所谓连续复利公式的推导错在哪里？

hebdzhg 发表于 2017-5-27 03:29
设有有本金 A。元，年利率为 r。将一年一次计息分为一年m 次计息，按资金应有的时间价值，一个计息期1/m年的 ...

对于前半部分，要明确的是，r。是名义年利率，分成m段计息的利率就是r。，则一年后复利计息的本息和还是A。（1+r。/m)^m；实际利率是（1+R0/m)^m-1
对于后半部分，只是将一年换为t年而已。

连续复利错误论述-----用所谓连续复利公式计算其它问题并当作精确值

2011年中国人民大学出版社出版的《微积分教程》中在讲授连续复利法时有例题（该书51页）：
“设今年我国国民生产总值为A。，又设年平均增长率为 ，求10年后的国民生产总值A.
解 由于国民生产总值不是到年底才增长，而是每日每时增长的，因此有A(t)=A。e^(rt)，
本例中，r=0.1,t=10，
所以          A=A。e ^（0.1x10）=A。e=2.7183A。


即10年后的国民生产总值为今年的2.7183倍，若按公式A=A。(1+r）^t，
计算，则A=2.593A。，这个结果不如上面的结果精确。”
这里的存在的错误是：如果将问题再简单一点，改为：“设今年某市国民生产总值为100亿，又设年平均增长率为，求2年后的国民生产总值A.”这就是中小学的数学题，答案121万亿就是精确值。在解答这个问题时，并不需要考虑它每日每时增长的过程；当然，若考虑它每日每时增长的过程，其结果还是121万亿。如给出其它不同于121万亿的答案都是不对的。据此可知，这里高校用的教材的讲述是不对的，由此可感受到，连续复利法有问题。
用A=A。(1+r）^t计算，得一年后国民生产总值为1.1A。，两年后为1.21A。，10年后为
A= A。(1+10%）^10=2.593A。.这些量就是在一年内、两年内、10年内国民生产总值“每日每时增长”的结果，这就是精确值。

2011年中国人民大学出版社出版的《微积分（经管类）》说：公式(3） A(t)=A0ert  “仅是一个理论公式，在实际应用中并不使用它，仅作为存期较长情况下的一种近似估计”。

这种评述是不对的。一是，因为当我们确定年利率、例如是6% 的情况下，无论存期长短，初始资金 A。经过t年后的资金总额都是

A= A0（1+6%）t
这本是准确、清楚、易用的公式。有准确、易用的公式
A= A0（1+6%）t
存在，为什么还要用含有无理数e、不易计算的公式A(t)=A0  e0.06t  去近似计算
A= A0（1+6%）t  ？
无论存期长短，都没有必要用一个不易计算，将年利率6%改为了6.618%的式子
                                         A = A0e0.06t=A0（1+6.618%）t
去“近似估计” A= A0（1+6%）t

二是，说公式 A(t)=A0ert  “仅是一个理论公式，在实际应用中并不使用它”。在实际应用中并不使用的这个连续复利“理论”、这个“方法”的根本原因是这个“理论”、这个“方法”是错误的。理论和实践是统一的。

2006年立信会计出版社出版的《高等应用数学》（上册）(该书48页)解释说：公式

A(t)= Amert
“意味着资金运用率最大限度的提高”。
m→∞
我们知道，               Am= A0（1+r/m）mt
随着m的增大而增大，m→∞，得
m
                                    A(t)= Amert 。
问题是：一、在实际经济活动中，资金运用率的提高是在具体的资金调度、运转和使用中实现的，与教材中讲的利息计算次数无关；二、即便是在具体的利息计算中，自己与自己计算不会产生一分的经济效益，不会提高资金利用率；三、在与他人进行利息计算时，若采用通行的利率和计算方法，或原先双方商定的利率和计算方法，这不存在提高资金利用率的问题。若改变原定的利率和计算方法，这需要双方同意才行；四、即便是在具体的利息计算中，双方同意提高利息率，用这种加快计算次数得到的所谓连续复利计算，比直接商定提高若干百分点的方法也没有特别的实用之处。
所以，我们可以说，该教材的这种讲授是不对的。

出现这种讲述的原因是不懂所谓的连续复利到底是怎么回事，根本原因是到处被传播的连续复利本身就是错误的。

hebdzhg 发表于 2017-5-29 07:26
2011年中国人民大学出版社出版的《微积分（经管类）》说：公式(3） A(t)=A0ert  “仅是一个理论公式，在实际 ...

第一，公式A=A0*e^rt，在计算一些定价，如远期、期货、期权时比较准确，
第二，上述公式在求导积分时也非常简单，
第三，经济金融的模型只是一种近似模型，模型的好坏需要进行实证检验，同时模型也要易于运算，
所以，理论界和华尔街对于上述公式都认可。

1  公式A(t)= A。e^(rt)有广泛的应用，在求导积分中运算简单。
2   问题是，在给出（普通的）年利率r 时，用所谓连续复利计算公式A(t)= A。e^(rt)对?
             还是用A（t）= A。(1+r）^t= A。e^(tln(1+r)对?

           关键是 能不能根据A（t）= A。(1+r）^t推出   Am= A。（1+r/m）^(mt)再推出式连续复利公式A(t)= A。e^(rt)？
        就是当r=100%时，能不能根据A（t）= A。(1+100%）^t=A。*2^t？
                     推出A(t)= A。e^(t*100%)= A。*2.71828^t？
                 也就是能不能根据2推出2.71828？
     A（t）= A。(1+r）^t= A。e^(tln(1+r)对?
A（t）= A。(1+r）^t= A。e^(tln(1+r)是数学恒等变形。对t取任何数都是对的。
   3 一般来说，实际生活中的操作都是近似值，我们统计哪怕是一位农民小麦的产量都是近似的。
   许多情况的具体操作是近似的，存在操作误差。但理论不应当有方法误差 。
  经济金融的模型不都是近似的，例如，  最基本的复利模型A（t）= A。(1+r）^t就不是近似的。
A(t)= A。e^(rt)看似简单，但其中有无理数，在具体计算式，用A(t)= A。e^(rt)不比
A（t）= A。(1+r）^t简单。
4 ，理论界和华尔街对于上述公式都认可不应是我们判这个连续复利计算对错的标准。
在给出（普通的）年利率r 时，理论界和华尔街基本上都认可
从A（t）= A。(1+r）^t到A(t)= A。e^(rt)推导。
但有例外，英国人编的《核心金融概念:100条金融术语解读与应用》前边认同连续复利的推导，
在期权定价模型中应用A(t)= A。e^(rt)。又强调j将连续复利率r做代换。r=ln(1+R),R为普通利率，就是A(t)= A。e^(rt)=A。e^(tln(1+R))= A。(1+R）^t,
这就回到了公式A（t）= A。(1+R）^t, 这就又否定了连续复利的推导和概念。

即，前面讲错误的连续复利推导，应用时感觉到应用所谓连续复利计算，无端的扩大了年利率。
所以又通过代换降回到原来普通的年利率R.。

2003年高等教育出版社出版的《微积分》（大专使用）中有习题（该书55页）:
“3 .设年利率9%，现投资多少元，按连续复利计算，10年之末可得12000元？”
如果年利率是9%，再要求按所谓连续复利9%去计算，也就是将按年利率9%时的现值计算式                          p=12000(1+9%）^ (-10)
改为按连续复利9%时的现值计算式
p=12000e^(9%*（-10)）=12000*( e^0.09) ^（-10）
= 12000*1.09417^（-10)=12000(1+9.417%）^ (-10)
    即                   p=12000(1+9.417%）^ (-10)
所以，这个习题的等价叙述就是“设年利率 9%，现投资多少元，按年利率9.417% 计算，10年之末可得12000元”。
题目本身叙述上就是讲不通的，实际上是没有能理解连续复利到底是怎么回事，其根源在于所谓连续复利本身就不能正面理解。

9楼中     “设有有本金 A。元，年利率为 r。将一年一次计息分为一年m 次计息，按资金应有的时间价值，一个计息期1/m年的期利率则为（1+ r）^(1/m) - 1 ， 这样，一年计算m 次，得一年的本利和仍为
A。（1+（（1+ r）^(1/m))^m - 1)=A。（1+ r ）
年利率还是 r。”
本段叙述中，谈到年利率，只用到一个字母 r ，没有用“r。”  ，两处显示的 “r。”只是一个字母 r  "。"是句号。没有  “r。是名义年利率”   的问题。

对于复利公式 A（t）= A。(1+r）^t， 没有人解释它的正确性，因为它是正确的。
对于根据A（t）= A。(1+r）^t推出   Am= A。（1+r/m）^(mt)再推出的连续复利公式A(t)= A。e^(rt)，因为它不是正确的，所以总有人试图从各种角度解释它正确性。因为这种推导是错误的，所以各种对它正确性的解释都不会是正确的。
对这样推导出的连续复利公式A(t)= A。e^(rt)：1、数学推导不对。
2、这种推导没有基本的日常应用，它没有基本应用，也是因为它是错误的。
3、给出年利率r后，A(t)= A。e^(rt)在期权定价模型中有应用，一是，实际应用中年利率 r 值很小，用A(t)= A。e^(rt)计算产生的误差很小，存在的错误不易感觉到。二是，在实际的期权定价中，收益率是随机的，收益率没有确定的值，没法检验应用A(t)= A。e^(rt)的对错。所以存在的错误就更不易被发现了。
英国人编的《核心金融概念:100条金融术语解读与应用》中感受到了应用A(t)= A。e^(rt)产生错误，并做了纠正，但没能认识到产生错误的根源在于从A（t）= A。(1+r）^t到A(t)= A。e^(rt)的推导。所以前面还是讲了这个公式A(t)= A。e^(rt)。

将一般指数函数的性质理解为所谓连续复利公式的特性
2009年化学工业出版社出版的一本《应用数学》在推出连续复利模型A(t)= A。e^(rt)后说：
“采取连续复利，则t年后本息合计
A(t)= A。e^(rt)
等式两边微分，得到
dA/dt= rA。e^(rt)=rA(t)
这表明利率连续复合时，总金额增长速度和本金数额成正比”。
我们需要说明的是：一、在式子A（t）= A。(1+r）^t中，令时间变量t只取自然数，将式子写成A（n）= A。(1+r）^n,根据n 取自然数的约定，即可求得资金在任何一年的增长量为
A（n+1）-A(n)= A。(1+r）^（n+1）- A。(1+r）^n
= A。(1+r）^n*(1+r)-A。(1+r）^n
      = A。(1+r）^n*r= A(n)*r
这就有结论“总金额增长速度和本金数额成正比”。
二、当t取连续实数时,上述推导也成立，就是说，对A（t）= A。(1+r）^t ，无论t是否只取自然数，都有结论“总金额增长速度和本金数额成正比”。
三、当t取连续实数时，对任意A（t）= A。a^(bt)求导数，都
dA（t）/dt= A。a^(bt)blna, ( dA（t）/dt)/A(t)=blna
同样有结论“总金额增长速度和本金数额成正比”。
本例应是在找所谓连续复利模型的特性，其实这一特性是所有函数A（t）= A。a^(bt)都有的性质。这反映出，所谓连续复利模型实在没有可作正面理解之处。