基数效用与序数偏好的统一

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基数效用在说效用时，一般说的是消费者在一定时间内消费一种商品获得的满足程度，用效用曲线表示效用情况，在餍足量处效用最大，假设边际效用直线递减。

序数偏好在说偏好时，一般是说消费者在一定时间内对两种商品不同数量组合偏好一致，用无差异曲线表示这种组合情形，两种商品不同数量相同偏好的组合称为消费束。序数偏好假设两种商品数量均小于餍足量，没有达到餍足量。

基数效用在研究消费者行为方面无所作为，后来竟被序数偏好取而代之了。中高级经济学不研究基数效用只研究序数偏好。偏好有完备性、反身性、传递性三个公理。

无差异曲线显然对应着某种函数，序数偏好论把无差异曲线的函数称为“效用函数”而不是“偏好函数”，这里的效用不是基数效用中“满足程度”意义，只是偏好的一种赋值。

但真正把无差异曲线表示为相同满足程度即效用也是可以的，这时无差异曲线的函数就是“有餍足量”的两种商品的基数效用之和——是椭圆方程（1/4椭圆）。事实上。绝大部分商品组合是这种情形。这时序数偏好其实变为基数效用了——基数效用与序数偏好统一了。

人们都认为基数效用很难量化，其实有餍足量的商品，边际效用直线递减的商品，基数效用量化是很容易的事。

假设A为商品1餍足量，X为商品1消费数量，B为商品2餍足量，Y为商品2消费数量。假设A大于B。假设商品的边际效用直线递减不变，在达到餍足量时边际效用为0。
    可推出：

商品1效用曲线方程：Ux=-X(X-2A)/A2(2是幂）

商品2效用曲线方程：Uy=-Y(Y-2B)/B2（2是幂）

商品效用曲线方程的最小值是0，最大值是1或100%。效用是一个相对指标，是消费量与餍足量对比的指标，一般用百分数表示，100%表示效用最大，100%满足。
    无差异曲线方程可以表示为：

U=Ux+Uy=C（C为定值，C小于等于200%）。
    将Ux=-X(X-2A)/A2（2是幂）与Uy=-Y(Y-2B)/B2（2是幂）代入可得：
   （X-A）2（2是幂）/(2-C)A2（2是幂）+(Y-B)2（2是幂）/(2-C)B2（2是幂）=1
    令：(2-C)A2（2是幂）=a2（2是幂），(2-C)B2（2是幂）=b2（2是幂）
    可得：（X-A）2（2是幂）/a2（2是幂）+(Y-B)2（2是幂）/ b2（2是幂）=1
    这是以点（A,B）为中心，以a为长半轴b为短半轴的椭圆方程。

有餍足量的无差异曲线是1/4椭圆（因为假设商品数量小于餍足量）。

有餍足量的无差异曲线椭圆簇部分，在点（0，0）、（A，0）、（A，B）、（O,B）这个矩形范围内。

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关键词：无差异曲线 消费者行为 高级经济学 边际效用 效用函数