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需求定律公式和需求弹性的推导

本节将论述经济学的基础定律，包括商品市场的需求定律和供给定律，劳动市场的需求定律和供给定律，广义经济学和价值相对论。文中给出了需求定律公式为Q=K(B-P)；供给定律公式为QS=KS(P-C)；需求定律，供给定律和广义经济学的本质均是广义动量定理Fαt=MV。文中同样给出了价值相对论的公式Q=K(D/Q-P)，其中Q表示需求量，K表示转化系数，D表总需求，P表示价格。

经济学上有一条基础的定律叫做需求定律，其内容为任何产品的价格下降，购买量必定上升；任何物品的价格上升，购买量必定下降。但是在现实中需求定律遇到了挑战，需求定律解释不了股票价格上升购买量上升，奢侈品价格上升购买量上升的现象。不是价格决定购买量，而是消费者盈余决定购买量，价格决定最低消费者层次。因为大多数商品给消费者带来的利益是不变的，所以才会有价格和购买量的同方向变化。当消费者利益也发生改变时，价格和购买量就会出现同方向变化的现象。在文中给出了需求定律公式，解释了奢侈品，吉芬物品和投机品对传统需求定律的挑战，提出需求定律框图，并对框图进行了说明。

消费者利益（商品的价值）与购买量正相关，消费者利益越大，购买量越多；商品的价格与购买量负相关，价格越高，购买量越少。消费者盈余=消费者利益-商品的价格，所以消费者盈余与购买量正相关。设商品的价值为B（Benefit），商品的价格为P（Price），消费者盈余为S（Surplus），购买量为Q（Quantity），消费者盈余转化为购买量的函数为K，则

Q=K(B-P)

将此公式称为需求定律公式或需求公式。

在横坐标为需求量Q，纵坐标为价格P的坐标系中，DD为需求曲线。价格P为0时的需求量为KB，价格P为B时的需求量为0。

以系统框图表示如下：

当价格P下降时，消费者盈余S=(B-P)上升，由需求定律公式Q=K(B-P)可以得到购买量Q上升；当价格上升时，消费者盈余下降，所以购买量上升。当消费者利益B（商品的价值）上升时，消费者盈余S=(B-P)上升，所以购买量Q上升；当消费者利益（商品的价值）下降时，消费者盈余下降，所以购买量下降。对于大多数商品，消费者利益（商品的价值）是固定的，所以才有价格下降，购买量上升的一直的反向关系。消费者盈余转化率K在市场中的表现形式被称为市场营销，即在消费者利益和价格不变的情况下，改变消费者盈余转化率K，也可以改变购买量。

影响需求量变化的三个因素

（a）消费者利益变化引起需求曲线平移

原香烟的需求曲线为D1D1，消费者利益为B1，需求曲线与坐标轴的交点分别为KB1和B1。限制吸烟的政策使消费者的利益从B1降低到B2，新的需求曲线向左移动，与坐标轴的交点变为KB2和B2。在相同的价格2美元每包烟的情况下，香烟的需求量从每天20支下降到每天10支。

（b）价格变化引起需求量变化

税收的增加使香烟的价格从2美元每包上升到4美元每包，消费者的需求沿需求曲线从A点移动到C点，需求量Q从20支每天下降到12支每天。

（c）盈余转化率K的变化引起需求曲线的变化

原香烟的需求曲线为D1D1，消费者利益为B，需求曲线与坐标轴的交点分别为K1B和B。营销（或其他原因）使盈余转化率从K1增加到K2，新的需求曲线与纵轴的交点仍为B，与横坐标的交点从K1B增加到K2B。在每包烟价格2美元，消费者利益为B的情况下，香烟的需求量从每天20支上升到每天24支。

管理学家彼得•德鲁克说：“企业的宗旨是创造顾客，所以企业有且只有两项基本职能：创新和市场营销。创新不等同与发明。创新是一种经济上的术语，而非技术上的术语。”创新是指创造更大的消费者盈余S，而市场营销是指增加消费者盈余转化率K，从而增加购买量。企业创造了消费者盈余（B-P），通过市场营销增加了盈余转化率K，进而创造了购买量Q=K(B-P)，则企业实现了自己的宗旨：创造顾客。所以，有三种因素会影响购买量，消费者利益（商品的价值），商品的价格和盈余转化率而不是传统需求定律所说的价格决定购买量。

如果将单个产品的利润设为I（Interest），产品的成本设为C（Cost），则I=P-C。结合需求定律公式Q=K(B-P)，总利润T（Total）等于购买量乘以单个产品的利润，即T=QI=K(B-P)(P-C)。我们在管理学价格，成本与利润那节已经论述过，总利润曲线是一条以价格P为自变量的抛物线，当价格P为(B+C)/2时，企业获得利润最大值为K(B-C)2/4。

对于传统需求定律，它遇到了3种物品的挑战，奢侈品，吉芬物品和投机品，这三者的价值是随价格的变化而会发生变化的。

2.1.1.2 需求定律与需求弹性

需求弹性是需求定律的一个数学推论，是需求定律的微分形式。需求弹性等于盈余转化率与基础值的乘积。即

需求的价格弹性（price elasticity ofdemand），有时称价格弹性（priceelasticity），价格弹性为英国新古典派经济学家阿尔弗雷德•马歇尔所创立。衡量的是：当一种物品的价格发生变动时，该物品需求量相应变动的大小。价格弹性的准确定义是需求量变动的百分比除以价格变动的百分比。即

此公式前有负号，表示价格与需求量负相关。为方便起见，经济学书籍将价格弹性公式前的负号去掉，让所有的弹性都表现为正值，即：

推导过程：

需求定律公式为Q=K(B-P)，通过数学对价格P求微分，K也可以看做常数，对应不同的消费者盈余(B-P)，K为不同的常数。所以有：

两边同时除以ΔP，并且乘以P/Q，得

对比价格弹性公式，得到：

其中B(ΔP)为价格变化对消费者利益的影响，是消费者利益关于价格的函数。

由于对于大多数商品（吉芬物品，奢侈品和投机品除外，价格变化时，此三种产品的消费者利益也发生变化，消费者利益B不随价格改变而改变，在这种情况下，B(ΔP)等于0，所以得到

由于P/Q为基础值，是常数，所以需求弹性等于盈余转化率与基础值得乘积。K等于-(ΔQ)/(ΔP)，K为正值。

经济学定义，如果价格变动1个百分点引起的需求量变动超过1个百分点，则该物品就富有需求价格弹性。如果价格变动1个百分点引起的需求量变动不足1个百分点，则该物品就缺乏需求价格弹性。如果价格变动1个百分点引起的需求量变动等于1个百分点，则该物品就拥有单位需求价格弹性。

假设某一物品一直具有单位弹性，价格基值P为100元，此时的需求量Q为200个（假设价格变化对消费者利益B没有影响）。则价格上涨1%，即价格为101元时，需求量也下降1%，即需求量为198个。从而得到

由于假设此物品为单位弹性，所以K值为常数2不变。

带入需求定律公式Q=K(B-P)，可得到B=200。所以可以根据不同的价格求得需求量Q=2*(200-P)。

从上表得到，当基值P=101，Q=198时，价格弹性从1变为0.9802（绿色部分）；当基值P=102，Q=196时，价格弹性从0.9802变为0.9608（黄色部分）；所以，基值选择不同价格弹性不同。

价格不会一直下降，价格以成本为下限；购买量不会一直上升，购买量以总需求为上限。

由于弹性与物理学的弹簧的胡克定律类似，我们来分析两者之间的类同关系。

在物理学中，胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力F和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F=-k·x或△F=-k·Δx。k是物质的弹性系数，它只由材料的性质所决定，与其他因素无关。负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。其中弹性系数k=-(ΔF)/(Δx)，为因变量增量与自变量增量的比值，这一点与经济学弹性定律的盈余转化率K相同，K=-(ΔQ)/(ΔP)，K为需求量增量与价格增量的比值。经济学中的需求弹性是一个变化百分比的定义，经济学中增加了基值P/Q，用来表示当前的变化是针对什么价格P和需求量Q的，这一点相当于在胡克定律k=-(ΔF)/(Δx)左右同时乘以x/F，即同时乘以一个基值x/F，即得到

可以发现此时的公式与需求定律的弹性公式定义完全相同。不同基值类似于选择弹簧测量起点的不同。

弹性系数k和盈余转化率K的大小

在弹簧（或者其他材料）的弹性范围内，弹性系数k不变，为比例系数，当超过此比例范围，弹性系数k值发生改变，如下图所示。需求弹性类同，在某一范围内，盈余转化率K值不变，超过此范围，K值改变。

摘自高广宇著《可以量化的经济学》

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