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排列状态的等概率假设与组合状态的简并度

于德浩

2019.8.3

李政道曾经说过，统计力学的完美之处就是只有一个简单的基本假设，排列状态的等概率假设。

比方说，连续4次掷硬币，有16种可能的排列状态，每一种基本状态的概率都是相等的1/16。以0表示反面，1表示正面，这16种排列状态就是0000-1111的16个二进制数字。不过，实际中我们往往研究的是组合状态。比方说，连续4次掷硬币中，出现2次正面的概率是多少？这“有2次正面”就是一个组合状态，是{0011,0101,0110,1001,1010,1100}，所以概率就是6/16。也就是说，“有2次正面”这个组合状态的简并度是6，这6种排列状态都是实际等效的。

什么是实际等效呢？举个例子，我左口袋有30块钱，右口袋有30块钱，我一共就有60块钱。至于左口袋10块、右口袋50，还是左40右20，这无需区分，都是一样的总钱数。

连续4次掷硬币，出现0次正面的概率是1/16，出现1次正面的概率是4/16，出现2次正面的概率是6/16，出现3次正面的概率是4/16，出现4次全正面的概率是1/16。这可以全部列举出来，{0000}，{0001,0010,0100,1000}，{0011,0101,0110,1001,1010,1100}，{0111,1011,1101,1110}，{1111}。

每一个基本的排列状态都是等概率的1/16，就是说，0000与0011或者1111的出现概率都是相同的。但是，“0次正面”的简并度是1，“2次正面”的简并度是6，“3次正面”的简并度是4；所以，“2次正面”的组合状态出现的概率就是最大，为6/16。

在实际应用中，我们会更进一步近似，用最大概然值来近似实际发生值。比方说，“连续4次掷硬币中，会出现几次正面？”严格的说法是，出现2次正面的概率是3/8。但，我们会更大胆的猜，“每一回连续4次投掷，都是出现2次正面。”表面看，具体的看，这种说法明显不对。但是，如果研究大量的重复试验，这种猜测法就是等效正确的。比方说，连续4次掷硬币，做10回试验，就会出现20次正面。就是说，近似认为，10*2=1*0+2*1+4*2+3*3+0*4。这其实就是大数定律。

我以前举过一个例子。红灯亮的概率是70%，绿灯亮的概率是30%；如果猜下一次哪个灯亮。最好的策略就是每一次都猜红灯亮，虽然我知道这一定不会全对。在股票投资中就是这样，如果判断为牛市，那就“猜每天都涨”，大智若愚的一直持股待涨。

我们研究的是最后的整体效益，而不是期间的某个局部效益。比方说，假设我们知道未来20天，股价每天的涨跌幅是有3天+2.1%，有3天-1.5%，有14天+0.3%。不论是怎样的时序排列，必然是期初0，期末累积收涨+6%。所以，如果仅仅是要求一个月+3%的收益，那么我们就简单的一直持股20个交易日即可达标。

不同的时序排列不会影响期初到期末的总收益，只是期间的最小值与最大值会不同。比方说，“先涨后跌”的时序排列可以有最高+10.5%的涨幅，有-4%的回调下跌；而“先跌后涨”可以有最大4.5%的亏损，有最高10%的大幅反弹。

所以，如果我们能够预估出未来20天的大致“平均每天上涨+0.3%”组合状态，那么我们的策略就是，“如果这个月中间涨幅超过+6%，应该适当减仓；股价前期一直不涨甚至下跌，应该适当加仓。”或者，“当月出现3根涨幅超过2%的大阳线，应该逢高卖出；如果已经出现3根超过-1.5%的长阴线，就可以放心买回。”这更适用于认购期权的买卖。

我们也可以应用最大概然值近似方法，简单认定“每天都是上涨+0.3%”，就从月初一直持股到月末。

不过，现实中的应用要更复杂。因为，我们预估未来20天会累计上涨+6%，这个准确率并不高。所以，短线的投资风险总是很大的。

而长期，我们预估股价会在十年内上涨3倍，从较低的市盈率10倍，上涨到30倍，这个准确率就可达100%。所以，巴菲特这样的股票投资大师就是做长期投资，越跌越买，坚定长期持有5-10年，直到达到很多倍收益的目标价才会考虑卖出。

普通投资者为什么做不到呢？一是，他们很短视。要么觉得年均收益率20%太低，还不如抓几个涨停板呢；要么，畏惧短期风险，一天可能就亏损5%以上。二是，要考虑融资期限。专业的投资基金经理，虽然明白“应该像巴菲特一样越跌越买”，但是总会迫于投资方的压力，不得不“低位止损，高位追涨”。

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