[回归分析求助] 加入二次项前后，一次项回归系数异号，是u或者倒u吗 [推广有奖]

您描述的情况涉及到线性回归模型中的二次项。具体来说，您提到了一个变量，在未加入二次项时，其回归系数为正且显著，但在加入二次项后，变为负且显著，同时二次项的回归系数为正且显著。

这种情况通常被描述为具有二次关系的情形，其中变量的影响在一定范围内呈现出类似于"U"形状的趋势。这被称为二次效应或者U型效应。

在统计学和经济学等领域，研究人员常常使用二次项来捕捉到这样的非线性关系。这可以帮助更好地理解变量之间的复杂关系，尤其是当线性关系无法完全解释数据变化时

您的理解方式错了

只要回归方程用含有二次项的模型y=ax^2+bx+c去拟合
就等于您人为默认系统是U型
这是因为二次函数就是U型（a>0）或者倒U型（a<0）
您人为在用U型或者倒U型的曲线去拟合

同理，您如果用线性模型 y=ax+b去拟合，就等于您人为默认系统是线性
如果用 y =ax^3+bx^2+c去拟合，就等于您人为默认系统是N型的
以此类推

所以，您要首先从理论层面讨论为什么您要代入二次函数去拟合
讨论清楚之后才能讨论拟合结果

在讨论拟合结果时，也不仅仅是系数显著与否，而且要看决定系数R2
如果模型对数据的解释力太低，那么就无意义
因为任何数据都能用U型的二次函数拟合，也能用其他形式的函数拟合
如果R2很低的话，就算参数都显著也没什么意义
因为换一个R2更高的非二次函数模型，就可以说这个模型不是倒U型的

另外，二次函数拟合您务必注意不要用最小二乘之类的线性拟合技术
必须用matlab或者origin的非线性拟合法（迭代法）

这是因为最小二乘拟合要求解释变量之间是相互独立的
也就是y=ax1+bx2+c中，x1与x2无关

如果您是直接把x1代入了(x2)^2的数据，来作为x^2的二次函数拟合
那么x1与x2之间就是有关的
用最小二乘法拟合出来的结果是必然误导的，讨论参数显著与否和R2都是无意义
这属于错误拟合

是的，这种情况下可以认为存在一个U型关系。因为在加入二次项后，一次项的系数变为负值，说明随着自变量增加，因变量先上升后下降，形成了一个底部朝上的U字形状。二次项的系数为正，进一步证实了这个U型趋势。

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您好，有些模型的拟合系数只有0.2-0.3左右，尤其是在微观数据中，r2确实会出现很小的情况，该怎么处理呢

拟合系数r2偏低在实践中是很常见的情况，不用大惊小怪

这种局面主要看您打算怎么解释
因为拟合只是提取统计趋势，而不是替你找到经济变量的真值
所以有无数种方法改良r2数值

1）在不增加新的解释变量Xi 的情况下
最简单的做法就是更换拟合模型或者拟合算法
比如说当线性拟合OLS效果不好时
您可以更换为其他非线性的模型去拟合，比如抛物线、N型曲线、振荡线等等
Matlab的cftool工具包或者Origin软件里有大量的非线性模型可用
但使用这些复杂的非线性模型时，它们的数学函数形式也会变得更复杂
这时您就要考虑怎么解释才能把这些复杂的数学函数用在您的研究体系里——因为数学函数有无数种，你为什么非要用这个，仅凭拟合系数r2是不行的，很可能有好几种函数形式完全不同的非线性拟合能得到相似的拟合系数r2数值
一般来讲，这时需要您用求解偏微分方程等等方法，从一些基本假设公式开始，进行机械模型推导
把自己所用的拟合模型用理论推导的方式给出来
只要您能推出来，那么基本上是无法被质疑的
只是这要求您要有较强的数学功底

2）第二种办法是在线性拟合的框架内，更换计量经济学方法
用统计检验的方法，找出拟合模型中某些变量潜在的内生性
从而将拟合算法更改为2SLS（两阶段最小二乘法）、GMM这些其他计量方法
即使是相同的数据，更换算法，拟合系数r2也会有所不同（一般都会提升）

3）如果您对模型的函数形式没有强假设
那么更简单的方法是改用核密度回归、局部最小二乘法等等非参数拟合或半参数拟合
线性拟合和非线性拟合在本质上都是参数回归，也就是用全部数据去拟合出特定的参数
非参数拟合或半参数拟合相当于是把全部数据分割为无数的局部区间（由局部区间大小由带宽确定）
在每个局部区间内做独立拟合，给出每个局部的估计值
最后把这些局部估计值全部连起来，就得到一个不规则、但完全捕捉数据趋势的拟合结果
这个做法的缺点是无法得出能用于外推预测的参数模型
但好处是拟合系数r2绝对高的很

4）如果以上都不用，就局限在OLS这类简单线性拟合模型里
那么拟合系数低可以用“遗漏变量”来解释
意思就是说当前用的拟合模型存在尚未捕捉到的其他解释变量
这时如果您只是想提升拟合系数的话
可以胡乱加入一些似是而非的解释变量，做一些统计检验（比如多重共线性、平稳性和协整性），只要通过检验了就都加进去，做更多变量的多元线性回归（或者时间序列、面板）
基本上拟合系数r2都能提升


总之，r2数值本身其实是很容易被改善的，方法很多
所以提升r2数值结果一般不是重点
重点是在于您如何给自己选用的方法自圆其说，以说服审稿人