数学分析考研真题练习一

湖南师范大学数学分析2017真题


解：
                  $\because x_{n+2}=\sqrt{x_n^2-2ax_n+2a^2},$

                  $\Rightarrow x_{n+2}^2-a^2=(x_n^2-a)^2> 0,$

                    $\therefore x_{n+2}> a.$

                  $\because x_{n+2}^2-x_n^2=-2ax_n+2a^2=2a(a-x_n)< 0,$

                  $\therefore x_{n+2}< x_n.$

                  $\Rightarrow x_n\downarrow ,x_n> a.$极限存在。
      
                 设：
                    $\displaystyle \lim_{n \to \infty }x_n=l,$

                   $l^2=l^2-2al+2a^2,\Rightarrow l=a.$

                    $\therefore \displaystyle \lim_{n \to \infty }x_n=a.$

湖南师范大学数学分析2017真题



证明：因为$f(x)$在闭区间内连续，所以一致连续。

                     $0< x_1< x_2< 1,\Rightarrow  x_1^n< x_2^n< 1.$

                     $\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0,0< |x_1-x_2|< \delta,s.t.$

                      $|f(x_1)-f(x_2)|< \varepsilon,$

                      $\therefore |g_n(x_1)-g_n(x_1)|= |x_1^nf(x_1)-x_2^nf(x_2)| \leq x_2^n|f(x_1)-f(x_2)|< \varepsilon . $

重庆理工大学2017年601 数学分析 A卷


解1、
                $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.$

    2、
                $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x+\sin x}{x+\cos x}=1.$


    3、
                 $\frac{7^n}{n!}=\frac{7\cdot7\cdots 7}{1\cdot 2\cdots 7}\cdot \frac{7\cdot 7\cdots 7}{8\cdot 9\cdots n}< (\frac{7}{8})^{n-7}< \varepsilon ,(n\to +\infty )$

重庆理工大学2017年601 数学分析 A卷


解 4、题中应该是对$n\to\infty $求极限而非对$n\to\infty $求极限。

                      $\displaystyle \lim_{n\to\infty }(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdots (1+x^{2^n})=\lim_{n\to\infty }\frac{(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdots (1+x^{2^n})}{1-x}=\lim_{n\to\infty }\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}=\frac{1}{1-x}.$


     5、
                       $\displaystyle \lim_{n\to\infty }2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^{2^n}}}=2^{\lim_{n\to\infty }\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}}=2.$


     6、
                        $\lim_{x\to \infty }\frac{(\int_{0}^{x}e^{t^2}dt)^2}{\int_{0}^{x}e^{2t^2}dt}=\lim_{x\to \infty }\frac{2e^{x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}dt}{e^{2x^2}}=\lim_{x\to \infty }\frac{2e^{x^2}}{2xe^{x^2}}=0.$

重庆理工大学2017年601 数学分析 A卷


解： 1、
                       $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\cos 2x-\sqrt{\cos 2x}}{\sqrt{1+x^2}-1}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\frac{1}{2}x^2-1+\frac{1}{2}\cdot 2\sin^2x}{\frac{1}{2}x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{-x^2+2x^2}{x^2}=1.$


      2、
                       $\displaystyle \because |\lim_{(x,y)\to (0,0)}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}|\leq \frac{1}{2}\lim_{(x,y)\to (0,0)}|x^2-y^2|=0.$

                        $\displaystyle \therefore \lim_{(x,y)\to (0,0)}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=0.$

重庆理工大学2017年601 数学分析 A卷


解：用定义证明。
                         $\because f(1)=0,$

                              $\displaystyle \lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}(x-1)\ln(1+x^2)=0,$

                              $\displaystyle \lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}(1-x)\ln(1+x^2)=0,$

                        $\displaystyle \therefore \lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^-}f(x)=f(1)=0.$
   
                  因此在$x=1$处，函数连续。 又

                   $\displaystyle \because f'(1^+)=\lim_{x\to 1^+}\frac{(x-1)\ln(1+x^2)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^+}\frac{(x-1)\ln(1+x^2)-0}{x-1}=\ln2.$

                              $\displaystyle f'(1^-)=\lim_{x\to 1^-}\frac{(1-x)\ln(1+x^2)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^-}\frac{(1-x)\ln(1+x^2)-0}{x-1}=-\ln2.$

                       $\therefore f'(1^+)\neq f'(1^-).$

                   故，在$x=1$处，函数不可导。

重庆理工大学2017年601 数学分析 A卷


解：

             $f'(x)=\sqrt{1-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=2\sqrt{1-x^2}.$

重庆理工大学2017年601 数学分析 A卷



基本计算题，略。

重庆理工大学2017年601 数学分析 A卷


解：
                     $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\frac{\partial y}{\partial t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}=\frac{9a\sin^2x\cos x}{-9a\cos^2x\sin x}=-tan x.$

                     $\frac{\mathrm{d} ^2y}{\mathrm{d} x^2}=\frac{\mathrm{d} (\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x})}{\mathrm{d} x}=-\sec^2x.$

重庆理工大学2017年601 数学分析 A卷


解：6、
                  $t=e^{-x},dt=-tdx,$

                  $\int_{0}^{\ln 2}\sqrt{1-e^{-2x}}dx=\int_{1}^{1/2}\frac{\sqrt{1-t^{2}}}{-t}dt=\sqrt{1-t^2}|_{1/2}^1+\ln\frac{1-\sqrt{1-t^2}}{t}|_{1/2}^1=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\ln(2-\sqrt{3}).$


      7、
                  $\begin{align*}\int \frac{\ln(1+x)}{x^2}dx&=-\frac{\ln (1+x)}{x}+\int \frac{1}{x(1+x)}dx\\\\&=-\frac{\ln (1+x)}{x}+\int(\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x})dx\\\\&=-\frac{\ln (1+x)}{x}+\ln x-\ln(1+x)+C.
\end{align*}$