上海交通大学2013年数学分析试题
解:
利用常用公式
$\displaystyle (\frac{1}{ax+b})^{(n)}=\frac{(-1)^na^nn!}{(ax+b)^{n+1}},$
$\displaystyle (\frac{x}{ax+b})^{(n)}=x\cdot (\frac{1}{ax+b})^{(n)}+C^!_n(\frac{1}{ax+b})^{(n-1)}$
而
$\displaystyle y=\frac{x^2}{x^2-1}+\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}(\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x-1})+\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}),$
由
$\displaystyle (\frac{x}{x+1})^{(n)}=\frac{(-1)^nn!x}{(x+1)^{n+1}}+\frac{(-1)^{n-1}n!}{(x+1)^n}=\frac{(-1)^{n-1}n!}{(x+1)^{n+1}},$
$\displaystyle (\frac{x}{x-1})^{(n)}=\frac{(-1)^nn!x}{(x-1)^{n+1}}+\frac{(-1)^{n-1}n!}{(x-1)^n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x-1)^{n+1}},$
$\displaystyle (\frac{1}{x+1})^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{(x+1)^{n+1}},$
$\displaystyle (\frac{1}{x-1})^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{(x-1)^{n+1}},$
$\displaystyle \therefore y^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{(x+1)^{n+1}}+\frac{(-1)^nn!}{(x-1)^{n+1}}.$