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经济随想

LOS59.Basics of DerivativePricing and Valuation

在给衍生品定价时，要用一个非常重要的理论：风险中性价原理Risk-Neutral Pricing Theory。它是1976，一个叫罗斯Ross的牛人在推导期权定价公式时建立的。他认为：投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都等于无风险利率。为什么啊？听起来是不是有点怪啊？

我们在学Utility的时候是不是讲过，投资者对待风险的态度分为三种啊：risk-seeking、risk-neutral和risk-averse。尽管投资者在风险偏好方面存在差异，但当套利机会出现时，投资者无论风险偏好如何都会采取套利行为，直至套利消失。消除套利机会后的均衡价格与投资者的风险偏好无关，罗斯（Ross,1976）严格证明了这一逻辑。所有证券的预期收益率都是无风险利率。

Forward

1956年，匈牙利武装分子起义试图推翻苏联控制，苏联政府派兵匈牙利进行镇压，这就是匈牙利十月事件。匈牙利事件之后，以美国为代表的资本主义和以苏联为代表的社会主义阵营冷战的氛围越来越浓。苏联政府担心美国会因此冻结他在北美银行的美元存款。此时，一家英国银行向苏联政府表示他们可以在美国境外接收其美元存款，之后他们再将其存入美国银行。这样美国就不可能将其冻结户口，因为此时的存款是属于英国银行，而不属于苏联政府名下的帐户。这次操作被认为是“欧洲美元”一词的首次使用。

Eurodollar，是指储蓄在美国境外的银行而不受美国联邦储备系统监管的美元。因此，此种储蓄比相似的美国境内的储蓄受到更少的限制而有更高的收益。它的本质还是美元。这笔离岸美元，有人愿意借，有人愿意贷，借贷者之间的利率就是LIBOR伦敦同业拆借利率，它是单利计算的n/360。如果你一个月准备借一笔钱周转三个月，你担心利率会上涨，你就在市场上找一个counterparty签一份合约，这份合约以利率为标的物，我们称为forward rate agreement(FRA)远期利率协议，站在0时间点锁定了1-4的借款利率，是即期还是远期？对啊，远期利率。那我们是应该Long呢，还是short？你担心利率上涨，就签一份利率上涨赚钱的合约，就是long一份FRA。(画图)

如果0期的时候约定，1-4期按5%的利率借款，表示方式1*4FRA.如果1期时，市场利率是7%，你赚了还是亏了？

对了，赚了。你如果不签这份合约，你借款利率是7%，而因为你签订这份合约，你的借款利率是5%。如果市场利率是4%，你是赚了还是亏了？对了，亏了。那么2*8 FRA是什么意思呢？

你约定2个月后，按照约定利率借款6个月。一级只需要知道这些定性的概念就可以了。二级会教大家如何计算FRA。

在0时间点，签的FRA的利率是5%，这个5%是如何确定的呢？是不是随便给的啊？当然不是啊，它是我们合成出来的。

我们借一笔120天的借款利息等于我们先借30天，再借90天的利息1*4FRA。而在0时间点，30天的利率和120天的利率都是给定的。我们现在到银行都可以看到啊，还可以看到半年，一年，三年利率等。

(1+S30*30/360)*( 1+FRA1*4*90/360)=1+S120*120/360

假如，今年你准备养羊，年初买小羊回来养，年末卖钱过年，年末的时候你卖羊的时候到底应该标价多少钱呢？

是不是年初买小羊的钱S0+养小羊的成本-羊毛收入啊

F=S0+C-B,假设S0=100，C=20（机会成本+饲养成本），B=8

那么，期初我们在给forward定价时，定112。可能你会说，为什么我不定120呢？多赚一点。我们知道一旦你定120，别人就会买119的羊，而不会买你的羊。市场会一直套利直到羊肉价格到达均衡112为止。会不会有人定111呢？定价111虽然会抢占市场，但是长期看，是亏损的，市场还是会回到112的均衡水平。

如果这些成本和收益发生在不同的时间点，我们只用把他们折现到0时间点就可以了。F=S0+PVC-PVB

对于支付股利的股票,直接把股利折现到0点，减去就可以了。

Benefit分为monetary和non-moneytary的，非货币性的益处又称为convenience yield。例如，你买了一幅名画挂在家里，你每天只要看画心情就会好。这部分非货币性的好处就叫convenience yield。

还有些金融产品，存续期间是没有维护成本和持有收益的，例如中国股票，股票交易是电子化的，没有什么成本，持股期间，中国的股票很少发股利，持有收益很少。唯一的成本就是这笔钱的机会成本S0*RFT。F=S0+S0*RFT= S0*(1+RF)T。

Valuation就很简单了啊St-F/折现，St是给定的，F在期初就已经pricing给定了，直接相减就可以算出估值。

例如，你现在有一只股票万科A，股价17元，S0=17，市场国债利率是2.5%。你担心股价下跌会给你的资产带来损失，你就short了一份以万科股票为标的资产的forward。那这份合约的forward price应该定为多少啊？

我们是不是刚学过F=S0+PVC-PVB，假设没有股利，期限为1年，F= S0*(1+RF)=17*(1+2.5%)=17+17*2.5%=17+0.43

portfolio是S-forward,你组合的利润为ST-17-(ST-17.43)=0.43，是不是正好等于17*2.5%，利润正好等于RF。如果题目问你如何构建一个无风险收益的资产组合？应该是long a asset+ short a forward=RF。

我们知道future是标准化的forward，一般情况下，他们的估值应该是一样的。但是，由于future是mark to market,我们不用给它估值，他的价值每天系统都会直接算好，显示在你的账户里。

如果利率和股价是同向变化的，股价上升，赚的钱打到你的账户使余额大于initialmargin,你可以将多余的部分取出存银行赚取更多的利息。而此时利率又在上升，此时future比forward更好。如果股价下跌，你需要向账户补充保证金，而此时银行借款利率较低，future好。

如果利率和股价是同向变化的，股价上升赚的钱只能以低利率存银行，forward更好。股价下跌需补充保证金，而此时银行借款利率较高，forward好。

Swap

Swap是什么啊？互换。什么和什么换啊？固定和浮动换。上一章我们讲了为什么会发明swap以及最原始的利率互换interest rate swap。

假设你与counterparty签订了一个一年期的swap,每季度支付一次利息，付固定收浮动，每期净收益是Sn-Fn（此处需要画图）。

浮动利率在期初会给定，固定利率我们不知道是吧？怎么求这个固定利率呢？

我们知道Swap是一份权利与义务对等的合约。它的期初价值是0。我们把浮动的现金流和固定的现金流折现到期初，他们应该是相等的。VFIX=VFLOAT,float利率在每期期初是给定的，就可以直接求出fix利率了，这个求固定利率的过程就叫做swap的pricing。

Valuation 就是PV(收到)- PV(支出)。此处要画图。

Option

Moneyness of the option

Call option value=Max(0,S-X)

画图，假设你与猪肉店老板签订了一个3个月后以20块每斤购买猪肉的American option， 1月后猪肉的价格是20，这个option的value是多少？

intrinsic value= Max(0,S-X)=20-20=0,如果你现在你立即行权，就可以获得0元的收益，如果未来2个月猪肉价格上升，optionvalue就会大于0，我们把后面这段期间价格不确定性所带来的收益称为Time value。时间越长，time value越大。

Optionpremium=intrinsic value+ time value

一般情况下Option premium大于intrinsic value

Option是权利和义务不对等的合约，为了获得这个件权利，你是不是要在市场上找一个counterparty啊？还是举我们前面买猪肉的例子，你想猪肉店老板签订一份合约，让他一个月后以20块一斤的价格将猪肉卖给你。猪肉店老板说：“好啊，但是你要给我10000块，我才能你签。”你跟不跟他签啊？不签啊，要价太高了。你觉得他要价高还是低，是不是把他的要价跟你的心理的价位进行了对比啊。那么，我问大家你心理的价位到底是多少？

你现在心理是不是只有一个很模糊的区间啊，但是，我告诉你，这个心理价位到底是多少，我们是可以算出来的。现在，我就来告诉大家怎么算？是不是顿时觉得学CFA还挺好的啊，至少不会那么好骗了，对吧？

这里我们要引入一个计算方法：binominal model二叉树模型。

我们估算一个资产的价值，是不是把这个资产未来的现金流折现到这个时点啊。（画图）首先，我们得知道这个资产未来的现金流，对吧？一级大家只用掌握用一期的二叉树模型给option定价，二级的时候，我们才会学多期二叉树模型。

我们是不是要先估一年之后的现金流，也就是一年后猪肉的价格啊？

估一个月后的价格，在概率和统计学里，我们是不是学了一个专有名词，叫做期望expectedvalue啊。期望怎么求呢？

期望是每次试验的结果乘以其概率的总和。E(X)=∑XiPi

比如，现在猪肉价格20块一斤，1个月后猪肉价格可能上升，也可能下降。上升我们用u（up）表示，下降用d(down)表示。假设，这个call option的执行价格是20（此处需要画图）。

概率：

我们假定价格上涨的概率是πu，价格下跌的概率是πd，上涨和下跌概率之和是不是100%（1）啊，πu+πd=1。例如，明天下雨概率是60%，不下雨的概率是不是40%啊。

根据风险中性价原理Risk-Neutral Pricing Theory，所有证券的预期收益率都是无风险利率。

E(X)=πu*（u-1）+πd*(d-1)

=πu*（u-1）+(1-πu)*(d-1)=Rf,求得πu=(1+r-d)/u-d;πd=1-πu

E(X)=πu*（Su-20）+πu*max（0, Sd-20）

算出的E(X)是不是你估计的一年后的猪肉价格啊，要求在0时点的价值，是不是要把E(X)折现到0时点啊。根据风险中性理论，期望值用无风险利率折现，就可以求得期权的价格。

这里需要一道例题，强化这个概念。

Put-call parity买卖权平价

假设你到银行咨询理财产品，经理给你推荐了2个理财方案:

方案1：买一份国债和一份股指的看涨期权C+X，这样是不是股指上升，你可以使用Call来赚钱，如果股指下跌，你至少还有国债保底。这样是不是很好啊。

方案2：买股票和看跌期权S+P，这样股价上升可以赚钱，如果股价下跌，可以行使看跌期权，锁定损失。

是不是这两个方案都看上去挺好滴，但是让你判断到底哪个好，你是不是也说不出来啊。怎么样比较大小啊？是不是算出两种方案的值，然后比较大小啊。下面，我们来算一下。

方案1：t=0,C+X/(1+RF)N

t=T,max(0,S-X)+X=max(X,S)

方案2:t=0,P+S

t=T,max(0,S-X)+X

这两种投资组合的未来的现金流是一样的，根据我们前面学习的无套利理论，这两个方案的定价也应该是一样的。

C+X/(1+RF)N=P+S

我们记忆的时候，用K来代替X，就可以写成CK/=PS

你想在市场上买一个call,但是市场又没有人卖这个call，你就可以采用上面的这个公式合成一个call。C=P+S-K/(1+RF)N,

Put-call-forward parity

用forward代替underlyingasset就可以了，forward的价格折现到期初是F/(1+RF)N,公式就可以写成C+X/(1+RF)N=P+F/(1+RF)N

何种情况下美式期权和欧式期权价值是不一样的？

美式期权是到期日前任何一天都可以行权，而欧式期权只能在到期日行权。除非提前行权可以带来正的收益，否则美式期权和欧式期权的价值应该是一样的。OV=IC+TV,到期时，美式期权和欧式期权的价值是一样的。

Call opotion:

期间有现金流

期间没有现金流

Put option:

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