（原创系列论文）利息原理之一~之五

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利息原理之四：利率计算公式的推导

        利率计算公式的推导（上）

        利息确实是一种补偿而不可能是任何报酬，是必须要付出而补偿给大自然的。在货币价值不变的前提下，当处在均衡状态时，利息等于储备的保管费用，或者说利息的基本构成就是保管费用；从资本的角度来看还应该包括资本品的自然折旧部分。实际上对全体人员来讲这些都是损失，是一种被均摊了的损失。这就好像为了保险需要交纳一定的保费一样，当平衡时保费将全部损失掉而不可能有任何所得，其中的唯一好处是每个人的平均损失最小。正是这种平摊损失的结果从社会的角度来算最合算，即交纳一定的保费很值得，这也是社会以及每个人都必需采取的选择。否则采用其它任何方式都不足以保障全体人员的利益，反倒因灾造成无可挽回的损失，而且费用往往更高。
        如果把储备生产和保管看成是一种劳动，利息当然就是类似于服务的一种特殊的劳动报酬。不过问题在于，一般的服务总会让我们有所得，而保管的劳动或工作恰恰不会让我们另外多得到什么，这正是很容易被忽略掉的一个非常重要的事实。假设不存在意外的因素，也不需要增加投资，显然储备就是多余的，也就不需要储备劳动，因此也就没必要支付利息的“报酬”。可事实的教训早就提醒我们，这样做是不行的，必须要有一定的储备，从而也就少不了储备劳动。但这在生产方面确实没有节省时间而是浪费了时间，于是利息也就不可能是所得反倒是一种支出或损失；是一种不得不支付的支出或损失，为得是在生产方面免于更大的损失（相对的所得）。
        从形式上来讲，利息首先是贷款人付出的，又转到了存款人的手中，最后通过涨价又都由贷款人即生产者收了回来；每个人就相当于储备物品的平均拥有者，谁也不吃亏，但生产和消费却可以形成平稳的循环。
        当把利息看成是一种支出或损失时，我们就可以从生产的角度比较精确地探讨利息率即利率的定量问题并推导出利率的计算公式。其基本思路是这样的：以某一年为基准，这一年必然要生产出一定的GDP，这也包括储备在内，其储备与总量之间应该有一个合理的比例。因为资本品的自然折旧部分连同使用的折旧部分作为生产的一部分会时刻自动补充上，在数量上相当于总是不多不少，所以其数量的损失就可以不计算在内。第二年继续生产，但遭受了损失（包括因投资需要使得储备量净减少的部分），不过由于可以动用储备量，所以可以认为在正好满足需求的基础上价格只会小幅上扬。这种小幅上扬将由利息充抵，为此须计算出该以怎样的利率收取多少利息才最恰当，通过推算就能把储蓄、利率、物价指数、GDP的增长以及货币发行等问题有机地联系到一起。能做到如此正是经济学家们梦寐以求的，这对经济决策有着非常重大的现实意义。
       设基础年份的GDP值为GDP0，其货币发行量、货币周转速度分别为m0、v0，则可以得到：GDP0 = m0×v0。再设基础年份已经达到的总储蓄为mk，相当于的GDP为GDPk, 则可以得到：GDPk= mk×v0。为了生产、投资和预防损失等的需要，对于一个经济体来讲这就是一个必要的和合理的积累量或者说储备量，我们用s0表示储备量与年度GDP的比值，并称其为总储备率，则可以得到：s0 = GDPk/GDP0；或者是：s0 = mk/m0。因为只有总储蓄mk才能作为定期存款存入银行，所以也只有这部分货币能得到定期利息。设银行在下一年度为此支付的利息为Δmr1，利率用r0表示，则可以得到：r0 = Δmr1/mk，即Δmr1 = r0×mk。进而可以得到：Δmr1 = r0×GDPk/v0；或者是：Δmr1 = r0×s0×GDP0/v0。这一利息也相当于在下一年中虚增出了一项GDP，用ΔGDPr1表示这一GDP，则可以得到：
        ΔGDPr1 = Δmr1×v1 = r0×s0×GDP0×v1/v0。
        假设第一年的GDP增加量为ΔGDP1，GDP增长率用G1表示，货币增加量为Δm1、货币周转速度为v1，货币增长率用H1表示，则可以得到：G1 = ΔGDP1/GDP0，H1 = Δm1/m0。于是可以得到：G1 = ΔGDP1/GDP0 = Δm1×v1/m0×v0 = H1×v1/v0。
        现在假设第一年的经济遭受了因自然或意外因素以及投资变动等的“损失”，其实际损失相当于的GDP为GDPC1，并称GDPC1与GDP0之比为损失率，用sC1表示，则可以得到：sC1 = GDPC1/GDP0；或者是：GDPC1 = sC1×GDP0。受到损失后某些物品的价格会有程度不同的小幅上扬，这样整个物价就会有一定的上升，但仍可满足全部需求。假设物品价格总的上升部分相当于的GDP为ΔGDPP1，并设物价指数的增长部分为CPI1，则可以得到：CPI1 = ΔGDPP1/(GDP0＋ΔGDP1)，即ΔGDPP1 = CPI1×(GDP0＋ΔGDP1)。由于物品涨价后其原有损失部分相当于的GDP会变小，设损失部分在新价格中相当于的GDP为ΔGDPC1，则可以得到：ΔGDPC1 = ΔGDPP1－GDPC1，即
        ΔGDPC1 = CPI1×(GDP0＋ΔGDP1)－sC1×GDP0。
        因为利息是一种损失，就是为了平衡因各种因素造成的价格上涨所带来的损失，所以应该ΔGDPr1 = ΔGDPC1，于是可以得到：r0×s0×GDP0×v1/v0 = CPI1×(GDP0＋ΔGDP1)－sC1×GDP0。用GDP0除以等式两端就可以得到如下的重要结果：
        r0×s0×v1/v0 = CPI1×(1＋G1)－sC1。
        在一段时期内（特别是上一年度）可以认为总储备率s0是一个确定量，损失率sC1也有其合理的平均值（比如为0.5%），v0和v1可以认为基本相等，这样对于一个经济体来讲利率r0与CPI1密切相关。比如：设s0 = 60%，G1 = 0，在生产过程中正好把0.5%损失率全部弥补上了而使sC1 = 0，CPI1 = 1.5%，可以得到r0 = 2.5%。如果维持这个利率不变即令r0 = 2.5%，并假设G1 = 3%，还假设在生产和3%的增长率中正好把0.5%损失率全部弥补上了即sC1 = 0，则可以得到：CPI1 = 1.5%，这说明随着经济的适度且又正确的增长可以使CPI降低。也可以这么认为，随着经济总量的增加，一个经济体能够抵御更大的自然灾害所带来的损失或者满足投资需求而不至于让物价过分波动。要是没能弥补上全部损失率，即在增加的GDP中消费的多而积累的少使得sC1 = 0.5%，则可以得到：CPI1= 1.9%。这已经超过上限1.5%了，可见生产结构以及发展模式是很重要的。如果预估的物价指数为1.5%，相当于令CPI1 = 1.5%，在G1 = 3%和sC1 = 0的情况下则可以得到：r0 = 2.6%，这说明要多付出一定的利息的代价。如果令利率不变即维持r0 = 2.5%，CPI也维持CPI1 = 1.5%不变，G1 = 3%，sC1 = 0，则可以得到：s0 = 61.8%。这反映出要想得到3%的GDP增长率就必须提高一定的总储备率s0，如果事先没有储备好那就必须在3%的GDP增长率中把所增加的1.8%总储备率s0生产出来；否则因储备率的变化会引起进一步的价格上涨，这就有可能超过1.5%的限制幅度。

利率计算公式的推导（下）

        第一年本来应该增发的货币是Δm1，这是很合理的。如果除此之外还多增发了一部分货币，用Δm1′表示之，我们用H1′表示这一货币增长的变化并称之为货币超额增长率，则可以得到：H1′ = Δm1′/m0。在这种情况下，GDP的变化就相当于虚构出了一个增加的GDP部分，可以用ΔGDP1′表示这一GDP，则可以得到：ΔGDP1′ = Δm1′×v1。此时的新的CPI1（仍用CPI1表示）为：CPI1 = (ΔGDPP1＋ΔGDP1′)/(GDP0＋ΔGDP1)，即
        ΔGDPP1 = CPI1×(GDP0＋ΔGDP1)－ΔGDP1′。
        因为ΔGDPr1 = ΔGDPC1仍成立，所以由公式ΔGDPC1 = ΔGDPP1－GDPC1可以得到一个新情况下的平衡关系式为：r0×s0×GDP0×v1/v0 = CPI1×(GDP0＋ΔGDP1)－ΔGDP1′－GDPC1。还用GDP0除以等式两端就可以得到如下的重要结果：
        r0×s0×v1/v0 = CPI1×(1＋G1)－H1′×v1/v0－sC1；或者是：
        r0×s0×v1/v0 = CPI1×(1＋H1×v1/v0)－H1′×v1/v0－sC1。
        根据上面的数据，设G1 = 3.0%，H1′ = 10%·H1 = 0.3%，并假设CPI为1.5%，sC1 = 0，则可以得到：r0 = 2.1%。这说明当超额增发货币时，从表面上看起来可以适当地降低利率；实际上利率是不能轻易变动的，一旦变动了其假设的CPI就不再成立。如果维持利率不变即仍保持r0 = 2.5%，则可以得到：CPI1 = 1.7%。这说明当超额增发货币时，从表面上看起来如果不降低利率物价会上涨；实际上物价必然要上涨，因为物价上涨并不是单由利率决定的。具体说来这是动用了储备而使总储备率s0发生了变动的结果，虽然损失率sC1还为0但这不能认为明没有变动过程；也就是说，要是sC1＞0那变动就更明显且对下一年的发展不利。
        现在把储蓄即银行存款的变动情况也考虑进去，看看公式的形式会有什么变化。假设实际的总储蓄额是mk′，用sx表示储蓄变化率，则可以得到：sx = (mk－mk′)/mk′，即mk = (1＋sx)·mk′。此时所谓的总储蓄无非是由理论上的总储蓄mk变成了(1＋sx)×mk′，把新的mk′仍用mk表示，其它的意思并没有什么变化，所以可以得到ΔGDPr1 = r0×(1＋sx) ×s0×GDP0×v1/v0。于是可以得到：
        r0×(1＋sx)×s0×v1/v0 = CPI1×(1＋G1)－H1′×v1/v0－sC1；或者是：
        r0×(1＋sx)×s0×v1/v0 = CPI1×(1＋H1×v1/v0)－H1′×v1/v0－sC1。
       在正常情况下因所谓的“窖藏”货币（特别是纸币）应该极少，可以忽略不计，所以sx一般不会影响到原有的结果。但要是由于投机的因素使得储蓄存款的变化很大即储蓄变化率sx有着非常明显的变化那这一因素就不能不考虑，这也意味着原有的物价指数CPI1还要加上因储备率变化不为0的进一步加大所带来的变化部分。为什么当物价上涨时储蓄存款会显著减少，而当物价下跌时储蓄存款又会显著增加，其道理就在这里；两者总是同步反应，并相互影响。

利息原理之五：利率与经济增长的关系

        （一）利率与物价指数
        在通常情况下，当经济波动不是很剧烈时，相连年份的货币流通速度应该基本相同；也就是说v即便有变化也很缓慢。这样我们就能得到有关利率的一个比较简洁的决定公式：
        r0×(1＋sx)×s0 = CPI1×(1＋G1)－H1′－sC1；或者是：
        r0×(1＋sx)×s0 = CPI1×(1＋H1)－H1′－sC1。
        如果储蓄变化率sx设为0，没有超额增发货币即超额货币增长率H1′为0，就可以得到最初的式子：
        r0×s0 = CPI1×(1＋G1)－sC1；或者是：
        r0×s0 = CPI1×(1＋H1)－sC1。
        从中可以看出，要说CPI与利率有关的话那也是正相关而不是负相关，想要通过调高利率迫使物价下降或试图以降低利率来诱导物价回升都不现实。实际情况就是如此，高物价期间总是对应着高利率的范围，低物价期间总是对应着低利率的范围；也许具体的数值会略有出路，但相反的情况从没出现过。
        假设CPI与利率呈负相关，那么当一个变量开始向某一方向变化时，另一个变量无论如何也应该开始并向反向变动，哪怕起初是及其微小的，这样才能保证在各自的平均点上彼此是相反的；否则这从数学上都讲不通，只能说明这是另外一种关系。当然，人们普遍认为其中有个所谓的滞后效应在起着作用，好像调整利率后要过一段日子物价才会作出相反的反应。可问题在于，这种滞后往往正好差出一个相反的周期，那显然就不再是什么简单的“不同步”问题。真要是这样，这无异于告诉一位已经开了大辈子汽车的人：只要开动汽车就得踩下刹车，想要急刹车就得给足了油门，否则汽车既停不下来将来也无法再启动起来。显然这是荒谬的，执行了一个另一个的目的就无法很好地实现。实际上汽车还有一套自身的或者说是本能的、也是更常用的调速系统，这就是控制油量的关系；这才与速度直接相关，刹车不过是一套应急的装置。
        如果能够理解利息的真正由来我们就能明白，其实这里首先要明确的是总储备率s0。因为这一数值将由自然情况或过去的事实决定，即经济发展的过程和结果就是如此，我们可以从统计或经验中得到但不能任意篡改，顶多允许根据时代的发展作些合理的调整。当s0已知后，由于自然灾害情况和投资对储备的需求变化必然会使储备量发生变动；这也等于储备率发生了改变，根据储备率变化与价格变化的平衡关系这必然会造成经济系统中的整体价格发生变动即物价指数有所改变。此时补偿问题就成了一个关键的环节，所以随着CPI的波动范围已知利率也就可以确定。反过来，要是事先定好了利率CPI的最大允许波动范围也将随之确定；利率高一点所能承受的范围就大一些，反之所能承受的范围就小一些。有了一定的经济储备后，首先从物质上就有了满足需求的可靠保障，同时也对投资提供了更多的可能，再把这种储备货币化，拿着钱还是保有货物就相当，因把钱存入银行而得到的利息（正是生产者由贷款支付出去的）与储备的费用也相等，这就确保了当物品涨价时用货币交换既可行也公平。如果能够满足需求，或者说在需求不必被迫改变的前提下，那么允许的波动范围当然是越大越好。不过想要使物价所能承受的变动范围大一点，在生产能力基本不变的前提下储备的东西就应该多一些，这样储备费用就要相应增加；反之，储备的东西少一些，费用固然可以减少，但这很可能因满足不了需要反而使得价格变动很大。想要拓宽物价的变动范围必然要付出相应的代价，定得太窄又未必符合实际的要求，所以合理选择某种物价的变动范围、使之不足以给正常的生产和消费带来影响就成为了一个需要与利率和总储备率综合考虑的问题。
        利率与CPI确实直接相关，但这种相关不能简单地用“正”或“负”来表达或表示，这其实与变动范围正相关：利率高，则所能允许的物价变动范围就大，反之所能允许的物价变动范围就小。当物价过分上涨时，这就意味着储蓄货币不合算而储备物品要更有利一些，也等于事先的劳动更可取，对应的就相当于原来的利率定得太低，因此利率就有一种上升的动力。此时要是不提高利率的话，储备物品的增加量或意愿就要远远多于储蓄货币的数量，经济就要失衡。当物价过分下降后，此时再维持原有的高利率就意味着储蓄货币更合算而储备物品将无利可图，也等于事后的劳动更可取，人们就会更倾向于减少物品的生产和储备而储蓄货币。当储备小到一定程度时其抗风险能力就要减弱，也就无法应对下一次的价格变动，经济同样要失衡。可想而知，一旦价格发生了变化，利率必然要随之调整。只是在这种相机变动的过程中会给人带来一种错觉，以为只要调整利率价格就会为之改变，好像利率工具拥有得天独厚的主动权：利率上升，则价格下降；反之，利率下降，则价格上升。依据这种关系，人们就会总结出这样的结论：利率与物价有反向相关关系。这好比气温与穿衣服多少的关系一样：如果气温高，就该少穿衣服；反之，如果气温低，就该多穿衣服。结论是：穿衣服的多少确实与气温负相关。但这里的问题在于，我们能否主动地通过增减衣服来改变气温的高低呢？很显然这是不可能的，是不现实的；也就是说，要是气温不变的话我们根本就不必改变穿衣服的多少。同样，要是利率与价格的变动范围已经对应得比较合理的话，利率也就不必再进行人为的频繁调整，调了只有负作用。这样我们就能理解了，在利率与价格的关系中两者谁都没有独立的决定权，实际上它们都是被决定量。
        在一个经济体系中，当总储备率s0一定时，利率与价格的变动范围不是一种可以任意调节的对应关系，其中只有一个数值或数值范围最合理。假设在生产能力基本相同的情况下s0有所提高，这说明这一经济体的储备实力在增强，也表明其抗风险能力在加大，此时就可以用较小的利率承受同样大的价格变动，或者利率不变却能承受住更宽的价格变动范围。此时我们可以说利率与s0负相关，或者说CPI的变动范围与总储备率s0正相关。这样思考问题有助于我们澄清这样一种观念：物价上涨并不是什么好事，但在可以满足同样需求的情况下所能允许的物价变动范围越大却越是好事。即在不必调整利率的情况下，随着时间的推移价格会自动下降或回升，其变动范围一直比较合理。由此我们很容易得出这样一个非常现实的结论：想要使物价不变这既做不到也不是什么好事，保持CPI为零就意味着经济体将承受不住任何一点价格变动。要是此时能很好地承受住价格变动的话，那就不是利率为零或储备量为零而是GDP的产值要无限大即生产能力要无限高（缺什么、需要什么立刻就能生产出来）。这很不现实，起码在目前还做不到，想要完全消除价格波动的代价将非常高昂。为此我们只能在总储备率s0确定的前提下以一定的价格波动范围寻求合理的利率，使得价格波动范围和利率都能接受住事实的考验而让经济保持在一种相对稳定的状态。也就是说，根据历史的统计资料要是能计算出灾害发生的频率和造成各种物资的损失程度以及投资的长期趋势，结合生产能力我们就能基本确定出储备量应该是多少，其价格有可能的变动范围也随之确定，进而利率的数值就可以确定出来。
       想要了解总储备率s0的合理性在理论上和实践上都不困难，但要稳定住s0可以说除了生产结构之外对储备的补偿就成了一个关键因素。当总储备率s0中的储备量比较大时，对应要发行的货币就会多些，这样支付的利息就会变多，由此就决定了利率到底应该是多少为最合理。这样利率就成为了一个被决定量而不是可以任意改动的量：即只有一个很小的数值范围最合理、最正确，也不会受到别的因素干扰；其它的都存在着偏差，要经过不断修正才能使之起到应有的作用。当然，在G1、sC1和超额增发货币都为0的情况下，利率可以由公式r0×s0 = CPI1算出。即只要确定了CPI的波动范围，利率的大小就可以决定下来。之后我们可以通过事实验证利率定得是否合理，并进行适当而不是随意的调整。如果实际的CPI非常接近估算的范围，我们就无需再为价格的波动感到担心，利率也就不必调整。要是CPI常常小于预计的数值，这就说明利率定得太高而必须降低；反之，要是CPI常常大于预计的数值（超出范围很多），那就说明利率定得太低而应提高。