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图象斜率在物理中的意义及应用
物理与数学的关系极为密切，物理状态、物理过程及物理量之间的关系可以用图象来表示，这是研究、处理物理问题和学好物理的重要方法和手段。其中图象的斜率问题尤为突出，笔者对这方面进行了归结研究，不外乎有两大类型：图象的斜率表示某一物理量的变化率；图象的斜率表示某一物理常量。现对这随时间的变化率类型进行归总结。
一．图象的斜率表示某一物理量的变化率.。该类问题可分为随时间的变化率和随空间的变种情况。
（一）。斜率表示的物理量随时间的变化率。位移-时间图表中的斜率表示速度；速度—时间图象中斜率表示加速度；动量—时间图像中斜率表示合外力；磁通量—时间图象中斜率表示感应电动势等等，现举几例。
如图1为某一运动物体的速度—时间图象，其初速度为，末速度为，加速度为，则下列说法正确
的是（ ） V
物体做曲线运动 （B）， a逐渐减小 Vt
（C），a逐渐增大 （D），a逐渐减小 VO
分析v－t 图象中各点斜率表示该时刻的加速度，由图知斜率逐渐减小 O to t
，表明加速度随时间减小；又 该过程位移大于匀加速过程的位移， 图1
即 ，应选B项 。
例2 甲、乙两物体分别在恒力 F1、F2 的作用下，沿同一直线运动，它们的动量随时间的关系如图2所示，设甲在案t1时间内所受冲量为I1，乙在t 2时间内所受的冲量为 I2，则F、I的大小关系是（ ）
(A) F1F2 I1=I2 (B)F1F2 I1I2 (C) 1F2 I1I2 (D) F1=F2 I1=I2 P
分析：由动量定理F△t= △P有F=，所以在P－t图象中，斜率大
小表示合力F大小，F1F2；动量变化量大小相等，冲量变I1=I2 ，故答 甲 乙
案选A。
例3单匝矩行线圈在匀强磁场中匀速转动，转轴垂直线圈中（ ） O t1 t 2 t
(1)0时刻感应电动势最大 (2)0.05s时感应电动势为零 图2
(3)0.05s时感应电动势最大 (4)0.05s时最大时间内平均感应电动势
为0.4V
A. (1)(2) B. (1)(3) C. (1)(3)(4) D. (1)(2)(4)
分析： 由法拉第电磁感应定律 E=，在 －t 图象中为某点斜率， 2
0时刻和0.1s时斜率绝对值电动势值最大，0.05s时刻斜率为零，故应选D。 1
（二）。斜率表示的物理量随空间的变化率。这类问题出现的机相对较小，
但如遇到，也应正确分析，现举一例。 O 0.05 0.1 t
例４ 如图4所示，有一垂直纸面向里的非匀强磁场，其感应强度沿 图3
y方向不变，而沿x方向均匀减小，减小率为０.０５，一边长为１０cm的长方形铝框，总电阻为０.２５Ω，铝框平面与磁场方向垂直。在外力作用下，以２０m/s的速度沿X正方向做匀速直线运动，求铝框中感应电流大小。
分析 题意中“减小率为０.０５”是指磁感应强度B沿+X方向的变化率，即 T/m 。设某时刻线框左、右两边所处的磁感应强度分别
为B1、B2，。则该时刻两边产生的电动势分别为E1=B1 Lv ，E2=B2Lv y
合电动势办E=E1-E2 =(B1-B2)Lv =为沿X方向上距L的
两点磁感应强度的变化量，大小为
。
所以，铝框中感应电流大小为 O x
。 图4
二、图象的斜率表示某一物理常量。这类问题在高中物理中出现的较多，仅举几例，以示分析、求解方法。
(一) 利用伏安特性曲线分析电阻值及变化
例５ 一白炽灯泡“２２０V，６０W ”，加上电压由零祝渐变到２２０V。在此过程中电压U和电流I的关系可用图象表示，图５中的四个图象中，肯定不符合实验事实的是（ ）
UU U U
O I O I O I O I
A B C D
图5
分析 U-I图象中任一点(I,U)的斜率就是该状态下的电阻值.电流越大,温度越高,电阻越率越大,因此电阻值越大,斜率也应越大.A中斜率不变,C中斜率减小,D中斜率先变大后减小,均不符合实验事实,答案应为B.
(二) 利用图象斜率求重力加速度g T2/s2
某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，测出了在不同
摆长L时的周期T ,并以T2为纵坐标，以L为横坐标，描点连线画出如 4
图6所示的图象，试由图线求重力加速度值。
分析 由单摆周期公式得L ，所以在 T2 —L 0.04
图象中，斜率值等于，即 ，解得g=9.96m/s2。 O 1 L/m
图6
（三）利用U-I图象斜率求电源的内电阻r U
由闭合电路欧姆定律E=U+Ir得外电压U随电
流I 的变化关系U=-Ir+E ，如图7，当断路
时，路端电E压等于电源电动势E；当短路时
， ，则图线斜率 k=tan ，所以
图线斜率的绝对值等于电源的内电阻r。
练习 在”测定电池的电动势和内电阻”实验中, 图7 图8
测出的数据作出的电池A和电池B的U-I图象，如图8所示，从图中可以看出，电池A的内电阻
RA =______Ω，电池B的电动势EB=_______V，若将某电阻器分别接在电池A和电池B的两极之
间时，电阻器消耗的电动势相等，则此电阻器的阻值为____Ω。（答案：1.25Ω；1.5V；1.25Ω） （四） 利用图象斜率求物体的质量m
例6 如图9所示，两物体A、B都静止在同一水平面上，
它们的质量分别mA、mB，与水平面间的动摩擦因数分别为 F F
、。现用平行于水平面的拉力F拉A、B，所得两
物体的加速度a与F的关系图象分别如图10所示，则正确 图9
的是（ ）
（1）mA mB （2）mA mB a
（3） （4） 图10
分析 由牛顿第二定律得 ，即 ， A B
所以图象斜率表示质量的倒数，。图线在纵轴上的截 O F
距表示，所以 。故应选C。
（五） 图象斜率表示普朗克常数h
如将二者的图线画在同一坐标系，则正确的是图11中的（ ） 图10
用不同频率的光子分别照射钨和锌，发生光电效应，跟据实验可画出电子的最大初动能
随入射光频率υ变化的EK —υ 图线，已知钨的逸出功是3，28V ，锌的逸出功是3，34eV,若将二者的图线画在同一个坐标系中，则正确的是图11中的（ ）
EK EK EK EK
W Zn W Zn W Zn W Zn
O O O O
A B C D
图11
分析 由爱因斯坦的光电效应方程 。知图线的斜率表示普朗克常数h，因此图线应相互平行。图线在纵轴上的截距大小表示金属的逸出功。所以A正确。
另外，关于利用图象斜率求物理量的问题还有很多，如利用 F—x图象斜率求弹簧的劲度系k；利用 F—q 图象斜率求某点场强E；利用Q—U图象斜率求电容器的电容量；利用斜率求介质的折射率问题，等等，这里不一一再述。
总之，图象的斜率是分析、处理物理问题的一钟非常重要的工具。利用它可使复杂的物理问题简单化，起到事半功倍的效果。要学好物理，就应正确理解斜率在物理问题中的含义并掌握其应用。
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