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兰切斯特方程的分析和案例解释

兰切斯特除了类似动量定理和动能定理的表达方式的兰切斯特法则，还有以微分形式表达的微分方程。

我们通过实际推演和兰切斯特方程进行对比，验证一下兰切斯特方程是否计算准确。

假如A队有9名士兵，B队有6名士兵，两队的武器性能都为1/3，即双方每人中3颗子弹便死亡，双方都是以尽可能多的消灭敌人为目的（如图1所示）。

图1 两队枪战前兵力对比

A队有50%的数量优势。人数可以是9个人对6个人，也可以是90人对60人，或者9000人对6000人。不管到底是多少，其中的原则是相同的。

第一次火拼后，战局发生了戏剧性的变化。A队打出9发子弹，打死3人；B队打出6发子弹，打死2人。A队由9:6的优势转变为7:3的优势。A队50％的兵力优势变为大于100％。随着战火的燃烧，这种致命的算术递增仍在继续（如图2所示）。

图2 枪战第一轮兵力对比

第二次交火后，A队打出7发子弹，打死2人，并且剩余人中有1人中1枪，B队打出3发子弹，打死1人。兵力对比会变为B队以6:1占绝对优势（如图3所示）。

图3 枪战第二轮兵力对比

第三次交战后，A队打出6发子弹，将B消灭，B队打出1发子弹，未打死1人。A队就被彻底歼灭了（如图4所示）。

图4 枪战第三轮兵力对比

再来看一下双方的伤亡情况。优势兵力（A队）的伤亡人数仅是劣势兵力(B队)的一半。

第一次火拼后，战局发生了戏剧性的变化。A队打出9发子弹，打死3人；B队打出6发子弹，打死2人。A队由9:6的优势转变为7:3的优势。

第二次交火后，A队打出7发子弹，打死2人，并且剩余人中有1人中1枪，B队打出3发子弹，打死1人。兵力对比会变为A队以6:1占绝对优势。

第三次交战后，A队打出6发子弹，将B消灭，B队打出1发子弹，未打死1人。A队就被彻底歼灭了。

A队和B队交火3轮，也就是时间为3轮，第一轮兵力对比为7:3，第二轮兵力对比为6:0.67，因为B队的人命中1枪，剩余2/3生命，第三轮为5.67:0。

我们将X0=9，Y0=6，a=b=1/3带入兰切斯特方程进行求解，首先求得T=2.4，然后将T=1，T=2和T=2.4带入A和B的方程，得到第一轮为7.5:3.3，第二轮为6.8:0.9，最后一轮为6.7:0。通过对比我们发现实际推演和兰切斯特方程的时间都是经过3轮，因为实际推演没法出现小数轮，这个暂且不对比。而两者每一轮计算的结果都不相同，并且兰切斯特方程计算的X最终剩余人数比实际推演多。

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