如何计算等价补偿问题

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各位好，
         我最近在学习中级微观经济学时，对中级微观经济学学习指南的第14章的一道练习题有疑问，请各位帮忙解答下，
题目如下：
       某消费者的效用函数为u=x+10c-0.5c^2，其中，c表示他为每周的雪茄消耗量，x为他在其他商品上的消费额。该消费者的收入为200元/周，若雪茄的价格由每支1元上升到每支2元，则相当于收入减少多少？
答案为8.5元。

我的计算过程为：由效用函数得 雪茄c的最优解为10，因此雪茄的价格变化使收入减少10元。
请问我的做法哪里出现问题？
谢谢

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关键词：计算等 请各位帮忙解答下 中级微观经济学 级微观经济学 微观经济学 价格变化 经济学 练习题 消费者 消耗量

u=x+10c-0.5c^2

(1)
Pc=1
x+c=200
u=200+9c-0.5c^2
u'=9-c=0 的时候总效用最大，所以
c=9，x=191

(2)
Pc=2
x+2c=200
可以求得效用最大时
c=8，x=184

(3)
价格变化后跟价格变化前相比，x减少7元
雪茄减少1支，资金缺口是2元
所以收入相对减少=2+7=9，如果补充9元，就可以获得跟降价前同样的消费组合和同等的效用水平。

楼上给出的斯勒茨基补偿吧，但是答案跟楼主给的不一样，我算了一下补偿性变化结果跟楼主给的标准答案相同8.5。计算过程如下：
令X价格为1，M为收入初始为200，C价格为P。C的需求函数为C=10-P，X=M-PC=M-(10-P)P，将C、P带入效用函数。解得2(U-M)=(10-P)^2，本来应该为M(P,U)的形式，就是支出函数，但是这里没有必要。为了计算收入效应保持U不变，令上式U不变，P1=1,P2=2分别代入，两式相减削去U，可以得出M1-M2=-8.5即价格升高后要想保持效用不变需补偿8.5

3# xxdy
需求函数C=10-P是怎么来的？x的价格=1是你假定的啊，不能用MU1/MU2=P1/P2吧

4# xiaoliub

大哥我是看你“x+c=200”这么用的……同时因为X为其他物品的消费额,设其他物品价格Py,消费Y,那X=Py*Y，完全可以做价格为1的假定。
如果你还不放心，可也以计算：
Pc*C+Py*Y=M
U=x+10c-0.5c^2=Py*Y+10c-0.5c^2
这个求最大化U应该很清楚了吧，结果就是两边的Py都消掉了没有任何影响

parnwang 发表于 2009-12-2 15:04
各位好，
         我最近在学习中级微观经济学时，对中级微观经济学学习指南的第14章的一道练习题有疑问，请各位帮忙解答下，
题目如下：
       某消费者的效用函数为u=x+10c-0.5c^2，其中，c表示他为每周的雪茄消耗量，x为他在其他商品上的消费额。该消费者的收入为200元/周，若雪茄的价格由每支1元上升到每支2元，则相当于收入减少多少？
答案为8.5元。

我的计算过程为：由效用函数得 雪茄c的最优解为10，因此雪茄的价格变化使收入减少10元。
请问我的做法哪里出现问题？
谢谢

首先我们是根据谁的替代效应方程，是斯勒茨基替代效应还是希克斯的替代效应。前者要求不变的收入是指购买力不变，后者是效用水平不变。



根据斯勒茨基替代效应。

1， 初始状态的均衡 MUc=MUx=1:1 , 10-c=1,c=9,  x=200-9x1=191

新价格下的均衡，MUc/MUx=Pc/Px=2/1 , 10-c=2, c=8, x=200-8x2=184

购买力不变的预算约束  191+9x2=209   收入的变化认为是在新的价格水平下购买力不变的收入与现有收入的差值 209-200=9


希克斯替代效应

1 初始状态效用水平 U=191+90-0.5x81=240.5

   设保持效用不变的 预算约束为  M=x+2c, 在此预算约束下的均衡条件为 MUc/MUx=2/1,10-c=2,c=8,   x=M-2x8=M-16,

   此时还必须满足 U=240.5=M-16+80-32,  M =240.5-32=208.5,  减少的收入为208.5-200=8.5


两个不同收入变化主要是由于对收入的经济学意义的侧重点不一样，斯勒茨基强调购买力代表收入水平，而希克斯强调效用代表收入水平。

注意效用函数中X的意义：其他商品的消费额，这个额字说明X是直接进入效用函数的，不必考虑其他商品的价格。在其他商品上花了多少钱，就增加了等量的（基数）效用。
不用想太复杂，用数学来看：
预算约束为X+PC=200，当P=1时，X=200-C，代入效用函数，得U=200+9C-0.5C^2，成为无约束条件的极值问题，对C求导并使之等于零，得C1=9，此时U1=240.5；
当P=2时，有类似过程，得C2=8，U2=232；
U1-U2=8.5既是若价格不变而收入下降带来的效用减少量。不妨设下降后的收入为I，则X+C=I，把X=I-C代入U，得U=I+9C-0.5C^2，最优化的C3=9，U3=I+40.5。因为问题是效用不变的情况下以收入下降替代价格上升，所以应该令U3=U2，则I=191.5。
200-191.5=8.5即为所求。
另外，我想题目的意思是应该以下降后的效用为准，而不是楼上假设效用不变的补偿预算。虽然此处没有区别。

7# waasiyu
你这个做法其实我算过的，不过我当时是用X+2C=I去算的。
你的看法是对的，应该用X+C=I去计算，题目所谓相应收入减少是针对价格保持不变来说的，我所用的雪茄缺少一只，补偿2元不符合题目的意思。

6# sunrukun

请问我是否能这样理解，如下：
首先，分别求出雪茄在不同价格、收入不变的情况下的最优解，进而求出其相应的效用值
然后，将效用之差归结为收入之差，因为，雪茄的需求函数与收入无关。
？

parnwang 发表于 2009-12-3 15:59
6# sunrukun

请问我是否能这样理解，如下：
首先，分别求出雪茄在不同价格、收入不变的情况下的最优解，进而求出其相应的效用值
然后，将效用之差归结为收入之差，因为，雪茄的需求函数与收入无关。
？

对的，需求函数 是 P=10-C,。 将效用之差归结为收入之差，可以这样理解，效用之差对应的收入之差是收入的变化。而效用的变化是根据具体的效用函数，而效用值没有太大的实际意义，效用差有实际意义，表示偏好的变化。 呵呵有点辩证呀。