最优解一般都是全局(global)内点(interior)最优解吧。 咱们只要知道拟凹和凹的函数含义和几何含义,我们就可以判断某一函数。 以下令y=y(x)=f(x):
一、严格拟和“拟”的含义,从几何上看(以二元函数为例):
1 是当y=y(x1,x2)值不变时,此时若y代表效用则无差异曲线簇重合为一条线;
2 此时,y在三维坐标空间形成一个高度固定的线(而非常见的曲面),这个线可以是波形平滑的,也可以是有些平折线(linear segement)的;
3 但是,当线有平折区域时,加权的y值不会严格大于最大或最小的y值;所以严格拟是排出了这种平折曲域情况的“拟”。
PS: 当无差异曲线簇重合为一条线时,对拟凹和拟凸的几何区别只能从superior sets 是否是convex 的来判断。(一般情况之下,我们还可以根据无差异线簇的增减性判断)
二、严格凹和凹的含义 及最优解唯一性的条件
1 最优解唯一性的条件:不考虑y=f(x)是否受约束,其本身是否有解要看,一阶偏导是否都为0;是否有唯一解,要看是否有唯一解要看是否是严格凹的。
2 严格凹和凹的区别是指 加权x后的y一定要严格大于y的加权 。 是否为严格或不严格的拟,与凸和凹的严格性没有关系。
3 由拟凹推不出严格凹,所以就推不出有唯一解
4 约束条件是更严格的条件,相当于缩小了定义域,可能更有利于唯一解形成也可能会使最优内点解不存在,所以这不是唯一解的充分条件,甚至也不是必要条件。
综合来看,最优解的唯一性至少也需要 严格凹 这一条件,而由拟凹推不出凹,所以唯一性不能确定。
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