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从一道不等式题的证明谈学生创新能力的培养_数学与应用数学论文

发布时间:2015-03-29 来源:人大经济论坛
数学与应用数学论文范文 字数:2149 从一道不等式题的证明谈学生创新能力的培养 【摘要】 不等式是研究数学问题的重要工具,是培养学生论证能力的重要内容。它渗透在高中数学的各个部分,尤其是与函数、复数、三角和几何存在着密切的关系。不等式是数学思想的载体,突出体现了等价转化,函数与方程、分类讨论、数形结合等数学思想。本文从一道不等式题的多种证法,引导学生从不同角度,用不同的思维方法解决问题。大大的激发了学生的学习热情,从而培养了学生的创造性思维。 【关键词】不等式 证明 培养 创新能力 培养 问题:a、b、m∈R+ 且a<b,求证:> (方法一)证明:比差法:差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步骤为:①作差:考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;②变形:把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。 左-右=-== ① ∵a<b,a、b、m∈R+ ∴ m(b-a)>0 b(b+m)>0 ∴①>0 即不等式成立 证法二:比商法,商值比较法的理论依据是:“若a,b∈R+,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步骤为:①作商:将左右两端作商;②变形:化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1。应用范围:当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法。 左/右= ∵ 0<a<b , 0<m ma < mb ma+ab<mb+ab >1 ∴ 左/右>1,即左>右 ∴ 原不等式成立 证法三:分析法: 分析法分析法是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”。书写的模式是:为了证明命题B成立,只需证明命题B1为真,从而有…,这只需证明B2为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真。这种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。 ∵a、b、m∈R+ , 要证明 > , 只要证 b(a+m)>a(b+m) 即证 ab+mb>ab+am 即证mb >ma 即证 b>a 显然成立,∴ 原不等式成立 证法四:综合法 综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”。其逻辑关系为:AB1B2B3…BnB,即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。 ∵ 0<a<b, 0<m ∴ma < mb ∴ ma+ab<mb+ab ∴ a(b+m) <b(a+m) ∴ > ∴原不等式成立 证法五:反证法 反证法有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法。 假设不大于,即 ≤ (1) < b(a+m) <a(b+m) mb+ab <ma+abmb<mab<a 同理可由=b=a 与已知 a<b 矛盾 ∴原不等式成立 证法六:换元法换元法换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新的启迪和方法。 设=k则a=kb 又∵a、b、m∈R+ 且a<b ∴0<<1即0<k<1 ∴>1 >m 则有b+>b+m>1 即>k= 证法七:函数法(利用函数的单调性) 设f(x)= (分离常数法) ∵ 0<a<b ∴a-b <0 ∴f(x)在[-b,+]上是增函数, 即当x=m>0时f(m)>f(0), ∴> 证法八:等比定理: ∵a、b、m∈R+ ,设=(n∈R+) 又∵ a<b ∴n<m 即 ==< 说明:对于等式两边是分式时,等比定理往往是解决这一问题的一个很好的方法。 证法九:斜率法 (1)将看作直角坐标系内两点A(-m,-m) ,B(b,a) ∵ 0<a<b , 0<m B点位于第一象限内y=x的直线上方。 ∴ KAB>KOB 又 ∵KAB= KOB = ∴> (2)取任意点A(m,m),B(b,a) a<b ∴AB的中点C() 由OA、OB、OC斜率关系为KOB<KOC<KOA 故得<<1 证法十:定比分点 ∵ = ①
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