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不久前，Stata公司发布了最新的Stata 15，包含了许多令人激动的重大升级，包括非参数回归、空间计量、门槛回归、面板协整、DSGE模型等。本公众号将陆续为你介绍，与计量经济学最为相关的几个全新模块。
并非所有个体的经济规律都一样
如果你做过跨国回归（cross-country regression），或许曾想过，难道发展中国家与发达国家的经济规律真的一样吗？也许，二者的经济规律（回归系数）并不相同呢？此时，传统的做法是，根据某个指标（比如人均GDP），主观设定一个门槛值，将样本一分为二，然后分别进行估计。
又比如，当你用企业数据做回归时，可能想过小企业与大企业的经济规律或许并不完全相同，但应该如何根据企业规模（firm size）来区分小企业与大企业呢？在这两个例子中，人均GDP与企业规模都是连续变量，而我们需要确定一个合理的门槛值。
门槛回归模型
为此，Hansen (2000) 提出使用样本数据来估计此门槛值，并对于门槛效应（threshold effect）进行严格的统计推断。考虑以下的门槛回归模型（threshold regression，也称门限回归）：
其中，为用来划分样本的 “门槛变量” (threshold variable)，可以是解释变量的一部分；而为待估计的 “门槛值”（threshold level）。这意味着，当世界处于第 1 种区制（regime），即门槛变量小于或等于门槛值时，回归系数为；而当世界处于第 2 种区制，即大于门槛值 时，回归系数则变为
。
显然，如果，这两个区制的回归系数完全相同，则不存在门槛效应。因此，可通过检验原假设 ，来考察究竟是否存在门槛效应。如果原假设的约束条件成立，则门槛回归模型简化为一般的线性回归模型。为此，Hansen (2000) 提出基于有约束模型的 LM 检验来检验是否存在门槛效应。
条件 OLS
上述门槛回归的方程为分段函数，不易操作。为此，引入示性函数（indicator function），将其写为统一的方程：
其中，示性函数取值为1，如果其括弧中的表达式为真；反之，则取值为0。显然，如果给定 （假设已知），则可将上式的与均作为已知的解释变量，直接进行 OLS 估计即可。这被称为 “条件OLS”（conditional OLS），可将其残差平方和记为 。
其次，我们只要选择 ，使得最小化 即可。注意到，虽然门槛变量为连续的，但给定有限的样本容量 ，则门槛值也最多只能取个值（若取其他值，不影响模型的估计结果），故不难找到最优的 ，使得最小。
门槛回归的Stata命令
在Stata 15中，进行门槛回归的命令为
threshold y x1 x2, threshvar(q) regionvars(x3 x4) nthresholds(#) optthreh(#)
其中，y 为被解释变量，x1 与 x2 为回归系数不随区制（regime）而变的解释变量（也可以不设）。必选项 threshvar(q) 表示变量 q 为门槛变量，选择项 regionvars(x3 x4) 表示，x3 与 x4 为回归系数随区制（regime）而变的解释变量。此处的 region，其实就是文献中的 regime（区制）。
这个命令默认只有一个门槛值。也可以通过选择项 nthresholds(#) 来指定多个门槛值，比如 nthresholds(2) 表示有 2 个门槛值，即将世界分为 3 个区制。
更一般地，也可以通过选择项 optthreh(#) 来计算最优的门槛个数（默认使用BIC信息准则进行选择）；比如，optthreh(5)，表示最多允许有5个门槛值。
门槛回归的案例
参照Stata manual，下面以美联储如何制定联邦基金利率的季度数据集为例（类似于宏观经济学中著名的泰勒规则）。
. use http://www.stata-press.com/data/r15/usmacro
(Federal Reserve Economic Data - St. Louis Fed)
不妨先看一下联邦基金利率的时间趋势图。
. tsline fedfunds
下面进行门槛回归。
. threshold fedfunds, regionvars(l.fedfunds inflation ogap) threshvar(l.fedfunds)
此命令表示，门槛回归的被解释变量为 fedfunds（联邦基金利率），门槛变量为 l.fedfunds（联邦基金利率的滞后），而 l.fedfunds，inflation（通胀率）与 ogap（产出缺口）为回归系数随区制而变的解释变量。
上表显示，联邦基金利率滞后的门槛估计值为 9.35%，其对应的残差平方和（SSR）为 155.43。遗憾的是，此命令没有汇报门槛值的置信区间。
回归结果中的 Region1 与 Region2，在文献中通常称为 Regime 1 与 Regime 2。结果显示，当联邦基金利率滞后（l.fedfunds）小于或等于 9.35%，即处于 Region1 时，联邦基金利率高度依赖于其滞后（自回归系数为 0.93，且在 1% 水平上显著），而对于通胀水平（inflation）不敏感（p 值为 0.133），但产出缺口（ogap）的作用显著为正。
另一方面，当联邦基金利率滞后（l.fedfunds）大于 9.35%，即处于 Region2 时，联邦基金利率对于其滞后的依赖性减弱（自回归系数降为 0.70，仍在 1% 水平上显著），而对于通胀水平（inflation）变得敏感（p 值为0.002），但产出缺口（ogap）的作用则变得不显著。
Stata 15 门槛回归的局限与应对
虽然 Stata 15 的官方命令 threshold 可进行门槛回归的估计，并以漂亮的表格汇报回归结果，但在统计推断方面依然有所欠缺。比如，它既不提供门槛值的置信区间，也不检验究竟是否存在门槛效应（即检验 ）。根据 Hansen (2000) 的逻辑，应先检验是否存在门槛效应（此检验也有助于选择门槛变量）；如果发现确实有门槛效应，再进行门槛模型的估计。
另外，命令 threshold 默认数据为时间序列，并不适用于横截面与面板数据，故首先需要 tsset 数据，才能使用 threshold 命令。
因此，如需对横截面数据进行门槛回归，或进行深入的统计推断，仍建议辅助使用门槛回归创始人 Bruce Hansen 在其个人网页所提供的非官方 Stata 命令 （thresholdreg 与 thresholdtest）。下载地址为：
http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/progs/progs_threshold.html
从该网页下载 zip 文件并解压，将所有文件放置于当前工作路径（current working directory）之后（在 Stata 页面的左下方会显示当前工作路径），输入命令 “do Hansen2000” 即可自动运行。
如果使用面板数据进行门槛回归，则建议使用南开大学王群勇教授的非官方 Stata 命令 xthreg（Wang, 2015），在 Stata 中可输入命令 findit xthreg 来搜索下载。
备注：本公众号不提供 Stata 15。如需正版 Stata 15，可咨询 crystal@uone-tech.cn。进一步学习 Stata，可关注即将召开的第一届 Stata 用户大会，详情参见 www.uone-tech.cn。
参考文献
Hansen, Bruce E., 2000. "Sample Splitting and Threshold Estimation," Econometrica, 68, 575-603.
Wang, Qunyong, 2015. "Fixed-effect Panel Threshold Model Using Stata," The Stata Journal, 15(1), 121-134.
陈强，《高级计量经济学及Stata应用》，第2版，高等教育出版社，2014年。
陈强，《计量经济学及Stata应用》，高等教育出版社，2015年。
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