某集合的子集在该集合上为开集应该怎么理解

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在看杰里瑞尼著的高级微观经济学理论时对数学附录第429页DEFINITION A.1.10时弄不懂。该定理的英文原文是“Let D be a subset of Rm.Then a subset S of D is open in D if for every ,there is an ε>0 such that Bε(x)∩D".这句话的意思应该是有关集合的子集在该集合上为开集的判定定理。但是我却弄不明白某集合的子集在集合上为开集到底有什么意义？子集在集合上为开集，那么它在整个向量空间上就一定为开集了。那么还定义某集合的子集在该集合上为开集干什么？

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关键词：definition 高级微观经济学理论 高级微观经济学 微观经济学理论 Subset 经济学 干什么 英文 空间 数学

一个子集在某集合上为开集，不代表在整个空间内为开集。这是数学分析中的定理啊。。。
可查阅RUDLIN的principle of mathematical analysis 第三版第二章。

谢谢楼上的解答！看这本书觉得自己的数学简直太差了。rudlin的那本书也没有看过。哎。再次谢谢sandycai