最优化中要求对所有额x,g(x)=0.
4,虽然在非线性规划中有可能对某个j，gj（x*）>0,但是如果兰姆达大于0，就必须要求gj(x*)=0。这样如果x*>0,兰姆达大于0，则非线性规划的（foc）看上去就等同于古典最优化。
现在讨论二阶条件，
二阶必要条件(SONC):对于所有使得Bζ=0的ζ，有ζ‘Aζ<=0
二阶充分条件(SOSC):对于所有的不为零的ζ，且Bζ=0，有ζ‘Aζ<0。
两个条件，好像不容易理解。
ζ‘和ζ，牵制是行矢量。

P87:
下面准备陈述在古典理论条件下最优解的二阶特征。
定理2.12：（1）条件(LM)和(R)推出（sonc）。
（2）FOC*和SONC推出LM*，其中最优解唯一。
条件R：是B的秩=m
sosc对LM不是必要的。例子如2.4'-p87
也就是说二阶充分条件对于局部最大化的解是不必要的。
P88:2.4.2与非线性规划的比较：一个很好的认识非线性规划的例子。
对于消费者最大化问题，既然约束函数g(x)=Y-px就有g'(x)=-p.因此假设对于任意的i,pi>0,或ui(x*)>0,秩条件R满足，这里g'(x)的秩等于1.
这样dui

P88:这样有定理2.11：FOC*或者（16）是局部最大值的必要条件。
这个古典秩条件与定理2.3（Arrow-Hurwicz-Uzawa定理）的条件（v）相一致。然而，在非线性规划的公式中，约束函数的线性的简单条件足以在不援引秩条件的情况下得出Foc对于LM的结论。
个人感觉这里的讨论很无聊。
回想对于这个问题的拉格朗日函数的表达式，我们立刻可以观察到u的海赛矩阵Φxx=u''(x).然后回想g'(x)=-p.
可以定义加边的海赛矩阵为：(两个表示一个)
H=[0        -p       ]
H=[-pT     u''(x*)]
因此：BHC（加边的海赛条件，也就是一组行列式）可以写作为：
主子式间隔大于0，小于0，再大于0，-----
在非线性规划中，FOC是在u(x)的拟凹的条件下对全局最大是充分的。
进一步如果u(x)是严格拟凹，那么FOC保证了唯一的全局最大。
然而，雅阁拟凹性的经济解释是显而易见的，而BHC的经济解释却非常难。
严格拟凹性提供u(x)de 全局特性，而BHC提供了局部特性。
同样，给定FOC*,BHC意指u(x)de 局部严格拟凹性，这反过来有助于解释BHC的经济解释。
这里的困难是很多定理，如何记忆？就先不要说理解。