数学分析习题题练习四

安徽师范大学2020年601数学分析真题


解
                          $\displaystyle \because \frac{1}{n}\leq a_n\leq \frac{n-1}{n},$

                          $\displaystyle \therefore \lim_{n \to \infty }a_n=0,\lim_{n \to \infty }a_n=1.$

                 因此，聚点为：$0,1$。

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证明：
                    不妨设$a<b$,任取一点$a<x<b$,则由对称性可知有
                                 
                                    $f(x)=f(x-2(x-a))=f(x+2(b-x))$

                       显然，当$x$取定时，$(x-a),(b-x)$都是固定的。由于$x$的任意性，所以$f(x)$是周期函数。

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解：
                       $\displaystyle \because 2020^x=e^{x\ln2020}=1+x\ln2020,$

                               $\displaystyle x^{2020}=e^{2020\ln x}=1+2020\ln x,$

                        $\begin{align*}\therefore \lim_{x\to 2020}\frac{2020^x-x^{2020}}{x-2020}&=\lim_{x\to 2020}\frac{1+x\ln2020-1-2020\ln x}{x-2020}\\\\&=\lim_{x\to 2020}\frac{\ln2020-2020/x}{1}\\\\&=\ln2020-1.\end{align*}$

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证明：
                              $\displaystyle \forall \varepsilon > 0,x_1,x_2\in (0,1],x_1> x_2,\exists \delta =\frac{x^2_2}{A}\varepsilon > 0,(A=\max \{|\sin\frac{1}{x_1}|,|\sin\frac{1}{x_2}|\}),$

                              $\displaystyle |x_1-x_2|< \delta ,s.t.$

                              $\begin{align*}|f(x_1)-f(x_2)|&=|\frac{1}{x_1}\sin\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\sin\frac{1}{x_2}|\\\\&\leq A|\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}|\leq \frac{A}{x_2^2}|x_1-x_2|\\\\&< \frac{A}{x_2^2}\cdot \delta =\varepsilon .\end{align*}$

                   因此，$f(x)$一致连续。

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解：

                           $\begin{align*}I&=\int \frac{\sin x}{2\sin x+\cos x}dx=\int \frac{\tan x}{2\tan x+1}dx\\\\&=\int \frac{t}{2t+1}\cdot (t^2+1)dt=\frac{1}{2}\int  (1-\frac{1}{2t+1}) (t^2+1)dt\\\\&=\frac{1}{6}t^3+\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}\int \frac{t^2+1}{2t+1}dt\\\\&=\frac{1}{6}t^3+\frac{1}{2}t-\frac{1}{8}\int \frac{(2t)^2+1}{2t+1}dt\\\\&=\frac{1}{6}t^3+\frac{1}{2}t-\frac{1}{8}t^2+\frac{1}{8}t-\frac{1}{4}\int \frac{1}{2t+1}dt\\\\&=\frac{1}{6}t^3-\frac{1}{8}t^2+\frac{5}{8}t-\frac{1}{8}\ln (2t+1)+C\\\\&=\frac{1}{6}\tan^3x-\frac{1}{8}\tan^2x+\frac{5}{8}\tan x-\frac{1}{8}\ln (2\tan x+1)+C.\end{align*}$

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解：
                              $\displaystyle \because e^x=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}x^n,$

                              $\displaystyle \therefore \sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}e^{-1}=\frac{1}{e}\cdot e=1.$

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解：
               令
                                  $\displaystyle F(x,y,z)=xyz-1=0,$

                在$(x_0,y_0,z_0)$点的法向量为：
                                 $\displaystyle (y_0z_0,x_0z_0,x_0y_0),$

                而在该点的切平面为：
                                 $\displaystyle (x-y_0z_0)+(y-x_0z_0)+(z-x_0y_0)=0.$

                切平面在坐标轴上的交点为：
                                 $\displaystyle (y_0z_0+x_0z_0+x_0y_0,0,0),(0,y_0z_0+x_0z_0+x_0y_0,0),(0,0,y_0z_0+x_0z_0+x_0y_0),$

                   从而锥体的体积为：
                                 $\displaystyle \therefore V=\frac{1}{6}(y_0z_0+x_0z_0+x_0y_0)^3.$

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解：
         可以利用格林公式计算

                                          $\begin{align*}I&=\oint_{x^2+y^2=1}xy^2dy-yx^2dx\\\\&=\iint_D(y^2+x^2)dxdy\\\\&=\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1}r^3dr\\\\&=\frac{\pi}{2}.\end{align*}$