经济学中的分析方法学习总结，欢迎高手指点缺失。

P146:
这里dλ（w,y）/dy=d2C/dy2>0，是最优化保证条件。
在式子p=dλ（w,y）两边微分。可得：
dp=[dλ（w,y）/dw]dw+[dλ/dy]dy
可以导出dy/dwi=-[dλ/dwi]/[dλ/dy],i=1,2,3-----,n.--------------------(4)

p147
引理:4.1:
dy/dwi的符号，根据是否dλ（w,y）/dwi相反。
dy/dwi<0，未必是一定成立。
x=x(w,y)=x*(w,p).y=y(p,w).
对上式的wi两边微分,得：
dxi*/dwi=(dxi/dwi)+(dxi/dy)(dy/dwi),i=1,2,3,---,n.--------------------(7)
(7)右边第一项表示（自身）替代效应，第二项表示规模效应（或扩张效应）。

dxi*/dwi=(dxi/dwi)+(dxi/dy)(dy/dwi),i=1,2,3,---,n.--------------------(7)
这个方程似乎具有很大的特殊性，因为左边和右边的差别似乎不大。一个有星号的，一个没有星号的。关键应该是他们的自变量不同。


任何要素价格变化的总效应可以分解为替代效应和规模效应。
这里规定萨缪尔森正则条件成立：


定义4.1：如果dxi/dy>0,(<0),即为了使公司达到成本最小化，如果产量的增加导致第i种要素的使用增加（下降），那么第i要素被称为正常的（劣等的）。
这里的概念把正常与劣等，一般化了。

P148:
命题4.1：
假设在最优解处，对所有的i,xi>0,且假设函数C(w,y)二次连续可微，那么我们有：
（1）某要素价格的增加使得边际成本是向上还是向下移动，取决于此要素是正常的还是劣等的，更精确地说：
dlanmuda/dwi=dxi/dy.i=1,2,3,----,n---------------------------------------(8)
（2）某要素价格的增加是降低还是增加最优产出，取决于此要素是正常的还是劣等的。更明确地，
sign(dy/dwi)=-sign(dxi/dy),i=1,2,3,---,n----------------------------------(9)参见注释5.
（3）不管所考虑的要素是正常还是劣等的，规模效应总是负的。因此总效应总是为负的，即
(dxi/dy)(dy/dwi)<0，因此，总有：
dxi/dwi<0，i=1,2,3,---,n----------------------------------------------------(10)

证明：略。

p149:
4.1.2要素家和和平均成本曲线的移动。
命题4..2：假定在最优解处对所有的i，xi>0，并且进一步假定函数C(w,y)连续可微，那么有：
（1）不管问题中的要素是正常的还是劣等的，要素价格的上涨总是使得AC曲线上移。
（2）第i种要素价格的上涨使得AC的最小点的产出水平降低，当且仅当对第i种要素需求的产出弹性大于1，即当且仅当                  μi==(dxi/dy)(y/x)>1,i=1,2,3,---,n.----------------------------------------------(15)

证明：注意平均成本函数定义为a(w,y)=C(w,y)/y,那么
da/dwi=（1/y）（dC/dwi)=xi/y>0.-------------------------------------------------------------(16)
立即得到命题（1）（注释;第二个等式利用了shepherd引理，dC/dwi=xi)
假定AC曲线是U形的，AC曲线的最小值由MC和AC曲线的交点来表示，它由下式确定：
兰姆达（w,y）=C（w,y）/y.-------------------------------------------------------------------(17)
进一步定义AC曲线的最小值点为y=y*(w).（注意：前面没有这样定义）
对（17）微分，得到
保持除wi以外的所有wj为常数，
兰姆达idwi+兰姆达ydy=(xi/y)dwi+dC/dy-C/y)(dy/y)=(xi/y)dwi---------------------------(18)
(18)两边除以dwi，得到：
dy*/dwi=-(dxi/dy-xi/y)/(兰姆达y)-----------------------------------------------------------------(19)

P151,要素价格上涨，如果MC右移，AC上移，称为低级要素。新交点在原交点右边。
如果MC左移，AC上移，称为一般要素。交点在原交点的右边。
如果MC左移，AC上移，称为一般（高级要素，交点在原交点左边。
只有一个在左边。
4.2：边际成本定价。
P152：一阶利润最大化的条件，福利最大化，p(Y*)=C'(Y*).----------------------(23)
而最优化的二阶条件是p'(Y*)<C''(Y*).----------------------------------------------------(24)
但是根据第23式，两边求导，p''=C''.
这样的话，一阶条件两边求导与二阶条件，看起来就矛盾啦。

P153:
命题4.3：假设社会福利有（22）式定义，即W（Y）=∫p(y)dy-C(Y)-C（Y），那么达到社会福利最大化的准则又（23）式即p(Y*)=C'(Y*)决定。

P154：要素价格与平均成本曲线的形状。
4.4：劳动力供给：收入——闲暇选择。
4.4.1：无非工资收入的情形。

4.4.2：有非工资收入的情形。

P153:
命题4.3：假设社会福利有（22）式定义，即W（Y）=∫p(y)dy-C(Y)-C（Y），那么达到社会福利最大化的准则又（23）式即p(Y*)=C'(Y*)决定。

P154：要素价格与平均成本曲线的形状。
4.4：劳动力供给：收入——闲暇选择。
4.4.1：无非工资收入的情形。
P159,为什么取等式的预算被称为非饱和的。劳动的收入依赖于要素价格w,这一点与传统的理论不同。
最优化问题的解：
c=c(p,w,Y)=c(p,w,wa)=c(p,w)---------------------------------(28a)
x=x(p,w,Y)=x(p,w,wa)=x(p,w)----------------------------------(28b)
对上述两个式，由Hicks-Slutsky等式，可以立即得到：
dc/dp=s11-c(dc/dY);        dc/dw=s12-x(dc/dY)-----------------------------(29a)
dx/dp=s21-cdx/dY;           dx/dw=s22-xdx/dY-------------------------------(29B)
4.4.2：有非工资收入的情形。

Hicks-Slutsky方程，就是平时说的那个斯拉茨基方程。

P162:4.5：管制约束下的公司行为。
管制经济学中的一个著名的结论是“公平收益率”的约束的施加（施加于公共事业部门和其他产业）诱导最求利润最大的公司去持有更大量的资本设备。
该结论的阐明由Takayama(1969)做出，他指出上述论断（现称为Averch-Johnson效应或A-J效应）的初始证明令人遗憾是错误的，因为它混淆了沿曲线移动和曲线移动的错误。
然后他指出如果我们遵循Averch和Johnson的0<λ*<1假设，那么A-J效应仍是正确的。其中λ*表示被管制公司的相关最大化问题的拉格朗日乘数。
此后，有一系列的研究结论。
遵循Averch和Johnson1962年以及其他一些人，我们考虑两种投入，劳动（L）和资本（K），来生产单一产出（Y）的垄断者，生产函数由F（L,K）限定，其中我们假设F（0，0）=0，FL=dF/dL>0,Fk=dF/dK>0。
令p(Y)是反需求函数，且p'<0。
公司的收益函数R(Y）=pY定义，其中假定R'>0，即边际收益产量是正的。
令w、r分别是工资率和租金率。
公司的利润：Li=R-wL-rL
如果公司不受任何管制约束，那么公司在
Y<=F（L，K）和Y>=0，L>=0，K>=0的约束下，选择Y，L和K，以使利润最大化。
令(Y0,L0,K0)表示这个问题的解，并假设有一个内解，我们可以将一阶必要条件写作：
GL（L0,K0)=w，GK（L0,K0）=r.
其中，G（L,K）=R[F(L,K)]，GL=dG/dL.且Gk=dG/dK。--------------------------------（39）
如果假定G(L,K)是凹的，那么（39）式就是全局解的重要条件。
当公司受到管制约束时，与没有施加这样的约束相比，每一要素的最优使用自然是不同的。
现在假定，公司受到管制约束，资本的收益率不超过一个特定的“公平”价值，令s表示这样一个公平收益率，管制约束可写作：
(R-wL)/K<=s,即 -（R-wL-sK）>=0.------------------------------------------------------------（40）

令Li*表示利润，Y*、L*、K*，是该问题的解，并假设都大于0，管制约束现在写为
Li*+rK<=sK,或Li*<=(s-r)K*.
假设Li*>0，那么我们推出s>r------------------------------------------------------（41）
许多作者只是假设（41）成立，而不是推导它。
拉格朗日函数
Φ[R(Y)-wL-rK]+λ[sK-R(Y)+wL]+μ[F(L,K)-Y]
得一阶条件：
P163：上述中的一阶条件，值得仔细斟酌，拉格朗日函数的求导数，有很多变化。
P164：μ*>=0，0<λ*<1------------------------------------------------------------------------------------------（43）
为了证明这一点，我们首先假定μ*=0。那么由（42c），我们有r-s=0,这与（41）式矛盾。
因此μ*>0.同样，如果λ*=1，那么由（42a）μ*=0，这与μ*>0矛盾。因此，兰姆达小于1.
为了说明兰姆达不等于0，我们只有假定K0不等于K*，管制约束（40）是有效的，并且，（39）有效。
实际上，如果兰姆达的解等于0，那么（42a）到（42c）变为GL*=w,GK*=r。这与（39）是一样的，因此K0=K*，L0=L*，这里与K0不等于K矛盾。因此证明了（43）式
命题4.5：在模型的限定下，管制约束导致追求最大化利润的厂商拥有更大存量。该公司不是传统意义上的成本最小者。

这本书，看起来可真是辛苦啊。
P166：4.6：满负荷问题：
4.6.1：引言：考虑一个生产单一的不可储存的商品（比如电）的垄断者，除了不可储存性外，假定产出有下列三个其他特性：
（a）即使价格被固定，对它的产出需求D(p,t)随时间（t）波动，比如p00，如图4.10.
（b）它的生产需要昂贵的生产能力或资本。
（c）要求公司满足对它产出的最高需求（如图4.10中的OA）。
注意电典型地满足所有上述特性。如果我们相当宽松地解释条件（c），那么我们能找到许多例子。如电话服务、运输服务等。
如果公司必须有生产能力K的水平来满足最大需求OA，那么它的生产能力的某些部分对于非高峰期间可能不得不是闲置的。
如果设备是昂贵的，那么这可能导致巨大浪费。
如果商品是可储存的，那么该问题消失。低落时储存，高涨时卖出。
如果不可储存，那么就有很大浪费。
人们提议，公司在非高峰时期降低的价格以便鼓励对产出的需求，而在高峰时期索要较高的价格。设计一个最优价格政策的问题为满负荷问题。
满负荷问题是对于给定的计划期限内选择价格的最优路径问题。

P167：4.6.2：一个福利最大化的垄断者的情形。
对最优化有两个标准。一是使某种社会福利最大，另一个是使整个规定时间期限内的利润最大化。
前者定义为期间内消费者剩余加上总收益减去总成本。这里困难是？

P170:移动高峰：是指对所有t，保持完全生产能力是最优的。注意图4.11，最优产出是由垂直相加需求曲线
得到的。这是满负荷问题中的著名法则。
从形式上看，有点象成本与价格的加权平均之间的关系。
上述是第一种情况，即对于一个最优解，在所有时期保持完全的生产能力。
第二种情况，不是在所有的时期内保持完全的生产能力。或者说在所有的时间内保持完全生产力不是最优
的情况。
令A=[1,2,3,---,T],对所有的t，Yt（=Y#）是恒定的，对这种情况的生产能力的最优存量（以K#表示），通过
K#=bY#想联系。问题是为什么Y#是恒定的？
同样假定t不属于A的话，bYt<K#。即存在t不属于A，不保持完全生产能力是最优的。（因为需求此时太低）。
在第二种情况下：从（57）我们可以得到：
pt=wa，对t不属于A。---------------------------------------------------------（63）
其产出的最优水平是由pi=p(Yt,t)所决定。
为了得到t不属于A的解，使用上述概念，我们可更改（58）为
∑[p(Y#,t)-wa]=brT--------------------------------------------------------------(64)
更具体地假定需求模式给定为
p(Yt,t)=P3(Y)，t属于A，或p(Yt，t)=P4(Y),t不属于A。-----------------（65）