数学分析习题题练习四

西南大学2020年数学分析考研真题


解：
（1）、
                    $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{1^n+2^n+\cdots +100^n}=100.$


（2）、
                   $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\int_{0}^{x^2}\sin t^2dt}{x^6}=\lim_{x\to 0}\frac{2x\sin x^4}{6x^5}=\frac{1}{3}.$


（3）、利用积分奇偶性、对称性，有

                  $\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{x+x^3+\cos x}{1+\sin^2x}dx=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\cos x}{1+\sin^2x}dx=2\arctan(\sin x)|_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$

西南大学2020年数学分析考研真题



是比较基础的题，不难。（略）

西南大学2020年数学分析考研真题



证明：$(\Rightarrow )$
                        由已知条件，有
                                  $\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0,|x_0-x|< \delta ,s.t.$

                                   $|f(x)-f(x_0)|< \varepsilon .$
                        而此时，由已知可知,满足
                                   $\forall \varepsilon > 0,\exists N,n> N,s.t.$

                                   $|f(x_n)-f(x_0)|< \varepsilon .$

         $(\Leftarrow )$
                      由条件可得
                                   $\forall \varepsilon > 0,\exists N,n> N,s.t.$
                     
                                     $|f(x_n)-f(x_0)|< \varepsilon .$
                         取
                                    $x\geq x_n,$而此时显然满足
                                           $\exists \delta > 0,|x_0-x|< \delta. $
                           又
                                     $ \because f(x)\uparrow,$

                                     $\therefore |f(x)-f(x_0)| \leq |f(x_n)-f(x_0)|< \varepsilon .$（因为在左侧邻区间）

                    所以命题成立。

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证明：
                            $\displaystyle \because |f(x)|\leq |\sin x|,$

                            $\displaystyle \therefore \frac{|f(x)|}{|\sin x|}=|a_1+a_2\frac{\sin 2x}{\sin x}+\cdots +a_n\frac{\sin nx}{\sin x}|\leq 1,$

                             $\displaystyle \Rightarrow \lim_{x\to 0}\frac{|f(x)|}{|\sin x|}=|a_1+2a_2+\cdots +na_n|\leq 1.$

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证明：由已知
                                $\displaystyle \lim_{x\to -\infty }f(x)=A< \infty ,$
                 有
                               $\forall \varepsilon > 0,\exists G> 0,x< -G,s.t.$

                                $|f(x)-A|< \varepsilon ,$
                   将区间分为
                                  $(-\infty,-G]\cup [-G,a]=(-\infty,a],$

                                 $\because f(x)\in C[-G,a],$所以，在此有限闭区间内一致连续。
                       而
                                  $\forall \varepsilon > 0,\forall x_1,x_2\in(-\infty,-G],s.t.$

                                   $|f(x_1)-A|< \varepsilon ,|f(x_2)-A|< \varepsilon .$
                     故
                                   $|f(x_1)-f(x_2)|< |f(x_1)-A|+ |f(x_2)-A|< 2\varepsilon.$一致连续。

                      综合所得，命题成立。



                              

西南大学2020年数学分析考研真题


证明：
           由已知可知，$x=0$为$g(x)$的特殊点，很显然，在$x$非零区间内，$g(x),g'(x)$连续。可以求得
                                 $\begin{align*}g'(0)&=\lim_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{f(x)}{x}-f'(0)}{x}\\\\&=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-xf'(0)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{2x}\\\\&=\frac{1}{2}f''(0).\end{align*}$

             在$x\neq 0$的点，有
                                $g'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2},$

                 由于
                              $\begin{align*}\lim_{x\to 0}g'(x)&=\lim_{x\to 0}\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)+f''(x)-f'(x)}{2x}\\\\&=\lim_{x\to 0}\frac{xf''(x)}{2x}=\frac{1}{2}f''(0)\\\\&=g'(0).\end{align*}$

                  所以，$g'(x)$在$x=0$点，连续。

                综合所知，$g'(x)$连续。

西南大学2020年数学分析考研真题


证明
                        $\displaystyle \because \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0,$

                          $\displaystyle \therefore f(0)=0,f'(0)=0.$

            由泰勒公式
                           $\displaystyle f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2+o(x^2)=\frac{1}{2}f''(0)x^2+o(x^2),$

                             $\displaystyle \therefore \sqrt{n}f(\frac{1}{n})=\frac{f''(0)}{2}\frac{1}{\sqrt{n^3}}+o(\frac{1}{\sqrt{n^3}}),$

                              $\displaystyle \because \sqrt{n^3}\cdot \sqrt{n}|f(\frac{1}{n})|=\frac{|f''(0)|}{2},(n \to \infty )$

                 因为级数
                                 $\displaystyle \sum \frac{1}{\sqrt{x^3}}< \infty ,$

                    因此，有
                                $\displaystyle \Rightarrow \sum \sqrt{n}|f(\frac{1}{n})|< \infty .$

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证明：

西南大学2020年数学分析考研真题：证明题四、八为历届考研已经考过的原题。总的来说难度一般，证明题六考定理，好象也是很多学校曾经考过。

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解：
                           $\because \sin x=x+o(x),\cos x=1-\frac{1}{2}x^2+o(x^2),,e^x=1+x+o(x).$

                           $\begin{align*}\therefore \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x^{\sin x}}{x^3}&=\lim_{x\to 0}\frac{1-(1-\frac{1}{2}x^2+o(x^2))^{-\frac{2}{x^2}\frac{-x^3}{2}}}{x^3}\\\\&=\lim_{x\to 0}\frac{1-e^{-\frac{x^3}{2}}}{x^3}\\\\&=\lim_{x\to 0}\frac{1-1+\frac{x^3}{2}}{x^3}\\\\&=\frac{1}{2}.\end{align*}$