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书名:Analyzing Compositional Data with R
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Contents
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 What Are Compositional Data? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Compositions Are Portions of a Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Compositions Are Multivariate by Nature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 The Total Sum of a Composition Is Irrelevant . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Practically All Compositions Are Subcompositions.. . . . . . . . 4
1.1.5 The Very Brief History of Compositional Data Analysis. . . . 5
1.1.6 Software for Compositional Data Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Getting Started with R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Software Needed for the Examples in This Book. . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Installing R and the Extension Packages .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Basic R Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4 Getting Help for Composition Specific Commands . . . . . . . . . 10
1.2.5 Troubleshooting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Fundamental Concepts of Compositional Data Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1 A Practical View to Compositional Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Definition of Compositional Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Subcompositions and the Closure Operation.. . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3 Completion of a Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.4 Compositions as Equivalence Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.5 Perturbation as a Change of Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.6 Amalgamation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.7 Missing Values and Outliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Principles of Compositional Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Scaling Invariance .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 Perturbation Invariance.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Subcompositional Coherence .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.4 Permutation Invariance .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Elementary Compositional Graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1 Sense and Nonsense of Scatterplots of Components . . . . . . . . 24
2.3.2 Ternary Diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.3 Log-Ratio Scatterplots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.4 Bar Plots and Pie Charts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Multivariate Scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.1 Classical Multivariate Vectorial Data (rmult) . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.2 Positive Data with Absolute Geometry (rplus).. . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.3 Positive Data with Relative Geometry (aplus) . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.4 Compositional Data with Absolute Geometry (rcomp).. . . . . 32
2.4.5 Compositional Data with Aitchison Geometry (acomp) . . . . 33
2.4.6 Count Compositions (ccomp).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.7 Practical Considerations on Scale Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 The Aitchison Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.1 The Simplex and the Closure Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.2 Perturbation as Compositional Sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.3 Powering as Compositional Scalar Multiplication .. . . . . . . . . . 39
2.5.4 Compositional Scalar Product, Norm, and Distance. . . . . . . . . 39
2.5.5 The Centered Log-Ratio Transformation (clr) . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.6 The Isometric Log-Ratio Transformation (ilr) . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.7 The Additive Log-Ratio Transformation (alr) . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5.8 Geometric Representation of Statistical Results . . . . . . . . . . . . . 45
2.5.9 Expectation and Variance in the Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Distributions for Random Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1 Continuous Distribution Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.1 The Normal Distribution on the Simplex.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.2 Testing for Compositional Normality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.3 The Dirichlet Distribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.4 The Aitchison Distribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Models for Count Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.1 The Multinomial Distribution.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.2 The Multi-Poisson Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.3 Double Stochastic Count Distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Relations Between Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.1 Marginalization Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.2 Conjugated Priors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Descriptive Analysis of Compositional Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1 Descriptive Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.1 CompositionalMean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.2 Metric Variance and Standard Deviation .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.3 Variation Matrix and Its Relatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.4 Variance Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.5 Normal-Based Predictive and Confidence Regions . . . . . . . . . . 82
4.2 ExploringMarginals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.1 The Three Types of Compositional Marginals .. . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.2 Ternary Diagram Matrices for Multidimensional
Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3 Exploring Projections .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.1 Projections and Balances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.2 Balance Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.3 The Coda-Dendrogram .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5 Linear Models for Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1.1 Classical Linear Regression (Continuous Covariables) . . . . . 95
5.1.2 Classical Analysis of the Variance
(Discrete Covariables).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.1.3 The Different Types of Compositional
Regression and ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2 Compositions as Independent Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2.1 Example.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2.2 Direct Visualization of the Dependence .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2.3 The Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2.4 Estimation of Regression Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2.5 Displaying the Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2.6 Prediction and Predictive Regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.7 Model Checks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2.8 The Strength of the Relationship . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2.9 Global and Individual Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2.10 Model Diagnostic Plots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2.11 Checking the Normality Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2.12 Checking Constant Variance .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.2.13 Robust Regression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.2.14 Quadratic Regression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.3 Compositions as Dependent Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.3.1 Example.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.3.2 Direct Visualization of the Dependence .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3.3 The Model and Its R Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.3.4 Estimation and Representation of the Model Parameters . . . 134
5.3.5 Testing the Influence of Each Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.3.6 Comparing Predicted and Observed Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3.7 Prediction of New Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.3.8 Residuals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.3.9 Measures of Compositional Determination . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.4 Compositions as Both Dependent and Independent Variables .. . . . . . . 154
5.4.1 Example.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.4.2 Visualization .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.4.3 The Composition-to-Composition Regression Model .. . . . . . 155
5.4.4 Representation and Visualization of Coefficients .. . . . . . . . . . . 157
5.5 Advanced Considerations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.3 Outliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.3.1 Background on Outliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.3.2 Types of Outliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
7.3.3 Robust Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.3.4 Detection and Classification of Outliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.4 Descriptive Analysis of Outliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
7.4.1 Robust Estimation of Mean and Variance .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
7.4.2 Detecting Outliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7.4.3 Counting Outliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
7.4.4 Classifying Outliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.5 Working with Outliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.5.1 Random Outliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.5.2 Failed Measurement or Transmission
in Individual Components.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.5.3 Subpopulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.5.4 Polluted Samples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
7.5.5 Heavy-Tailed Compositional Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
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