数学分析考研真题练习一

西南大学2008年数学分析试题


帖一个更为一般的命题的证明，如下。（本题为其特例）

湖南师范大学数学分析2017真题

解：1、
                        $\because q> p.$

                        $\therefore \frac{1}{x^p+x^q}< \frac{1}{x^p},$

                  所以，当$p> 1$时，反常积分收敛。又

                        $\because \frac{1}{x^p+x^q}> \frac{1}{2x^q},$

                  因此，当$q\leq 1$时，反常积分发散。

     2、过两曲面交线上一点的法平面方程为：
                           $\begin{vmatrix}
F_y &F_z \\
G_y & G_z
\end{vmatrix}(x-x_0)+\begin{vmatrix}
F_z &F_x \\
G_z & G_x
\end{vmatrix}(y-y_0)+\begin{vmatrix}
F_x &F_y \\
G_x & G_y
\end{vmatrix}(z-z_0)=0,$


                           $\therefore \begin{vmatrix}
0 &6 \\
2 & 6
\end{vmatrix}(x-1)+\begin{vmatrix}
6 &2 \\
6 & 0
\end{vmatrix}(y-1)+\begin{vmatrix}
2 &0 \\
0 & 2
\end{vmatrix}(z-3)=0,$

                    所求法平面方程为：

                                         $3x+3y-z-3=0.$
                  

     3、
                $\int_{-1}^{1}（\frac{\sin x}{1+x^2}+\sqrt{1-\cos^22x}）dx=2\int_{0}^{1}\sqrt{1-\cos^22x}dx=2\int_{0}^{1}\sin2xdx=-\cos2.$

湖南师范大学数学分析2017真题


解：4、
                 $R=\frac{3^n}{3^{n+1}}=\frac{1}{3}.$

                  $(2x-1)^2< \frac{1}{3}.$

                  $\begin{cases}
2x-1+\frac{1}{\sqrt{3}} &> 0 ;\\
2x-1+\frac{1}{\sqrt{3}} &<  0;
\end{cases}
\begin{cases}
2x-1+\frac{1}{\sqrt{3}} &< 0 \\
2x-1+\frac{1}{\sqrt{3}} &> 0
\end{cases}$

                 $\Rightarrow \frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}< x < \frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}}.$
     
                 $x\in [\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}},\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}}].$

   5、
                  $-\frac{1}{3}-1=-\frac{4}{3}.$

湖南师范大学数学分析2017真题


解：6、
               $\int \frac{\ln(x+\sqrt{1+x^2})}{\sqrt{1+x^2}}dx=\int\ln(x+\sqrt{1+x^2})d(\ln(x+\sqrt{1+x^2}))=\frac{1}{2}\ln^2(x+\sqrt{1+x^2})+C.$


      7、
               $\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\iint_D (2x+\cos y-2x-\cos y+1)dxdy=1.$

湖南师范大学数学分析2017真题


解：8、
                  $u=\frac{x}{y},$

                  $\frac{\partial z}{\partial x}=f'_x+\frac{1}{y}f'_u,$

                   $\therefore \frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=f''_{xx}+\frac{2}{y}f''_{ux}+\frac{1}{y^2}f''_{uu}.$


       9、
                   $\iint_D e^{x^2+y^2}dxdy=\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1}re^{r^2}dr=\pi (e-1).$

湖南师范大学数学分析2017真题


解：
                 $g(x)=\int_{0}^{x}yf(x-y)dy=\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt=x\int_{0}^{x}f(t)dt-\int_{0}^{x}tf(t)dt,$

                 $g'(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt+xf(x)-xf(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt,$

                  $\therefore g''(x)=f(x).$

湖南师范大学数学分析2017真题

（第2题与前面某题类似，略）

湖南师范大学数学分析2017真题


解：不对。反例如狄利克雷（Dirichlet）函数。

       狄里克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意负有理数和正有理数。因为不存在最小负有理数和正有理数，所以狄里克莱函数不存在最小正周期。

湖南师范大学数学分析2017真题


证明：此题出处应该是吉米多维奇《数学分析习题集》3963.
          作如下的变量变换：

                              $\begin{cases}
u &=\frac{ax+by}{\sqrt{a^2+b^2}} \\\\
v &=\frac{bx-ay}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{cases}\Leftarrow \begin{cases}
x &=\frac{au+bv}{\sqrt{a^2+b^2}} \\\\
y &=\frac{bu-av}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{cases}$

               积分区域：$u^2+v^2=x^2+y^2\leq 1,|J|=1.$      

               $\begin{align*}\therefore \underset{x^2+y^2\leq 1}{\iint} f(ax+by+c)dxdy&=\int_{-1}^{1}du\int_{-\sqrt{1-u^2}}^{\sqrt{1-u^2}}f(u\sqrt{a^2+b^2}+c)dv\\\\&=2\int_{-1}^{1}\sqrt{1-u^2}f(u\sqrt{a^2+b^2}+c)du.
\end{align*}$           

湖南师范大学数学分析2017真题


解：添加z=0平面，方向向下，与$S$组成一个闭合曲面$\Sigma $.再运用高斯公式计算。

                      $\begin{align*}I&=\iint_\Sigma -\iint_{z=0}\\\\&=\iiint_\Omega -(\frac{a+2(a+z)}{a}) dV- \iint_{z=0}adxdy\\\\&=\iiint_\Omega -(\frac{3a+2z}{a}) dV-\pi a^3\\\\&=-3\pi a^3-2\iiint_\Omega \frac{z}{a}dV\\\\&=-3\pi a^3-\frac{2}{a}\iint\int_{-\sqrt{a^2-x^2-y^2}}^{0}zdxdydz\\\\&=-3\pi a^3+\frac{2}{a}\iint(-a^2+x^2+y^2)dxdy\\\\&=-3\pi a^3+\frac{2}{a}\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{a}r^3dr\\\\&=-3\pi a^3+\frac{2}{a}(\frac{5}{4}\pi a^4)\\\\&=-\frac{1}{2}\pi a^3.
\end{align*}$