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博弈论与中国足球
——将“坏孩子定理”用于足协和俱乐部间冲突问题的分析
中国足球（特指男子足球）进行职业化改革十多年了，但足球水平老是提不上去，我早在大概七八年前就开始对中国足球不抱任何希望，并且下定决心不看中国队的比赛，包括国内的联赛，就连关于中国足球的体育新闻（有时是娱乐花边新闻）都懒得过目，可有些时候，当中国足球界发生了一些轰动性的事件时，我想不知道都难，比如去年年底发生的一系列事件，我多多少少听说了一些，兴趣仍不是很大，直到听到徐明称“这是一场资本革命。”而有媒体将之评价为“一语道破事件背后的经济学本质”，“这是一场源于对资本利益角逐的力量博弈”，这让我突然对该事件产生了些许兴趣。直到今天，这场“革命”似乎还是在进行着——至少，各利益主体间的“博弈”仍然继续着。我一直在思考，这样的博弈能否用我们经济学中尤其是博弈论里面的符号、语言加以表述？前些天，贝克尔来中国，我想到了他的“坏孩子定理”，想到了所谓“利他主义”，我忽然想，是否可以把中国足协看作“家长”而把各家俱乐部看成“孩子”？于是我温习了一下吉本斯的《博弈论基础》第二章后面的一道习题的证明过程和其现实意义，有些心得体会，交待如下：
一、足协和俱乐部间的经济利益关系
去年是中超元年，由足协委托其下属公司福特宝公司经营，也就是说，联赛的经营权实质上掌握在足协手里，包括联赛冠名、电视转播、部分广告等经营都受足协的控制，还真有点家长的味道。
而俱乐部呢，只能获得为数不多的广告经营权以及门票经营权，这一块本来就不多，可足协还要提成5%，当然足协也是给俱乐部分成的，去年年底公布了财务预算，称其收入预算为13000万，结果每家俱乐部只分得不到500万，真是少得可怜，因为前几年每个俱乐部年投入至少得4000万的，怪不得要闹”革命“。
足协03年年底的一份调查数据显示，中国足球俱乐部每年总收入已达7亿多元。然而足球界资深记者分析认为：甲Ａ俱乐部过去每年的各项花费平均为5000万元，15支甲Ａ俱乐部累计年支出为7.5亿元；而14支甲Ｂ俱乐部平均年支出2000万元，累计支出2.8亿元。两项总计为10.3亿元，即使各俱乐部每年总收入达7亿元，仍然有3亿元的行业性亏损。
二、对于”坏孩子定理“的讨论
简要的明确了足协和俱乐部之间的关系后，我们可以开始讨论坏孩子定理了。
在叙述的过程中，我直接将俱乐部称为孩子而足协称为家长：
首先，俱乐部选择一个行动A，可使之获得收入Ic(A)，并使足协得到收入Ip(A)，也就是刚才提到的足协是向俱乐部要提成的，Ic可以认为是俱乐部减去因发生A的各种成本后的净收益；第二阶段中，足协观测到收入Ic和Ip，然后选择给俱乐部奖励或惩罚B，奖励可看作足协给俱乐部的分成，而惩罚可以看作是足协纪律委员会等部门对俱乐部的各种处罚决定，足协章程里面有规定，各俱乐部与足协、俱乐部间有争议时，不能向法院提交，只能向足协提交，更可怜的是，足协对俱乐部进行处罚时，没有听证程序，总之，这里的B是完全由足协说了算的。
孩子的收益为U(Ic+B)，家长的收益为V(Ip-B)+k(Ic+B)，根据原定理的假设，我们暂且认为这里的k是大于零的，以反映出足协关心俱乐部的福利（事实上足协并不是十分关心俱乐部的福利，后面再议）。还有一些假定，如行动A非负，Ic和Ip严格凹且分别在Ac>0和Ap>0达到最大值，效用函数U和V递增且严格凹。
根据逆向归纳法，给定俱乐部的行动A，在第一阶段足协先最大化其收益，一阶条件为V'(Ip-B)=k，得到俱乐部的反应函数B*再将其于第二阶段最大化俱乐部收益时带入俱乐部的收益函数，求其一阶条件得到这样一个式子：U'[Ic+B*][Ic'(A)+Ip'(A)]=0，根据前提假定，可以得知U'[Ic+B*]是不可能等于零的，只有Ic'(A)+Ip'(A)才会等于零，这样也就实现了双方收入Ic(A)+Ip(A)最大化的行为，尽管观察效用函数时我们只能看出足协才有利他主义的倾向。
三、由该定理所得出的一些建议
定理所展示的结果很完美，而现实情况为什么就这么不尽如人意呢？关键在于这个k值，刚才我们一直假定足协是关系俱乐部福利的，因而假定k大于零，事实上，中国足协一点也不关心俱乐部的福利！关于经济利益方面的分配问题，刚才在第一部分已经讲过了，可以说足协是个尽力搜刮俱乐部利益的组织，就在今年6月底的香河中超老总峰会上，足协口头描述了一些他们的设想：在即将成立的中超公司中，足协所占股份将增加到36%，而非以前所说的20%，各家俱乐部所占的份额从原来的5%降为4%，虽然俱乐部仅仅是减少了1%的份额，但对于足协来讲有本质的区别，因为他的股份超过了1/3，重大问题上如果他不同意，那么就不可能超过2/3的赞成票数，从而形成有效决议，这也意味着未来的中超公司仍然掌控在足协的手中，一位俱乐部老总会后无可奈何的表示：“这样搞下去……我们俱乐部……还是任足协宰割的对象。”这位老总的话足以让我们对该“足协－俱乐部博弈”的k>0的假设产生疑问。
其实解决这个问题的方法也很简单，不从修改模型的假设条件入手，而是从修改现实中的情况入手，也就是说，如果足协能关心俱乐部的福利，使k大于零，那么双方的收益都可以实现最优化了。
足协应如何关心俱乐部的福利？不妨借鉴国外的先进做法，比如意大利每年会从足球彩票获得的资金中拿出20亿美元左右帮助各俱乐部支付日常开支——这是提高B的正值，从而增加俱乐部的收益体现出足协的利他主义；在英格兰，足总的权利只限于各级国家级球队的管理和对于赛事的监督。当然，作为一个管理机构，英足总还能从联赛的经营中得到分成以保证机构的正常运行——这增加了Ip的值；对于大多数英超球队来说，每年的转播费用收入能占到其总收入的一半左右，门票收入占到其收入的30%——这样便增加了俱乐部的收入Ic，从而使俱乐部的总收益U(Ic+B)增加，因为假设函数U是递增的。
上面就是随便想到的一些东西，回过头来看似乎有些幼稚，但这样的改革思路的大方向我认为还是合理的，足协必须尽量同经济利益脱钩，改变其商人的角色，更多的应去关心俱乐部即他的孩子们的收益，这样，尽管俱乐部无利他主义倾向，但其在追求自身收益最大化的同时，也便实现了足协和俱乐部双方的收益最优，这样下去，中国足球联赛才会健康的发展下去，所谓的资本革命、利益博弈也可以告一段落了。