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Classical Markowitz portfolio optimization

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Classical Markowitz portfolio optimization作者：聚宽用户 |韭菜Hulk
原文见
https://www.joinquant.com/post/353
https://www.joinquant.com/post/389
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Markowitz动态再平衡策略是Harry markowitz在1952年发表的资产组合的方法
原论文见 http://www.jstor.org/stable/2975974?seq=1#pag…
中心思想是资产的配比需要满足两个相互矛盾的目标：
1）最大化资产组合的回报
2）最小化资产的风险
最大化回报很好理解，就是知道每个资产的回报，写成向量形式r，如果资产配比权重是w，他们的总回报就是w'r。我们要调整w的值使得w'r最大。
资产的风险一般使用资产回报的波动方差来表示的，但在一组资产中，某些资产回报的波动具有相关性，所以需要使用协方差C来计算资产的总风险w'Cw，目的是尽可能的把资金投在不相关的资产上来分散风险。
在回报和风险相权衡的时候，一般使用夏普率来评估风险回报比，希望在尽可能小的风险下获得最大的回报。在可以做多也可以做空的市场中，最优化夏普率的资产配置方法具有解析解，但是如果限定只能做多的话，需要用凸优化的方式求解资产配比的权重w。
凸优化的表达式是
min tau w' C w - w'r
given sum_i=1^n w_i=1
w_i in [0,1] for i=1,...,n
这里tau的值会影响目标函数对回报和风险的态度。tau值越大，越倾向于低风险，tau值越小，越倾向于高回报。我们选择一组tau的可能取值，分别做优化，然后取夏普率最高的结果。
tau的设置见Convex Optimization by Boyd and Vandenberghe的第四章186页的例子
http://stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.…
现在给定一组资产，根据历史数据我们可以获得当前他们的配比结果。但资产随着时间的变动，他们的回报会发生变动，所以隔一段时间，需要重新计算配比w，也就是做rebalance。一般可以设置成固定每月的月末进行rebalance。
我自己对固定时间的Rebalance不太喜欢，所以按照别人推荐的Larry Swedroe的5/25规则进行rebalance。这个规则是说：
1）当某个资产的position变动超过5%,做一次rebalance
2) 当某个资产相对于资产组合中其他资产的配比变动超过25%,做一次rebalance
先看第一条规则，假设我们有两个资产A和B，我持有A的position是100元，当position变成105元或95元时，就做一次rebalance。
第二条规则是说如果当前A和B的position是90元和10元，那他们的权重是90%和10%。如果此时A的position变成92.5元，B的position变成7.5元，虽然他们自身的变动未达到5%,但是他们的权重变成了92.5%和7.5%。变动幅度超过了25%。所以需要rebalance。
在资产配比均衡的时候容易触发第一条规则，在资产配比悬殊较大时，容易触发第二条规则。
总的来说，Markowitz资产配置方式比较简单，在计算回报和风险时都是取比较长的历史数据，对市场的反应会比较慢。比较适合长期投资ETF的时候使用。
[backcolor=rgba(136, 136, 136, 0.498039)]
结果回报和benchmark差别不是很明显，问题就出在该模型在估计收益和风险时全都是用历史数据来计算的，并没有向前的预测功能，导致策略对市场的判断滞后。ETF的投资周期一般相对较长，我们可以认为其收益率大致符合高斯分布，而收益组成的时间序列是一个稳态高斯过程（短期来看这个假设并不成立，因为短期的收益走势是随机游走）。
这个稳态过程的假设会带来如下的好处：
1 在股价跌入底部和爬上顶部的时候，预测的收益率会向均值偏移，这会使模型早早得知股价拐点的到来。
2 在使用50 300 500的大中小ETF时，不断回归均值的预测能有效抓住二八转换的节奏
为了防止短期随机游走对长期趋势的影响，我们选用稳态高斯过程来作预测，并刻意选择比较平滑的核函数做计算。对高斯过程有兴趣的话可以参考这个链接 http://www.gaussianprocess.org/gpml/
解释下稳态，稳态是相对于趋势来说的，用趋势做预测，如果收益上涨，预测结果会是一直上涨，用稳态做预测，如果收益上涨，短期预测上涨，长期预测下跌，而且一直回绕均值波动。
我们使用稳态假设下预测出的收益率，带入Markowitz模型求资产配置权重，rebalance和之前文章一样，也是5/25规则。结果总收益从75%直接翻倍到160%，改善了两倍多。可以明显看到该策略能及时对市场的变化做出判断。

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