在研究一定货币预算与购买不同商品数量效用最大化时有以下公式:
P1X1+P2X2+…PnXn=m
U=U1+U2+…Un
P价格,X商品数量,U效用。
如果使U最大化必须有:
MU1/P1=MU2/P2=…MUn/Pn=λ
MU为商品边际效用,λ为拉格朗日常数。
推理如下:
构筑拉格朗日方程:
Φ=U+λ(P1X1+P2X2+…PnXn-m)
有:
MU1-λP1=0
MU2-λP2=0
……
MUn-λPn=0
所以:MU1/P1=MU2/P2=…MUn/Pn=λ
货币边际效用定义为:货币变化引起的商品数量变化导致的商品效用变化。
MUm=dU/dm
MUm货币边际效用,dU商品效用变化,dm货币数量变化。
考虑到:
dU=dU1+dU2+…+dUn
=MU1dX1+MU2dX2+…MUndXn
=λP1dX1+λP2X2+…λPnXn
=λ(P1dX1+P2dX2+…+PndXn)
dm=P1dX1+P2dX2+…PndXn
所以有:
dU/dm=λ
所以:
拉格朗日常数λ的意义是货币边际效用MUm=dU/dm。
严格说来,这不是货币边际效用不变,而是货币边际效用是一个定值。
也就是说以下式成立才能确保总效用最大:
MUm=dU/dm=MU1/P1=MU2/P2=…MUn/Pn
所以,货币边际效用不变是一个不准确的说法:把某种特殊情况的货币边际效用是一个定值,说成是货币边际效用在一般情况下是不变的了。
事实上仅凭以上公式是无法求得X1、X2、X3、……、Xn的,还需要知道不同商品的边际效用函数MU1、MU2、MU3、……、MUn。
假设某种商品的餍足量为A,边际效用直线递减,边际效用MU可以表示为:MU=2(A-X)/A2(2是幂)。