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交换的契约曲线在什么条件下在埃奇沃斯盒状图中为一条对角线?

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关键词：艾奇沃斯 契约曲线 埃奇沃斯 对角线 艾奇沃斯

FC-1 发表于 2009-8-28 12:43
交换的契约曲线在什么条件下在埃奇沃斯盒状图中为一条对角线?

这个问题挺有趣的，我以前还真没想过，我现在的想法是，契约曲线不可能是整条对角线。要求契约曲线是对角线，首先要要求帕累托最优的曲线是对角线，其次要要求整条帕累托最优曲线上的点对于两个人的endowment来说都是帕累托改进的，即每个人都可以从交易中获得好处。这也就是说，对角线的两个顶点都是契约曲线的一部分，即（0，0）对于两个人而言都是帕累托改进。如果两个人的偏好都是单调的，那么这件事情就是不可能的；因为如果两个人的endowment带来的效用都比（0，0）差的话，那么最基本的endowment之和大于零的假定就破坏了。

如果只是考虑帕累托最优曲线是整条对角线的话，这个问题更可达一些。我现在能给出一组充分条件：如果每个人的效用函数都是homothetic的化，那么帕累托最优的曲线可以是一条对角线，理由如下：如果效用函数是homothetic的话，那么无差异曲线在沿着圆点出发的射线上的斜率都是相同的，这样的话，我们就可以很轻松的满足MRS_1=MRS_2的条件。当然这个条件应该是太强了，我们没有必要要求帕累托最优曲线上每个人MRS是常数，我们只要求两个人的MRS在每个点都相同就可以了。但是至于怎么放松这个条件，我目前还没有太多的想法。

又想了一下，要求两个人的endowment带来的utility都是0也并不是那么restrictive,比如 U=x^0.5y^0.5,
w_1=(1,0),w_2=(0,1)就应该可以了。这样的话我能给出的充分条件就是：
1、效用函数homotetic，
2、两个人的endowment带来的utility等于0

我也向馒头斑竹请教一个思考很久的问题：

契约曲线其中的一段是否会出现从左上到右下的“扭曲”？

呵呵，我在抛砖引玉~~~~~~~~~~

考虑一种简单的情形：Edgeworth盒是正方形；两个交换者的效用函数都是Leontief型：u(x, y)=min{x, y}。

不解： 如果契约点只由效用函数决定，在两个给定的效用函数曲面相交中只有一个最大化点，哪里有契约曲线？作为效用曲面等效用线投影的无差异线的切点不能作为契约点。

猫爪 发表于 2009-8-28 22:28
我也向馒头斑竹请教一个思考很久的问题：

契约曲线其中的一段是否会出现从左上到右下的“扭曲”？

说请教是太客气了，我也不知道这个问题的答案。下面是我的一下简单的推导，大家看看，我也不知道对不对。


考虑这个问题，假设每个人的效用函数分别是 u1(x,y),u2(x,y),两种商品的禀赋分别是wx,wy,那么契约曲线在内点一定满足



rewrite:
F(x,y) = u1x(x,y)u2y(wx − x,wy − x) − u1y(x,y)u2x(wx − x,wy − y)

其中uix是第i个人对商品x的边际效用。因为我们考虑的是扭曲的问题，所以应该只需要讨论内点解。上式定义了一个y对x的隐含数，如果这个曲线左上到右下扭曲的话，那么也就是说这个隐含数是递减的。假定这个函数可导（纯粹为了省事，当然可能不可导），那么用隐含数定理可知:



现在我们就可以讨论了：
如果我们要求偏好是单调的且凸的话，那么我们就有。但我们不知道uixy的符号，在这种情况下我们没法确定dy / dx的符号，那么契约曲线也就有可能递减。如果,比如Cobb-Douglass，或者任何x y可分离的情况，那么我们可以确定，这样也就不可能单调递减。除此之外，似乎在这个general form下没有什么办法可以确定dy/dx的符号。

如果我们进一步假定两个人的效用函数相同，那么：



这样的话这个问题就可以有一个确定的答案。如果，那么如前所述，必有，不可能出现扭曲;所以我们只需要讨论uxy < 0。给同样的假定，即凸性和单调性，我们现在有：


这个地方有点不严谨，因为我直接用了海赛阵而没有用加边海赛；结果应该差不多的，就偷懒了:)

这个条件等价于:


这里面不等号变换了方向，因为每一项都是负的。那么，如果在dy/dx那个式子里面的分子大于零，那么一定有分母也大于零；换句话说，上下同号，故我们有,不可能出现扭曲：



最后这个不等式是这样的推导的：


从分子大于零我们知道：


将这个式子带入上式，我们有：


最后这个式子也就等价于分母大于零了。

如果分子小于零的话，根据上面的逻辑，分母也会小于零。所以无论是什么情况，我们都有dy/dx\geq 0,这也就是说，契约曲线不会出现递减情况，也就不会扭曲。

总结一下：

如果两个人的效用函数不相同，那么没有扭曲的充分条件是偏好的凸性，单调性，以及。我觉的最后这个条件应该是有个名字的，跟complementary 有没有关系？不知道了，那位大哥指导一下。。。。。因为最后这个条件并不是最基本的条件，那么有可能出现左上到右下的扭曲

如果两个人的效用函数相同，那么只要偏好满足凸性和单调性（这点不太严谨，我证明的是效用函数满足凹性和单调性，关于凸性的问题，我觉的应该是可以成立的，不过懒得弄加边海赛了……），那么就不可能出现扭曲的情况。


最后，那位大哥能指导一下怎么在这个论坛输入数学公式啊，我这个可是在wiki里面敲出来然后粘过来的……很痛苦。

update:
似乎公式显示怎么着也有点乱，感兴趣的可以去我的wiki上看一下比较清晰的版本：
http://en.wikipedia.org/wiki/User_talk:Malin84

ruoyan 发表于 2009-8-29 21:21
不解： 如果契约点只由效用函数决定，在两个给定的效用函数曲面相交中只有一个最大化点，哪里有契约曲线？作为效用曲面等效用线投影的无差异线的切点不能作为契约点。

在给定价格的情况下，两个给定的效用函数曲面相交中只有一个最大化点（在标准假设下），但是如果价格在变化的话，优化点也会变化，所以就成了一个曲线了。你可以看一下上面的那个回复，契约曲线就是MRS_1=MRS_2定义出来的那个隐函数

MU1y/MU1x=dy/dx=MU2y/MU2x，由于U1（x，y），U2（x，y）是外生给定的，所以这里的dy/dx被两个效用函数所确定，即两个效用函数相切的切点；这个切点与外生给定的价格无关；如果一个价格被外生给定，与这个dy/dx完全可能不一致，这个切点本身就可以决定一个价格而不可能保证切线斜率与某个给定价格线斜率相同。
所以我理解，只要两个效用函数确定，就只有契约点，没有所谓契约线。
请继续指正。