李永乐点评2008年考研数学题-经管之家官网！

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　　李正元：大家好！我是李正元，我是辅导高等数学。

　　李永乐：大家好，我是李永乐，我主讲线性代数。

　　王式安：大家好，我是王式安，我主要讲概率统计。

　　主持人：研考数学考试今天上午已经结束，大家最关心得救是考题的答案解析和自己的考试情况，请三位老师结合高数、线性代数、概率在试题中所占的比例分布谈谈今年试题的总体特点。首先请李正元老师给我们谈一谈。

　　李正元：我主要讲一下高数，因为我看的比较多的比较详细的是数一，总体印象有这么几个特点： 第一，从难易程度来说，我觉得高数的难易程度比去年降低了点。 第二，大部分计算题的量，从高数来说也不是很大，很多主要是概念的应用。 第三，也出现了一些考试里面第一次出现的题型，比方说数一的有一道题，是高数基本定理的证明，后不会著名，一般可能像复习书上不会写的，如果同学基本概念比较清楚，这个证明题的方法应该是基本的，但是有些同学根本可能没复习到，原来数学熟练程度差点的可能也不知道怎么做了，但是基本证明题会几步就会得到相应的分数，这是第一个定理的证明题。作为定理证明题也不复杂，像前几年数三、数四也出面过证明，那个比这个难一点，这个相对来讲就几步。这是第一个第一次体现。

　　第二，像条件极值问题，如果二元极值只有一个条件，这是自然的，二元函数的极值问题有几种情况，一种是一个条件，一种是两个条件，方法是一样的，今年数四也是两个条件的，所以这是第一次以前没有出现过的。比如还有三阶长系数，这也是第一次出现。当然要自己对这个东西没复习到，等于就不会，难度并不大。

　　傅立叶级数已经多少年没考过，有同学问今年会不会考？看问题有两面性，多年没考过的考试频率比较低，会不会有可能性，但是还有多少年没有考过，今年也可能考，所以问题有两面性，自己要决策。求福利爱系数和富里艾级数以前考过，但是这个本质上和求合没有区别，就算个级数，这个意义说有一些新的题型，但是这个难度并不大。当然有的同学如果没有复习到，或者放弃某些内容的复习，这个题目可能就不太会了。所以这就是我总体上觉得今年考试的特点。

　　另外一个，有一些题目计算量不大，有一些东西是基本工夫的应用，比如选择题的第一次，是变限积分的求导，里面2+T的积分，就是求导一下，到案是2X，把X方带进去，就是…2+X平方，这是恒正的，这么一看就很清楚了。

　　 比方里面有一个一个函数FX，在负无穷、正无穷上单调有界，XN这个数列底下就讨论，相当于XN收敛，FXN是否也收敛的一个问题，这个题到这儿应该能想到，能用的定理就是单调有界，F本身收敛，如果XN单调符合结果，FXN也一定单调，自然应该选择这样一个，如果FN单调，FXN就收敛。这里面没有用很多计算，就是一些概念的运算，还有其他一些题目也是这样的问题，所以很多基本的东西我想也体现了考试里面基本东西是非常重要的。我说的有一些题目计算量并不大，其实根据也在这儿，我只要概念清楚，其实有些个别题目不用动手，只要脑子里面，当然首先内容要熟练，动动脑子这个题目就可以做出来了，不必要计算，但不是所有题目都这样，那是不可能的。

　　比方说有一个第一次考试的定理的证明，数一的第18题，假设函数FH连续，大FX等于小F的积分，证明大FX可导的，导函数就是小FX。作为定理的证明，或许用已知的定理证明，最基本的就是按定义证明，这个问题能想到按定义证明就是一步了，就是大F德尔塔X+F大X减FX，除于德尔塔X，现在就要大FX+德尔塔X，跟大F表现出来，两个相健，就利用积分对区的可加性，这里面有一部分减掉了，就等于是F的积分从X到德尔塔X，再除以德尔塔X的极限，这里面就要用积分中值定理，这个极限就等于F…的极限，这个是在F加德尔塔X之间。这就是基本的定理，也有基本的定义的应用。

　　这儿最容易犯的错误，当你写了最后一步的时候，而不是利用积分中的定理，而是用所谓的罗比特法则做的时候就犯了概念性的错误，这里面分子、分母的求导，实际上用的是导数的公式，这个就是错误的，分数就没有了。这个题我想并不困难，但是我估计得到满分的大概不会太多，因为有的同学就不很熟悉这种方法。其实方法都讲过，首先会用定义，然后用积分中值定理，都是基本概念。

　　所以从这个考试里面一定要重视，有的同学以前也问过我，特别是对将来在备考中，问问老师基本定理的证明要不要做？我的回答是这样的，有一些定理证明相对比较复杂，没有很多的代表性，当然这个就不应该说把它花很大力气了，但是有一些基本定理证明题，本来这个方法是基本的，对解其他题目也有很大启发意义的话，这种证明应该要会的。像我们这个定理的证明基本方法应该是常规的，是常见的，所以对基本定理一些证明我想应该是这样的态度来处理它。

　　另外对于数一来说，这次考题里面，多元跟一元部分，一元微积分加常规方程是一部分，多元微积分加上级数是另外一块，高数里面考分的比例，今年来看分数加起来应该是差不多很接近的，是一半一半的，也许多元还略微高一点。当然还有一些多元的分数比较高，不管怎么样一元是基础，所以在复习里面这个当然指以后要准备考试的，一元跟多元的处理上来说，一元应该是个基础，多元微积分里面很多都要用到一元的部分，考试题分数的比例来说，这两年来这两个比例不是相差很悬殊的，很多情况下多元部分分数比一元要高一点，这次也差不多是这样的情况。

　　主持人：下面请李永乐老师谈一下今年试题总体的特点。

　　李永乐：今年代数考试是这样的，从填空和选择来看都是围绕着特征值设置题目的，利用特征值来判断矩阵的可逆，用特征值来求行阶数的值，利用特征值来处理合同，像数一就是跟二次曲面挂钩。今年填空题跟选择题都是围绕着特征值，所以把特征值如果掌握的比较好的话，今年像填空、选择应当是很容易，计算量也不大。

　　今年代数的解答题，有一道题是N阶方程组的求解，这个N阶方程组的求解首先涉及到要算一个N阶行阶数的值，要算这个行阶数的值，因为这相当于一个证明，所以像这道题我想用数学归纳法最简单，大家如果用数学归纳法把这个证明出来这么做是最简单的。

　　但是这个三条对角线的行阶式，往年数四的填空题里面考过，如果单纯的算行阶式这个计算方法比较简单的是用递推的方法，我估计同学用递推的放学可能有困难。作为解方程组这道题，第一问算行阶式的值，证明行阶数的值我想最好的方法是用数学归纳法，也可以用递推的方法来求。

　　这道题的第二问是求方程组的唯一解，实际上就是在考克莱姆法则，这道题不是求整个方程组的解，只是求其中一个，求X1的值，这样用克莱姆法则把分子、分母两个行阶式一算，答案就非常容易了。因为第一问已经告诉你行阶式应当是什么，已经告诉你行阶式应当得多少，所以第二问把第一问的结论一带进来，用克莱姆法则马上就把X1求出来。

　　这道题的第三问是要求无穷多解，要求无穷多解我想很容易看得出来应该是行阶式等于0的时候，现在只有一种可能性，就是小A得0，这时有无穷多解。这个情况下就要考虑方程组解的结构，把方程组的解求出来，把7次方程组的基础解析求出来，这样通解就很容易求。现在就不知道这个7次方程组基数解析同学求的时候会不会出毛病，从以往接触同学的情况来看，像N次方程组求解，有些同学基数解析会求出毛病来。

　　数一的另外一道节他题考的是一个质的问题，考的是矩阵质的证明题。作为数一的矩阵质的证明题，我想只要用好矩阵质里面一个基本的公式，矩阵A+B的质小于等于矩阵A的质+矩阵B的质，如果用这个公式第一问就可以马上证出来了。

　　至于这道题的第二问，在阿尔发和贝他线性相关的条件下，如果大家用一下线性相关的几何意义，阿尔发和贝他是线性相关的，阿尔发和贝他是不是有一个倍数关系，所以咱们是不是可以假设贝他是阿尔发的某一个倍数，如果假设阿尔发是贝他的某一个倍数，大家把信息一带进去，就可以马上证明A的质一定是小于2。所以我想数一的证明题主要考的是矩阵质的概念。

　　数三、数四另外一道解答题，一个是考的是线性无关的证明，作为一个线性无关的证明题我想是以往考试当中最常见的一种，就是考同学的定义法，让大家用定义法来证明这个与线性无关，就要求同学们先假设它们的合等于0，然后把这个组合系数是0给证出来。

　　 第二问考一个相似，这个是05年数四考题当中出现过的。05年数四的考题就是这样一个出题法，告诉大家A阿尔发等于什么，让同学把A阿尔发这个条件用矩阵方程的方法拼好，马上就出现相似了，所以这道题的第二问和05年的考题完全是一样的。 所以从今年代数几道考题的出题情况来看，我想考的还是代数里面基本的内容，计算量不大，概念比较多，题目解起来比较灵活一些。我想今年代数题大概的特点是这样的，如果同学在过去复习当中重视基本的东西，要比较熟悉的话我想今年代数题还是比较好做的。

　　主持人：下面请王式安老师就概率问题给我们说一下今年试题整体情况。有网友说觉得今年题做的并不顺，尤其感觉概率问题是死角，想您解答一下数一概率的最后一道题。

　　 王式安：刚刚两位老师把前面的大部分都谈了，我谈谈概论和统计部分，今年概论和统计还是比较统一，第一，数一和数三题目是一模一样的，数四加了一个概论题，我觉得跟2007年的模式是一样的。 题目的情况，我觉得今年的题出的还是相当不错的，我觉得基本概念抓的比较紧，刚刚同学说的这道题是比较讨厌的一道题，说明网友抓到要害的地方了。

　　我想先谈谈前面两个选择题。数一、数三、数四前面的是一样的，概论第一题叫第7题，这里面完全牵扯到基本概念，说明两个随机变量独立、同分布，MAX取最大的，这个概念弄清楚我觉得我们平时在辅导课上都讲得清楚，而且这样的模式考了不少，最近五年、六年MAX是第三次出现，所以我觉得这个问题应该不是太大。

　　第二个题，就是相关系数等于1，其实这个类似的题我们在2000年前后我们有过这方面的题，只要概念清楚我觉得做起来也没多大困难。 第三小题，就是我们说的填空题的第14题，我觉得这个题也出的相当不错，因为把几个概念全揉在这么一个小题里面，尽管是一个填空题，牵扯到希望怎么求、方差等于什么，最后一般的概率是什么，我觉得也是三个概念左右。

　　这几个题我觉得与往年比起来丝毫比较难的感觉，比较讨厌的就是下面两个大题。这两个大题，我觉得第一个大题，就是22题，这个题是XY相互独立，两个属于基本量，其中X是离散的，Y是连续性的随机变量，实际上Y是一个0与1之间的均匀分布，这个题我觉得出得相当不错。为什么呢？几个概念都扣在这里面了，也没有超纲，只要大家概念清楚，做这个题我觉得没有什么太大难度。以前我们还没有出过这种类型的题，这是今年第一次涉及到这样的题。所以我觉得这个题只要把离散的跟连续的加在一起，把离散的分成三种情况，用一个全概率公式，套进去以后再用条件两个XY是独立的，最后条件概率写出来，这样做起来概念清楚的话计算量并不是很大。假如概念不是太清楚的话，我觉得做起来就有困难，我觉得刚才两位李老师谈的，我觉得这是我们命题中间好的地方，我觉得就是始终要求广大考生能不能抓住最基本的概念，不要在怪题、偏题上扣题，不要搞冷门的，不是这样的情况。这个题我觉得也是出的比较理想，只要把全概率套进去，条件概率把前面XY带进去以后，前面只剩Y，后面X就可以取消了，因为是独立的，最后求导数马上分布概率就解出来了。所以这个题概念我觉得设计的比较好。

　　 最讨厌的我拿到这个卷子看到的就是最后一个题，23题，也就是刚才网友们提出来的这个问题，这个题我觉得比较讨厌，应该说这个题是计算量偏大的，但是我觉得计算量也不是太大，这个题不能说超纲，还是我们主要要求之内，这里面牵扯到几个概念。第一，这里面有X拔的估计还有X方的估计，所以第一求X拔的期望、X拔的方差，第二X拔和X方是独立的，讨厌就是最后求方差，第一问只要掌握这个东西确实没有多大困难，尽管是证明题，实际上就是计算题。

　　实没有多大困难，尽管是证明题，实际上就是计算题。 下面求这个就比较讨厌，我自己算了一下这个计算量相当大，我也跟命题组的同志通了一个气，他们这个我觉得还是非常考虑广大考生的情况，所以第二小题给分给的比较少，放到最后，有时间做就做，做了时间不行就算了，也就几分，所以不是占了很多分数。当然你想拿高分、拿满分不太容易。假如说今年我觉得概率题比去年比起来最后一个小题是难的，前面我觉得应该说是没有难的地方，而且是基本概念比较不错，最后这个题计算量我觉得要半页纸左右，所以是不太容易的事情，所以广大网友不用在这方面太着急，这个东西也考考你计算的基本功，我们以后会把正确的标准答案在网上或者在这个书上会正式公布的，因为这个计算比较偏多，我在这里也不便计算。

　　 总的来看，我们三个小题全是基本概念，也不是简单的基本概念，每一题都是三四个概念套在一起，看考生们这方面掌握怎么样，后面两个大题有一定的计算量，我觉得也比较正常，这也跟我们原来估计差不多的，跟去年模式一样。倒数第二题也就是一般的求随机变量函数的分布，这也是每年标准规格的题，但是有一点新意。 数四这个题可能也比较怪，平时复习当中做这种题比较少，说的就是产品有成品、有次品，看会不会把原来概率论学的应用上去，最后求出利润要大于2万块，至少生产多少产品，我觉得这也比较带有应用性质，对数四的同志考经济管理的题我觉得也是比较符合要求的。 总的来看，今年我感觉题目除了最后一个题，我相信考试们也不会考的太差。

　　主持人：谢谢三位老师！我们都知道三位老师是考研数学辅导界的风云人物，都具有丰富的真题解析经验，三位老师能否就今年数学行阶式的特点给09年备考的学生提一些建议？大家都知道，大家都知道高数在考研中占得分数比例是最大的，还是请李正元老师就高数给网友一些建议。

　　李正元：我想从今年考试和往年考试对比情况来看，可以看出几点，对新的考生有什么启发，也就是09年参加考试的。 刚才我说过第一个特点，并不是说难的，出现了很多第一次出现的题型，比方刚刚说求函数的富里艾级数展开，以前考的是求合和求级数本身，这个可以满足展开条件用等号连起来就可以了。利用这个级数求一个特殊的负级数，这个展开之后X等于一个特殊值，就得到他所求的级数的合，所以这个并没有难度。

　　还有其他的刚刚说的第一次出现的，比如多元函数条件级的问题，三元函数有两个条件从来没考过，两个条件比一个条件，其实方法是一样的，就是说可能计算量上会大一点，但是可以选择计算量刚刚好的不要太大的，方法是一样的，引进辅助函数有两个参数，一个条件是一个参数，两个条件是两个参数，计算量可能大，可以选择一个配置刚好的计算量也不大。

　　如果说即使同学不全面复习，偏废，可能这个题目就不会做了，如果复习到了这个题目并不难，考的少未必是偏的东西，可能有重要性，比如一个两个方法一样，有的时候会考一个，所以复习一定要全面的复习，就是说偏废某些某些原则上是不可取的。 另外，很多是基本概念的运算，所以说一定要掌握好最基本的，刚刚就是这个特点，我们很多题目里面实际上是很基本的题目，比如变相积分求导法，这是历届考试里面都考多的，我看数三、数四里面有很多考的是变相积分，其实我们辅导课里面专门讲过，复习的话就会做了，这都是基本的东西，大家一定要在基本东西里面下工夫，考试里面绝大多数都是基本的东西，所以我想要在基本的东西上下工夫，这是两点非常重要的地方。

　　主持人：谢谢李正元老师！下面有网友反映今年线代的题目比较新，请李永乐老师为我们也说一下今年的线代考题的特点，给09年的考试一些建议。

　　李永乐：我很同意刚刚李正元老师讲的，从今年代数考题来看主要是一个解答题，解方程组这个题，就是考的是N个方程N个未知数的求解，而这个方程组的系数矩阵，又是行阶式里面一个典型的三条线，而这种行阶式的计算问题原来数四曾经考过，要用递推的方法，而今年这道题给的是一个证明，我想用归纳法是好做的，如果像往年那样用递推来做可能就比较困难。这问如果不会做，大家可以用第一问的结论来处理第二问和第三问，要用第一问的结论处理第二问和第三问的话，我想一个就是克莱姆法则，一个就是考方程组解的结构，这个实际上都是代数里面最基本的东西。所以像今年的考题，就像李正元老师刚刚说过的，如果大家复习的比较全面，重视基础、重视概念，我想这样的题还是可以把它做出来的，因为今年几个代数题计算量都不大，只要概念清晰，我想这个题还是好做的。

　　数一的一道解答题，我刚刚前面提到了，数一矩阵的质，这个一直是咱们同学复习当中的难点，质对于同学比较掌握，今年正好考矩阵质的证明题。这个题证明本身难度并不大，实际上考的矩阵质的公式。我想代数题今年这道题比较新颖，往年没有出现过，数一这道质的证明题是比较新颖的。其他的几道代数题都是老面孔，知识点是一样的，只是出题的方法稍微变了一些，不管填空题还是选择题都是基本知识点没变，都是考特征值，用特征值的一些公式、定理来做一些应用和处理。

　　知识点没变，都是考特征值，用特征值的一些公式、定理来做一些应用和处理。 所以基于这么一个情况，09届的考生如果准备考研的话，我想复习一个要早一点动手，因为一个竞争比较激烈，再有，数学不是简单的复习，因为考研题比原来本科学习的题目要略难，综合性要比原来的题略高一些，所以基于这样的情况，我想作为09届的考生一定要扎扎实实打好基础。中国有一句老话“熟能生巧”，所以如果09届考生重视基础、重视概念，搞的比较熟悉，这样再做起题来可能就灵活多变了。

　　主持人：谢谢李永乐老师。有网友反映概率考完以后总体感觉还是比较心虚，心里没底，下面还是请王老师就概率结合今年考题的变化和特点，也给09年的考试一些建议。

　　 王式安：概率当然是大家比较头疼的一门课，为什么？有的地方不太好琢磨，其实概率的东西大头当然是在高数，但是假如想要考学校、好专业，概率这个东西假如不做好，可能也是比较困难的。前面两位老师我觉得谈的都比较经典了，还是要抓住最基本的。我们出题也好，考试也好，三个基本我想千万不能忘记，一个是基本概念，一个是基本理论，还有一个是基本方法。这个东西复习也好、做什么事情也好，都是围绕这三点的。其中数学这个题是千变万化的，但是千变万化里面总有几个核心的东西，核心的东西我觉得就是这三点。

　　出考题我们也不能说想怎么出就怎么出，一定是从在重点方向上的重点内容，当然我都希望所有东西全背出来，但是实际上做不到。明年准备考研的同志们我觉得送这么几句话，当然全背出来不可能，这样找出重点的东西，当然你考好也好，能考到130分、140分，我认为像北京这样的学校问题就不是太大了。 这里面来看今年的题我认为也是环绕了几个基本概念，始终没超出大纲的范围，所以大家复习的时候从基本抓起，做题也好，是为了检查你基本概念的掌握情况，将来考试也是为了考基本概念、基本理论、基本方法掌握好。

　　数学这个东西刚刚李老师天到动手早，数学是素质问题，不是背几条定理就可以，像小说这样的一两个礼拜早就看完了，但是数学不是这样的，数学这个东西要慢慢变成自己的一种素质的提高，就是说这些基本概念、基本理论都印在脑子里面，基本方法很熟练的运用出来，这样将来应付什么东西都没有问题。

　　当然早点动手这种机会就更容易掌握，所以我的想法就是，这个考题当然作为明年考生来说，可能还没有开始复习，或者现在做考题很困难，因为还没有复习好，但是至少看这个卷子是什么结构，因为考研的卷子跟在大学里的卷子是不一样的，大学里面的卷子是什么？我们叫水平考试，高数够水平了、线形代数够水平了就可以拿学位，考研究生一达到一定水平，同时还有一个选拔问题，所以这个是两个都兼顾起来。假如都达到这个水平，国家不可能全是研究生，不可能，必须要选拔。换句话说，你要比别人做的更好一点，你就有希望了，这点上我认为不是说你拼命努力，假如方法上不好好钻研，这个考卷就是你将来的奋斗目标，当然我不是来宣扬考试至上，但是目标就是为了对付考试，国家就是拿考试卡你，你就得把这张考卷做好。既然要把考卷做好，考试命题组每年这个模式是相当稳定的，当然会有新面孔，刚刚李正元老实说有一些新的题型，这个我想也是应该的，但是新面孔的再怎么乔妆打扮还是一个面孔，还是高数、线形代数、概率，就是用另外一种形式表现出来。我觉得现在的情况就是抓住最基本的，把自己的素质提高，目标弄清楚，这将就是对付考试的，所以把近几年的考卷适当翻翻，知道知道怎么回事，知道将来要去的地方、将来要走到的地方大概是怎么回事。

　　比如前面两位李老师谈到，我们都是几十年积累的情况，我们三个人是同一届毕业的，到今年是45年了，所以应该说我们看的比较多了，可以参考参考，对你复习可以少走弯路，因为时间有限，要竞争嘛，这样就要下定决心，方法对头，好好研究研究现在的考卷和历年出的考题，将来一定会考得好成绩的。

　　主持人：谢谢三位老师的宝贵建议。我们都知道三位老师有着非常多年的阅卷经验和辅导经验，三位老师能否根据今年的整体情况预测一下08年考研数学的分数线呢？

　　李正元：分数线肯定要比07年高的，我想数学高也不会高出特别多，会高一些。

　　李永乐：我想从这些年的经验来，不管题目出的难、题目出的容易，分数线都不会特别高。像数一，这些年一直在60几分徘徊，经济类一直在80分左右徘徊，80、83、78，这些年一直是这么徘徊。

　　王式安：分数线实际上有两条分数线，一条是总分，总分有多少，还有一个单科不能低于多少分数先，所以这个刚才李永乐老师谈的，单科得分数先一般都定的不算太高，当然太低不行，一般平均分数线。所以我觉得这个上面分数线每年相差不是很多，当然要考上好学校，分数线并不等于你录取了。

　　李永乐：要考学校分数线没用。

　　李正元：看相对分数。

　　 王式安：我原来管过研究生院招生的事情，我管过那么多年，分数线这个东西当然有一定作用，当然要看综合素质。所以考已经考完了，也不用担心分数线，我估计一般同学都考的还可以，只要复习认真的话。

　　主持人：谢谢三位老师精彩的点评，由于时间关系今天访谈到此结束，祝三位老师新年快乐，也非常感谢各位网友对搜狐教育频道的关注，请大家继续关注我们搜狐考研频道其他的考研信息，再见！

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