人民币论坛币一起赚：微观第二期悬赏600论坛币：斯卢茨基方程一篮子研究

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效用最大化问题和支出最小化问题，是一个问题的两个方面，称为对偶问题，在技术上，有以下联系

这个资料看下范里安的微观经济学：现代观点，以及平新乔的微观经济学十八讲，本人有相关的全部资料，如果需要请给我回复。

支持，坐等学习~

路过，正在研究中

确实不错！

希克斯需求函数和马歇尔需求函数分别是不同的约束方程求得的，其最根本的联系还是经典的对偶法。
  斯勒茨基方程除了范丽安现代观点和十八讲上的推导，还推荐看看比较静态下的推导，是蒋中一《数理经济学的基本方法》中文版459页，个人觉得非常直观，把希克斯替代效应和收入效应分的很清楚，比单纯的求导或者变化率更加容易理解。
  包络定理，罗伊恒等式，谢颇得引力只懂皮毛，无力解释其联系....

好的加油努力争取！

先给你说基本公式吧，马歇尔需求函数是Di=Di（P，M）
Di是对i种商品的需求量，P是价格向量=（P1，P2，...，Pi，...Pn），
M是预算收入的，就是初始状态经济单位（比如一个人）拥有的财富。

有些教材里M的也可以换做初始禀赋Y，即经济单位初始时的物质财富向量Y=（Y1，Y2，...，Yi，...Yn），那么马歇尔需求函数也可以写成Di=Di（P，Y）。说白了，Y和M是一样的，只不过M是货币财富，Y是物质财富，物质财富Y乘以他们的价格P就可以得到M。一般来说，常用的是第一种表达式。

希克斯需求函数是Hi=Hi（P，U）
Hi是对i种商品的需求量（在对偶的情况下，Di=Hi，写成不一样的符合是为了区别两种不同的需求），P是价格向量=（P1，P2，...，Pi，...Pn），
U表示想要达到的效用。

马歇尔函数和希克斯函数的区别是，马歇尔是求一定财富下的效用最大化问题，希克斯是求一定效用下的支出最小化问题。经济学考试中有很多关于求马歇尔函数的题和求希克斯需求的题，不管怎么样，你只要把握以下原则。

马歇尔需求函数的由来是以下的预算方程：
max U（D），P*D  <=  M
max是最大化问题
U（D）是效用函数，写得具体些就是U=U（D1，D2，...，Di，...,Dn）
P*D=P1*D1+P2*D2+...+Pi*Di+...Pn*Dn，M就是初始的财富
这个预算方程的意思是：求Di，使得P*D在小于等于初始财富M的情况下，达到效用U最大化。

希克斯需求函数的由来是以下的预算方程：
min P*H，U（H）<= U0
min是最小化问题
P*H=P1*H1+P2*H2+...+Pi*Hi+...Pn*Hn
U（H）是效用函数，写得具体些就是U=U（H1，H2，...，Hi，...,Hn）
U0是给定的外生效用
这个预算方程的意思是：求Hi，使得U（H）在大于等于设置的外生效用U0情况下，达到支出P*H最小化。

只要掌握这两点根本的原则，基本上所有相关的经济学题目都可以解决。

下面再进一步说说我对这两种需求理论的理解。这两种需求理论，其实无非是变化了外生变量和内生变量的设置。这两个需求理论的最关键的变量是P，M，U。可以看出，马歇尔的需求函数外生的变量设置为P，M以及U的函数，希克斯需求函数是P，U0，和U的函数。给定了P，M以及U的函数你就可以求出D和最大化的效用maxU，给定了P，U0以及U的函数你就可以求出H和最小的支出minM。

所谓对偶就是如果我们把希克斯外生条件中的U0设置为马歇尔的maxU，那么必定希克斯最小化minM等于马歇尔外生的M。同样如果把minM设置外马歇尔的M，那么必定马歇尔的maxU等于希克斯外生的U0。

只要你紧紧抓住外生变量是什么的区别，这两个函数也就没什么复杂的了。

那么为什么这样两个基本上一致的需求问题非要弄得这么麻烦呢？请继续看
如何用马歇尔需求函数和希克斯需求函数推出   斯拉茨基  方程。

第一步，Di（P，M）=Di[P，M（P，U）]=Hi(P,U)

首先，解释下M（P，U）这个式子。这是式子其实也是从希克斯需求函数的预算方程得出的结论，它是  支付函数。从上面的分析可以知道，Hi是最小化支出的解，那么最小化支出就是M=P*H(P,U)=M(P,U)。因为在M=P*H(P,U)的式子中，外生变量仍然只有P和U两个，所以可以合并P*H(P,U)这个方程，写作M=M(P,U)。

然后，再看Di（P，M）=Di[P，M（P，U）]=Hi(P,U)这个式子。很清楚，这个等式暗含了对偶的条件，等式最左边是马歇尔需求函数，M是外生的，等式最右边是希克斯函数，U是外生的。也就是说这个等式假设了：马歇尔需求里外生的初始财富，已经希克斯需求函数的内生变量。

第二步，对等式左右求Pi的导数。有
(dDi/dPi)+(dDi/dM)*(dM/dPi)=（dHi/dPi）
（dDi/dPi）=（dHi/dPi）-(dDi/dM)*(dM/dPi)

这里d是导数的符号。
上面的第二个式子的意义是，当第i种商品的价格升高时，对第i种商品的马歇尔需求量变化（dDi/dPi）由替代效应（dHi/dPi）和收入效应（dDi/dM)*(dM/dPi)组成。因为（dHi/dPi）意味着效用不变（希克斯函数的假设就是效用外生，维持在初始的状态U0）的情况下，需求的变化；（dDi/dM)意味着财富变化对i商品的需求变化，(dM/dPi)是i商品价格变化对真是财富变化的影响量。

如果更进一步，从支出函数可以推出（dM/dPi）事实上等于Di，从对偶方程还可以推出希克斯补偿效应等。这些方面的推导我有点忘了。

这样我们就能从马歇尔和希克斯需求函数把以前只能在图形上看出来的替代效应和收入效应用数学的方式表示出来。我且肤浅的认为这就是马歇尔和希克斯需求函数最有意义的推广，也是将两者区分开来最有用的地方。梳理下：

从给定初始财富的最大化效用和给定初始效用的最小化支出————马歇尔需求函数和希克斯需求函数（加上间接效用函数、支出函数）——对偶后——斯拉茨基方程（其实还有一些推广）————希克斯补偿效应等

谢菲德引理（Shepherd Lemma）

因为俺们学校是用英语教学的，所以要是哪儿说错了翻译错了，大家要告诉我哟！~呵呵

作用： 体现了在长期中，总投入函数和投入需求函数的一般关系
（a genaral relationship between long-run total cost function and input demand function）

表达式（d是delta，也就是表示变化量的小三角形）：
dTC(Q,w,r) / dw = L(Q,w,r)
dTC(Q,w,r) / dr = K(Q,w,r)

解释（我自己的大白话）：对TC，也就是投入函数里的w求偏导，所得的式子就是劳动需求函数； 同理，对TC的函数式里的r求偏导，所得式子就是capital demand function（对不起，我真的不知道该怎么翻译。。。）

推导：
For a fixed Q, let  L。= L(Q,w。,r。) , K。= K(Q,w。,r。).
Now define a function of w and r, g(w,r) equal to
g(w,r) = TC(Q,w。,r。) - wL。- rK。.
We know that since L。，K。 is the cost minimizing input combination when w = w。 and r = r。, it must be the case that
g(w。, r。) = 0     i)
Moreover, since (L。, K。) is a feasible input combination to produce output Q at other input price (w,r) besides (w。, r。), it must be the case that
g(w,r) ≦ 0 for (w,r)  ≠ (w。, r。)      ii)
Conditions i) and ii) imply that the function g(w,r) attains its maximum when w = w。 and r = r。. Hence, at these point, its partial derivatives with respect to w and r must be 0.
dg(w。, r。) / dw = 0 → dTC(Q,w。, r。) / dw = L。
dg(w。, r。) / dr = 0  → dTC(Q,w。, r。) / dr = K。
But since L。= L(Q,w。, r。) and  K。= K(Q,w。, r。), from above, we can imply
dTC(Q,w,r) / dw = L(Q,w,r)
dTC(Q,w,r) / dr = K(Q,w,r)

应用：
因为L(Q,w,r)是对TC里的w求偏导得出的式子，所以， TC的变化量约等于L（Q,w,r）乘以w的变化量
△TC ≈ L（Q,w,r）* Δw
同理，
△TC ≈ K（Q,w,r）* Δr
（这里是利用了数学上的公式 ΔZ(x,y) ≈ Z'x(x,y) * Δx + Z'y(x,y) * Δy， 证明就免了吧。。。相信大家都懂的。。。）

（大家凑合着看吧，我是一个字一个字自己敲的。。。不会排版。。。英语的证明过程也实在拿捏不好到底该怎么翻译。。。对不住了各位。。。)