数学分析习题题练习四

2020年全国大学数学竞赛（非数学类）模拟题二


解：
                          $\displaystyle \because e^{-y}+\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt-y+x=1,$

                          $\displaystyle \therefore -y'e^{-y}+e^{-x^2}-y'+1=0,$

              由此得
                           $\displaystyle y'=\frac{e^{-x^2}+1}{e^{-y}+1}> 0,$

              因此，有
                             $\displaystyle y\uparrow ,\lim_{x\to+\infty}y=a$,或者$+\infty.$

                 将$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}y=a,$代入已知方程，不成立。故必有

                              $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}y=+\infty.$

                 进而得到
                              $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}y'=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{-x^2}+1}{e^{-y}+1}=1.$

2020年全国大学数学竞赛（非数学类）模拟题二


解：
             由已知，得
                              $\begin{align*}a_n^2-1&=(a_n+1)(a_n-1)=2a_{n-1}^2(a_n-1)=2a_{n-1}^2(2a^2_{n-1}-2)\\\\&=2^2a^2_{n-1}(a^2_{n-1}-1)=2^4a^2_{n-1}a^2_{n-2}(a^2_{n-2}-1)\\\\&=\cdots =2^{2n}(a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_1)^2(a_{1}-1)\\\\&=2(2^na_{n-1}a_{n-2}\cdots a_1)^2,
\end{align*}$

               由上式，可知有
                                  $\displaystyle \lim_{n \to \infty }a_n=+\infty ,$

              故而
                                  $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{a_n}{2^na_{n-1}a_{n-2}\cdots a_1}=\lim_{n \to \infty }\frac{a_n}{\sqrt{\frac{a^2_n-1}{2}}}=\sqrt{2}.$

2020年全国大学数学竞赛（非数学类）模拟题二


证明：先进行交换积分次序
                                    $\begin{align*} \int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1}(xy)^{xy}dy&=\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx\int_{0}^{x}t^tdt\\\\&=\int_{0}^{1}t^tdt\int_{t}^{1}\frac{1}{x}dx\\\\&=-\int_{0}^{1}t^t\ln tdt\\\\&=\int_{0}^{1}x^xdx-\int_{0}^{1}x^x(\ln x+1)dx,\end{align*}$

                 又
                                 $\because \int_{0}^{1}x^x(\ln x+1)dx=\int_{0}^{1}e^(x\ln x)d(x\ln x)=e^{x\ln x}|_0^1=0.$

                                 $\therefore \int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1}(xy)^{xy}dy=\int_{0}^{1}x^xdx.$

2020年全国大学数学竞赛（非数学类）模拟题二


解：由已知方程在$[0,1]$上对$x$积分，得
                            $\int_{0}^{1}f(x+y)dx=\int_{0}^{1}f(x)dx+f(y)\int_{0}^{1}xy(x+y)dx,$

           对等式左边进行变量变换并整理得
                            $\int_{y}^{y+1}f(t)dt=\int_{0}^{1}f(x)dx+f(y)+\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}y^2,$

             再对上式对$y$求导，得
                             $f(y+1)-f(y)=f'(y)+\frac{1}{3}+y,$

             又，对已知方程式，令$x=1$，得到
                               $f(y+1)-f(y)=f(1)+y(y+1)=\frac{2}{3}+y^2+y,(\because f(1)=\frac{2}{3})$

               由上述两式，得到
                                $f'(y)+\frac{1}{3}+y=\frac{2}{3}+y^2+y,$

                                $\Rightarrow f'(y)=\frac{1}{3}+y^2,$

                  再由上式求积，得
                                $f(x)=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}x^3.$

2020年全国大学数学竞赛（非数学类）模拟题二


证明：
                                  $\displaystyle \because 2x_{n+1}=x_n+\sqrt{x^2_n+\frac{1}{n^2}},$

                                   $\displaystyle \therefore 2x_{n+1}=x_n+\sqrt{x^2_n+\frac{1}{n^2}}> 2x_n,$

                                   $\displaystyle \Rightarrow x_{n+1}> x_n,x_n\uparrow.$单调。

                  又
                                  $\displaystyle \because 2x_{n+1}=x_n+\sqrt{x^2_n+\frac{1}{n^2}}< x_{n+1}+\sqrt{x^2_n+\frac{1}{n^2}}, $

                                   $\displaystyle \therefore x_{n+1}< \sqrt{x^2_n+\frac{1}{n^2}},$

                                   $\displaystyle \Rightarrow x^2_{n+1}< x_n^2+\frac{1}{n^2}< \cdots < x^2_1+1+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2},$

                 而由
                                   $\displaystyle \because 1+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}< \infty ,(n \to \infty )$
               
                                    $\displaystyle \therefore x^2_{n+1}< M,$有界。

                  由数列单调有界性，知
                                     $\Rightarrow \displaystyle  \lim_{n \to \infty }x_n< \infty .$

中国科学技术大学2020年考研数分试题


解：
               $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{(1+x^2)^{3/2}-\cos x}{\sin x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{1+\frac{3}{2}(x^2)+o(x^2)-1+\frac{1}{2}x^2+o(x^2)}{x^2+o(x^2)}=2.$

中国科学技术大学2020年考研数分试题


解：
          $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\int_{0}^{x}f(t)(x-t)dt}{x\int_{0}^{x}f(2x-2t)dt}=\lim_{x\to 0}\frac{\int_{0}^{x}f(t)dt+xf(x)-xf(x)}{xf(0)}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{f(0)}=1.$

中国科学技术大学2020年考研数分试题


用链式求导法，（略）

中国科学技术大学2020年考研数分试题


解：根据积分对称性质，得
                             $I=\iiint_V(\sqrt{x^2+y^2+z^2}+x^5+y^2\sin y)dV=\iiint_V\sqrt{x^2+y^2+z^2}dV,$

              采用球面坐标系计算
                               \begin{cases}
x=r\sin\theta \cos \varphi &,0\leq r\leq 2\cos \theta , \\
y=r\sin \theta \sin \varphi &, 0\leq \varphi \leq 2\pi, \\
z=r\cos \theta &,0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}
\end{cases}

                               $|J|=r^2\sin \theta ,$

                               \begin{align*}I&=\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta d\theta \int_{0}^{2\cos \theta }r\cdot r^2dr\\\\&=\frac{1}{4}\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cdot 16\cos^4\theta  d\theta\\\\&=-\frac{8}{5}\pi\cdot (\cos^5\theta )|_0^{\pi/2}\\\\&=\frac{8}{5}\pi.
\end{align*}

中国科学技术大学2020年考研数分试题


解：
              作一个包含原点的椭球面$\Sigma _1:4x^2+2y^2+z^2=\varepsilon ^2,(\varepsilon \leq 1),$取$\Sigma _1$所包围的闭合区域为$\Omega _1$,方向向外。取由曲面$\Sigma -\Sigma _1$所围的闭合区域为$\Omega _2$.

                则
                                   $\displaystyle I=\iint_\Sigma \frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{(4x^2+2y^2+z)^{\frac{3}{2}}} =I_1+I_2,$

                 其中
                                    $\displaystyle I_1=\iint_{\Sigma _1}\frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{(4x^2+2y^2+z)^{\frac{3}{2}}}  ,$

                                     $\displaystyle I_2=\iint_{\Sigma-\Sigma_1}\frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{(4x^2+2y^2+z)^{\frac{3}{2}}} .$

       则在$\Omega _2$上，有
                                    $\displaystyle \because \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial x}+\frac{\partial R}{\partial x}=0.$

                                    $\displaystyle \therefore I_2=\iiint_{\Omega _2} (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial x}+\frac{\partial R}{\partial x})dV=0.$

            因此
                                    $\begin{align*}\therefore I&=I_1+I_2\\\\&=\iint_{\Sigma _1}\frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{(4x^2+2y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}+0\\\\&=\frac{3}{\varepsilon ^3}\iiint_{\Omega_1}dV\\\\&=\frac{3}{\varepsilon ^3}\cdot \frac{4}{3}\pi\varepsilon \cdot \sqrt{2}\varepsilon \cdot 2\varepsilon \\\\&=8\sqrt{2}\pi.\end{align*}$

               其中椭球体积公式为
                                    $\iiint_{\Omega_1}dV=\frac{4}{2}\pi abc.$


注:1、此题还是有些技巧，是下列典型题的变体：
                                   $\displaystyle \iint_V\frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}$

积分区域是球或椭球面。这种类型相对容易，方法相同。
    2、一直在寻找上面这种方法的解题支持，今天在《研究生入学考试数学分析真题集解》（下册 梁志清，黄军华，钟镇权编著,2016）p1085,上找到了一个相同的解法依据。可参照。这样的方法可避免面对椭圆积分的问题。