经济物理学第一讲：物理学奇遇记之哈密顿原理科普-经管之家官网！

本人将陆续推出物理学奇遇记系列，关注物理学与经济学融合，争取用浅显的语言，表达深刻的道理，欢迎大家关注，
个人特别欣赏理论 力学：牛顿力学----拉格朗日力学----哈密顿力学，哈密顿原理---量子力学
可以发现，随着时间的推移，力学的理论在数学上越来越精致
力学在数学上的完善，与经济学的数学完善非常相似
当然，物理学等学科的很多理论都是笔者在大学里自学的
哈密顿原理在动态经济学中应用很广泛的，最优控制的极值原理就是一例
光的折射定律也可以由哈密顿原理推出来：光所选择的是使它到达目的地所花时间最短的那条路径
两点之间，直线最短
世界好神奇啊
笔者异常推崇数学，酷爱数学
本贴想给大家介绍“哈密顿原理”， 哈密顿原理实际上就是最小作用量原理，这一原理起源于对牛顿力学的进一步研究，17世纪与18世纪的充满着神密主义的色彩，当时，半哲学半神学的数学和物理理论充斥着整个学术界，其中最有名的就是费马了，费马是怎么样的人我想不用多说了吧，其研究或多或少地带有一种神秘主义色彩，他认为大自然存在着某种神奇的联系，所以费马的猜想特别多，费马大定律大家都耳熟能详了。费马还有一个猜想就是关于光的折射的，光为什么会发生折射？费马提出了一个当时来说相当神秘的原理，这个原理说，光所选择的是使它到达目的地所花时间最短的那条路径。由于光在水或玻璃中的传播速度比空气中慢，根据费马原理，光从空气中的一点A到达水或玻璃中的一点B走的路线不可能是直线，而必然发生折射，从而使光能最快地到达目的地。费马原理给那个时代的人留下了如此深刻的印象，以致他们急切地要去找出力学中类似的原理。利用这个原理来代替甚至解释牛顿力学。一个正确的被称作最小作用量原理或作用理原理不久就被皮埃尔及拉格朗日等发现了。现在就来介绍一下他们的发现：

首先他们这么定义作用量的，通过考察一个粒子在Ta时从A点出发，在Tb时到达B点这样一个典型过程，我们不仅要考虑粒子从A到B所可能走的所有路径，而且还要考虑它走这一段路程的所有可能方式。因此，对于一个特定的路径，粒子可先慢走，然后加速一会儿，再慢下来，然后再加速。物理学家把一定时间内走过这一路径的每一种特定方式称为一个“经历”，所有可能的经历都必须被考虑，给每一个经历指定一个被称为“作用量”的数，例如，一个经历可以被标上95.6，另一个经历可被标上123.45。作用量原理说，粒子的实际经历是作用量最小的那一个。就象费马原理能确定光的径迹一样，一旦我们确定了作用量，这个原理就为我们确定了粒子的实际径迹。如果能找到一个公式来算出一给定物体在任一经历下的作用量，我们就完全把握住了这个物体的运动情况，那么是否真的存在这样的一个数或作用量呢？在经典力学中别说还真的找到了，那就是动能减去势能。一个牛顿粒子的某一经历的作用量是这样计算的：从它的动能中减去势能，然后将这个量对从Ta到Tb的整个期间累加起来。(在牛顿力学中，动能是仅与粒子运动有关的能量，而势能则是一种“贮存起来的”可转换成动能的能量。例如，在地球表面附近的物体因重力的牵引而具有势能，物体离地越远，它具有的势能就越大。当物体下落时，它的势能就转换成动能。)作用量的计算很象会计计算某一生产方案的总商业利润。他从一周的毛收入中减去总成本，然后把这个量对整个财政年度的52周累加起来。商人自然要选择一个最优的经历使总利润最大。

好了，有了这样一个初步概念，我们来看一个具体例子，最简单的情况就是自由落体运动了，一旦张三决定了要直接下落，他也还得从无穷多种可能的经历中选出作用量最小的那一个。为简单起见，张三先生可从比较两个策略大体相反的经历入手：一种是开始落得慢些，然后逐步增加速度；另一种是开始落快一些，然后再逐步慢下来。请记住，作用量是动能减势能并对经历作累加。由于势能随到地面的距离的增加而增加，在高处花的时间多会有好处，因为这可以减去更大的势能。因此，张三的下落是先慢后快。借助于微积分，可以证明，张三的最佳策略是以一常加速度由慢变快的下落，读者可能会觉得，在这种情况下，作用量的方法实际要比牛顿的方法更复杂。情况也确实是这样。在后一种方法中，张三的加速度可由牛顿公式立即算出。但是，当物理学的知识超过牛顿力学时，作用量方法的优越性就越来越明显了。作用量原理在物理上被证明是适用于整个宇宙的。自牛顿以来的所有物理学理论都可以用作用量的语言表述出来。作用量的公式也更简洁和精巧。例如，麦克斯韦的四个电磁学方程就可用一个简单的作用量——一个使我们能对每一描述电磁场如何变化的经历算出一个数的公式来表述。整个量子力学也都是建立在作用量的形式之上。