数学分析习题题练习四

2020年全国大学数学竞赛（非数学类）模拟题一


证明：（1）、
                         $\because f(0)=f(1)=0,$

                         $\therefore \exists x_0\in(0,1),s.t.f'(x_0)=0.(Rolle)$
            由已知
                          $f''(x)<0.$
               故有
                         $f(x_0)=M=\underset{0\leq x\leq 1}{\max}\{f(x)\},$
               又
                         $f'(\xi)=\frac{f(x_0)-f(0)}{x_0}=\frac{M-0}{x_0}=\frac{M}{x_0},$
               而
                          $\because x_0< 1,\therefore f'(\xi)> M.$
               由极大值点性质及已知条件，有
        
                           $f'(x_0)=0,f'(x)\in C(0,1),$
                 由介值定理知
                           $\exists x_n\in(\xi,x_0)\subset (0,1),s.t.f'(x_n)=\frac{M}{n}.$
               
          （2）、   
                           $\because x_n> 0,x_n=\frac{M}{n}> \frac{M}{n+1}=x_{n+1},$

                           $\therefore \{x_n\}$单调有界，收敛。
                    又
                           $\displaystyle \because \lim_{n \to \infty }f'(x_n)=\lim_{n \to \infty }\frac{M}{n}=0=f'(x_0),$

                            $\displaystyle \therefore \lim_{n \to \infty }x_n=x_0.$

                            $\displaystyle \Rightarrow \lim_{n \to \infty }f(x_n)=f(x_0)=M.$

南开大学2020数学分析真题解答（第二题）


给出用到的两个充要条件

求积分序列极限

求积分序列极限

2020年全国大学数学竞赛（非数学类）模拟题二

1、求积分极限：
                  $\displaystyle \therefore \lim_{n \to \infty }n\int_{0}^{1}\frac{x^n}{1+x^n}dx$

解:由于
                  $\int_{0}^{1}\frac{x^n}{1+x^n}dx=\frac{1}{n}x\ln(1+x^n)-\frac{1}{n}\int_{0}^{1}\ln(1+x^n)dx=\frac{1}{n}\ln2-\frac{1}{n}\int_{0}^{1}\ln(1+x^n)dx,$

           设$\delta > 0,$再将积分区间分为两部分，分别求积

                   $\frac{1}{n}\int_{0}^{1}\ln(1+x^n)dx=\frac{1}{n}\int_{0}^{1-\delta }\ln(1+x^n)dx+\frac{1}{n}\int_{1-\delta }^{1}\ln(1+x^n)dx,$

         其中
                    $\frac{1}{n}\int_{0}^{1-\delta }\ln(1+x^n)dx=0,$

                    $\frac{1}{n}\int_{1-\delta }^{1}\ln(1+x^n)dx=\frac{1}{n}\ln(1+\xi^2)\cdot \delta =0,(\delta \to 0,\xi\in(1-\delta ,1),\xi\to 1)$

                   $\displaystyle \therefore \lim_{n \to \infty }n\int_{0}^{1}\frac{x^n}{1+x^n}dx=\ln2.$


注：求积分极限是20年研究生考试热门考点之一。

2020年全国大学数学竞赛（非数学类）模拟题二

2、求积分
                     $\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}dy\int_{0}^{y}\frac{\sin z}{1-z}dz$

解:进行积分顺序交换

          $0\leq z\leq y,0\leq y\leq x,0\leq x\leq 1.$

           $\Rightarrow 0\leq x\leq y,z\leq y\leq 1,0\leq z\leq 1.$

          $\begin{align*}\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}dy\int_{0}^{y}\frac{\sin z}{1-z}dz&=\int_{0}^{1}\frac{\sin z}{1-z}dz\int_{z}^{1}dy\int_{0}^{y}dx\\\\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(1+z)\sin zdz\\\\&=-\frac{1}{2}(1+z)\cos z|_0^1+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\cos zdz\\\\&=-\cos1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sin1.
\end{align*}$


注：本题关键是积分次序的交换，直接积分是积不出来的。解题得到网友的帮助。

2020年全国大学数学竞赛（非数学类）模拟题二

3、已知$f(x)$连续，$f(x+2)-f(x)=\sin x,\int_{0}^{2}f(x)dx=0,$求$\int_{1}^{3}f(x)dx.$

解：由已知条件，得
                                $\because \int_{0}^{2}f(x)dx=0,$

                                $\begin{align*}\therefore \int_{1}^{3}f(x)dx&=\int_{1}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{2}f(x)dx+\int_{2}^{3}f(x)dx\\\\&=-\int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{2}^{3}f(x)dx\\\\&=-\int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{0}^{1}f(x+2)dx.\end{align*}$

               又
                                $\because f(x+2)-f(x)=\sin x,$

                                $\therefore \int_{0}^{1}f(x+2)dx-\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}\sin xdx=1-\cos 1.$

             代入，得
                                $\int_{1}^{3}f(x)dx=1-\cos 1.$

2020年全国大学数学竞赛（非数学类）模拟题二-

解：
               $\begin{align*}\lim_{n \to \infty }\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{i}\frac{1}{(n+i+k)^2}&=\lim_{n \to \infty }\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{i}\frac{1}{n^2(1+\frac{i}{n}+\frac{k}{n})^2}\\\\&=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x+y)^2}dy\\\\&=\int_{0}^{1}(\frac{1}{1+x}-\frac{1}{1+2x})dx\\\\&=\ln(1+x)|_0^1-\frac{1}{2}\ln(1+2x)|_0^1\\\\&=\ln\frac{2}{\sqrt{3}}.
\end{align*}$

2020年全国大学数学竞赛（非数学类）模拟题二


解：
            $\displaystyle\because y=e^{-\int (2x+\frac{1}{x})dx}(C+\int e^{-\int (2x+\frac{1}{x})dx}x^2dx=\frac{1}{x}e^{-x^2}(C-\frac{1}{2}e^{-x^2}),$

                  $y(1)=y,C< \infty .$

             $\displaystyle \therefore \lim_{x\to +\infty }y(x)=\lim_{x\to +\infty }\frac{1}{x}e^{-x^2}(C-\frac{1}{2}e^{-x^2})=0.$

2020年全国大学数学竞赛（非数学类）模拟题二


证明：
              $\begin{align*}\iint_ \underset{|y|< R}{{|x|< R}}(x^2+y^2)e^{-x^2-y^2}dxdy&=\iint x^2e^{-x^2-y^2} dxdy +\iint y^2e^{-x^2-y^2} dxdy\\\\&=2\iint_\underset{|y|< R}{{|x|< R}} x^2e^{-x^2-y^2} dxdy\\\\&=2\int_{-R}^{R}x^2e^{-x^2}dx\int_{-R}^{R}e^{-y^2}dy.\end{align*}$

             $\begin{align*}\lim_{R\to +\infty }2\int_{-R}^{R}x^2e^{-x^2}dx\int_{-R}^{R}e^{-y^2}dy&=2\lim_{R\to +\infty }(\int_{-R}^{R}x^2e^{-x^2}dx)^2\\\\&=\lim_{R\to +\infty }(\int_{-R}^{R}e^{-x^2}dx)^2=\pi.
\end{align*}$