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数学基础概论

摘要：对于数学这门学问，当我们从它的最熟悉的部分出发时，可以在两个相反的方向进行研究。比较熟悉的方向是构造性的，逐步增强复杂程度：从整数到分数实数复数；从加法到乘法到微分和积分，以至更高等的数学。另1较为生疏的方向，是通过分析走向抽象性和逻辑简单性；我们不讨论从假定的起点开始可以定义什么或可以演绎什么，而去探讨能够找到什么可以由之定义或演绎出我们的出发点的1般思想。罗素在《数学哲学导论》中所说的后1方向既数学哲学或数学基础。我们难以确切地说出数学基础所研究的具体对象，但我们可以这样粗略地理解数学基础的内容，即：给现存数学1个稳固的基础，1个合理的解释，1种完美统1的形式，通过这种形式可以演绎全部现存数学。也许这只是1个理想，但仍然可以作为数学基础研究的1个终极目标。在这篇文章里，先讨论数学基础的1些重要问题；然后简述3个学派的起因，成果以及他们所面临的困境；接着介绍结构主义的基本观点；最后试着给出关于数学基础的1些基本看法，这也是本文所要完成的最后1个目标。

关键词：数学基础；无限；存在；真理；相容性；逻辑主义；直觉主义；形式主义；公理化；结构；集合论

Introduction to Foundations of Mathematics

Abstract: As to the science of mathematics, we can make our research toward two opposite directions when we begin from the most familiar part. The comparative familiar diction is about structure. Increasing the degree of complexity gradually, which is from integer to fraction, real number and plural, from addition to multiplication, differentiation and integration, even get to more advanced mathematics. The other comparative strange direction is to reach abstraction and logical simplicity through analysis. However, we do not discuss what we can definite deduct when beginning with presumption, but to explore the general ideas of our point of departure we find out to definite and deduct. In Introduction to Mathematical Philosophy, the later view as Russel refer to is about mathematical philosophy and foundations of mathematics. Although we can not exact tell the concrete object the foundations of mathematics research into, we can understand its content in general. That is to say, we endow present mathematics with a stable basis, a reasonable explanation and a perfect and united form. And through this form, we can deduct the whole present mathematics. Maybe this only to be a dream, but we can still take it as a terminal goal in foundations of mathematics studies. In this passage, well first discuss several important issues about the foundations of mathematics. Then, well state in brief the origin and outcomes of three schools, and the hardship they are facing. Next, well introduce the elemental views of structuralism. At last, well try to put forward a few basic opinions about the foundations of mathematics. And this is also the final aim we want to attain.

Keywords: foundations of mathematics; unlimitation; existece; truth; compatibility; logicism; intuitionalism; formalism; axio matization structure; set theory

前 言

关于数学基础的讨论在柏拉图时代就开始了，由柏拉图发展起来的唯理论在现代数学中仍有重要的地位，之后数学基础问题也不间断地被讨论到，而数学基础发展的辉煌时期却是19世纪末期及20世纪前310年。
当实数的理论建立后，分析的基础也正式确立了，而代数学也从当时的紊乱中走了出来，并且非欧几何的相容性问题也由欧氏几何得出，这样，到1900年为止，数学的主要分支算术，代数，分析及几何已经被严密化，而且逻辑学在当时也得到了极大的丰富和发展。面对这种情景，数学家们欣喜不已，就像彭加勒在第2次国际数学家大会上所说的：今天我们可以宣称绝对的严密已经实现了！。
然而情况真的如此吗？数学已经有了1个可靠的基础了吗？就在这时，集合论的幽灵已经出现，数学史上的第3次数学危机正在酝酿，而罗素打开了潘多拉的盒子，它们将再1次考验数学家们。1903年，罗素发表了罗素悖论，即：设N是由所有不属于自身的集合组成的集合，那么N有属于谁呢？若N属于N，按照定义不应如此；若N不属于N，则依定义其应属于N。其实在罗素悖论发表之前，已经在集合论的基数理论和序数理论中发现了悖论，之后也构造了好些悖论，然而以罗素悖论最为有名，这1悖论动摇了元素的类这1在数学中广泛应用的概念，希尔伯特称这个悖论对数学界有着灾难性的后果。
为了解决悖论，以及由此而引起的数学基础问题，特别是相容性问题及数学本性问题，数学家们做出了各种努力，尝试为数学提供1个可靠的基础。我们就从数学基础中最为关心的重要数学基础问题开始我们的叙述，接着讨论基础学派所做的各种努力，然后着重分析数学的困境和数学的本性，最后给出自己的1个初步结果，试图从困境中走出来，达到对数学的1种整体的理解，给数学1个合理的解释，这就是自己要达到的目标。

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